如何用微积分知识推导球的体积公式？ 如何用微积分知识推导球的体积公式
\u5982\u4f55\u7528\u5fae\u79ef\u5206\u77e5\u8bc6\u63a8\u5bfc\u7403\u7684\u4f53\u79ef\u516c\u5f0f\uff1fx=Rcost,y=Rsint,
0<=t<=pi/2
\u662f\u7b2c\u4e00\u8c61\u9650\u5185\u7684\u5706\u5f27\u53c2\u6570\u65b9\u7a0b\uff0c\u4f60\u5982\u679c\u613f\u610f\u5f53\u7136\u4e5f\u53ef\u4ee5\u7528\u666e\u901a\u65b9\u7a0b\u3002
\u90a3\u4e48\u5b83\u548c\u5750\u6807\u8f74\u56f4\u6210\u7684\u56db\u5206\u4e4b\u4e00\u5706\u7ed5x\u8f74\u65cb\u8f6c\u80fd\u5f62\u6210\u4e00\u4e2a\u534a\u7403\uff0c\u56e0\u6b64
\u53ef\u77e5\u534a\u5f84\u4e3aR\u7684\u7403\u7684\u4f53\u79ef\u4e3a\uff1a
V=2\u222b(0,pi/2)pi*(Rsint)^2d(Rcost)
=2pi*R^3\u222b(0,pi/2)(1-cos^2t)dcost
=2pi*R^3*(cost-cos^3t/3)|(0,pi/2)
=2pi*R^3*[(cos0-(cos0)^3/3)-(cospi/2-(cospi/2)^3/3)]
=2pi*R^3*(1-1/3)
=4pi*R^3/3
\u662f\u901a\u8fc7\u9ad8\u7b49\u6570\u5b66\u4e2d\u7684\u5fae\u79ef\u5206\u6765\u63a8\u5bfc\u73b0\u6709\u4e00\u4e2a\u5706x^2+y^2=r^2\u5728xoy\u5750\u6807\u8f74\u4e2d\u8ba9\u8be5\u5706\u7ed5x\u8f74\u8f6c\u4e00\u5468\u5c31\u5f97\u5230\u4e86\u4e00\u4e2a\u7403\u4f53\u7403\u4f53\u4f53\u79ef\u7684\u5fae\u5143\u4e3adV=\u03c0[\u221a(r^2-x^2)]^2dx\u222bdV=\u222b\u03c0[\u221a(r^2-x^2)]^2dx\u79ef\u5206\u533a\u95f4\u4e3a[-r,r]\u6c42\u5f97\u7ed3\u679c\u4e3a4/3\u03c0r^3
1、Disk Method——圆盘法：
2、Shell Method——球壳法：
3、General Method——一般法：
扩展资料：
微积分相关：
（1）定积分和不定积分
积分是微分的逆运算，即知道了函数的导函数，反求原函数。在应用上，定积分作用不仅如此，它被大量应用于求和，通俗的说是求曲边三角形的面积，这巧妙的求解方法是积分特殊的性质决定的。
一个函数的不定积分（亦称原函数）指另一族函数，这一族函数的导函数恰为前一函数。
其中：
一个实变函数在区间[a,b]上的定积分，是一个实数。它等于该函数的一个原函数在b的值减去在a的值。
定积分和不定积分的定义迥然不同，定积分是求图形的面积，即是求微元元素的累加和，而不定积分则是求其原函数，而牛顿和莱布尼茨则使两者产生了紧密的联系（详见牛顿-莱布尼茨公式）。
（2）常微分方程与偏微分方程
含自变量、未知函数和它的微商（或偏微商）的方程称为常（或偏）微分方程。未知函数为一元函数的微分方程，称为常微分方程。未知函数为多元函，从而出现多元函数的偏导数的方程，称为偏微分方程。
参考资料来源：百度百科 - 微积分
参考资料来源：百度百科 - 球体
楼主等一会，给你三种详细推导(证明)方法，给你做个图片。
不好意思，电脑出了点问题，现在才能将图片传上。几分钟后即可见到。
x=Rcost,y=Rsint, 0<=t<=pi/2
是第一象限内的圆弧参数方程，你如果愿意当然也可以用普通方程。
那么它和坐标轴围成的四分之一圆绕x轴旋转能形成一个半球，因此
可知半径为R的球的体积为：
V=2∫(0,pi/2)pi*(Rsint)^2d(Rcost)
=2pi*R^3∫(0,pi/2)(1-cos^2t)dcost
=2pi*R^3*(cost-cos^3t/3)|(0,pi/2)
=2pi*R^3*[(cos0-(cos0)^3/3)-(cospi/2-(cospi/2)^3/3)]
=2pi*R^3*(1-1/3)
=4pi*R^3/3
你可以把球看成是由无数个球壳组成的，每个球壳的面积为4派r的平方，将面积函数积分就是体积了，积分限为0到R。
绛旓細鍋氫竴涓崐鐞僪=r, 鍋氫竴涓渾鏌県=r 鈭礦鏌-V閿 = 蟺脳r^3- 蟺脳r^3/3 =2/3蟺脳r^3 鈭磋嫢鐚滄兂鎴愮珛锛屽垯V鏌-V閿=V鍗婄悆 鏍规嵁绁栨殔鍘熺悊锛氬す鍦ㄤ袱涓钩琛屽钩闈箣闂寸殑涓や釜绔嬩綋鍥惧舰锛岃骞宠浜庤繖涓や釜骞抽潰鐨勪换鎰忓钩闈㈡墍鎴紝濡傛灉鎵寰楃殑涓や釜鎴潰闈㈢Н鐩哥瓑锛岄偅涔堬紝杩欎袱涓珛浣撳浘褰鐨勪綋绉鐩哥瓑銆傗埓鑻ョ寽鎯虫垚绔...
绛旓細pi=3.14 寮濮嬪仛棰 璁鐞冪殑鍗婂緞涓簉涓哄父鏁 v=2* @0~r<pi*(r^2-x^2)dx>=2pi*(r^3-(r^3)/3)=(4pi*r^3)/3 鍏朵腑 @0~r<pi*(r^2-x^2)dx> 琛ㄧず鍗婄悆鐨勪綋绉 浣嗕笉鏄綘鎵璇寸殑鐢ㄥ渾鏌辨潵瑙ｉ噴銆傘傛垜瀹炲湪鎯充笉鍑哄渾鏌鎬庝箞绉垎鐨 閭ｅ氨璇磋鎴戣繖寮忓瓙鐨勮В閲婂惂 鎶婁笂鍗婄悆鐪嬫垚鏄棤鏁颁釜鍗婂緞...
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