22.数学期望（定义、性质、例题）
数学期望：揭示概率世界的平衡点</
想象一下，数学期望就像是一个神秘的平均大师，无论面对离散型还是连续型的随机变量，它都能精确地计算出它们的“平均值”。
1. 定义：分布律的化身
对于离散型随机变量 X</，其分布律为 Pr(X = k)，数学期望 E(X)</ 就如同这系列值的加权平均，记作:</
<E(X) = Σ k * Pr(X = k)</，当级数收敛时。
而对于连续型随机变量 X</，其密度函数 f(x)</扮演了同样的角色，E(X)</ 通过积分得到，公式为:</
<E(X) = ∫ x * f(x) dx</, 当积分收敛时。
2. 神奇的性质：揭示期望的奥秘
数学期望拥有一些令人惊讶的性质:
- (1)</ 如果 X</ 只有两个可能值，如 a 和 b，那么 E(aX + b)</ 简化为 aE(X) + b</。
- (2)</ 常数与随机变量的乘积，E(cX)</ 直接等于 c</ 乘以 E(X)</。
- (3)</ 对于独立随机变量，它们的和或差的期望是各自期望的和或差，如 E(X + Y) = E(X) + E(Y)</。
- (4)</ 独立性还意味着像泊松分布的随机变量 X ~ P(λ)</，其期望直接等于参数 λ。
- (5)</ 如果随机变量等于一个常数，那么期望就是这个常数，E(X=c) = c</。
- (6)</ 若有常数的线性组合，E(aX + b)</ 等于 a</ 乘以 E(X)</ 加上 b</。
- (7)</ 当随机变量为独立同分布时，它们的乘积的期望是各自期望的乘积，如 E(XY)</。
实战例题：直观理解期望的实际应用
让我们通过几个经典分布来展示数学期望的魔力:
- 均匀分布</ X ~ U(a, b) 的期望是区间两端点的平均，即 E(X) = (a + b) / 2</。
- 泊松分布</ X ~ P(λ) 的期望正是其参数，E(X) = λ</。
- 二项分布</ X ~ B(n, p) 的期望是成功次数的期望，E(X) = np</，其中 n 是试验次数，p 是成功的概率。
- 指数分布</ X ~ Exp(λ) 的期望直接等于参数 E(X) = 1/λ</。
- 正态分布</ X ~ N(μ, σ²)，其期望就是均值 μ，即 E(X) = μ</。
通过这些实例，数学期望不仅是理论的工具，也是解决实际问题的实用利器。
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