一般周期函数f(x)=x-[x],展开成傅里叶级数 将函数f（x）=2+|x|（-1≤x≤1）展开成以2为周期的...
f(x)=x-[x]\u5c55\u5f00\u6210\u5085\u91cc\u53f6\u7ea7\u6570\uff0c\u6c42\u89e3\u2026\u8fd9\u4e2a\u5468\u671f\u662f1\u7684\u51fd\u6570\u600e\u4e48\u5c55\u5f00\u554a\u2026\u4e66\u4e0a\u53ea\u8bb2\u4e86[ -1.1]\u56e0\u4e3a\u5085\u91cc\u53f6\u7ea7\u6570\u7684\u7406\u8bba\u57fa\u7840\u5c31\u662f\u6240\u6709\u5468\u671f\u51fd\u6570\u5747\u53ef\u7531\u6b63\u4f59\u5f26\u4e09\u89d2\u51fd\u6570\u7684\u65e0\u7a77\u6781\u6570\u8868\u793a\uff1ax(t)=\sum _{k=-\infty}^{+\infty}a_k\cdot e^{jk(\frac{2\pi}{T})t}\u5c55\u5f00\u7684\u57fa\u7840\u51fd\u6570\u7684\u5468\u671f\u4e0e\u88ab\u5c55\u51fd\u6570\u540c\u5468\u671f\u3002
\u4efb\u4f55\u5468\u671f\u51fd\u6570\u90fd\u53ef\u4ee5\u7528\u6b63\u5f26\u51fd\u6570\u548c\u4f59\u5f26\u51fd\u6570\u6784\u6210\u7684\u65e0\u7a77\u7ea7\u6570\u6765\u8868\u793a\uff08\u9009\u62e9\u6b63\u5f26\u51fd\u6570\u4e0e\u4f59\u5f26\u51fd\u6570\u4f5c\u4e3a\u57fa\u51fd\u6570\u662f\u56e0\u4e3a\u5b83\u4eec\u662f\u6b63\u4ea4\u7684\uff09\uff0c\u540e\u4e16\u79f0\u5085\u91cc\u53f6\u7ea7\u6570\u4e3a\u4e00\u79cd\u7279\u6b8a\u7684\u4e09\u89d2\u7ea7\u6570\uff0c\u6839\u636e\u6b27\u62c9\u516c\u5f0f\uff0c\u4e09\u89d2\u51fd\u6570\u53c8\u80fd\u5316\u6210\u6307\u6570\u5f62\u5f0f\uff0c\u4e5f\u79f0\u5085\u7acb\u53f6\u7ea7\u6570\u4e3a\u4e00\u79cd\u6307\u6570\u7ea7\u6570\u3002
\u6269\u5c55\u8d44\u6599\uff1a
\u5947\u6027\u548c\u5076\u6027\u90fd\u662f\u53ef\u4ee5\u7684\uff0c\u53ea\u8981\u901a\u8fc7\u5224\u522b\u6cd5\u5224\u65ad\u5ef6\u62d3\u662f\u5408\u7406\u7684\uff0c\u90a3\u4e48\u8fd9\u4e24\u4e2a\u7ea7\u6570\u5728\u7ed9\u5b9a\u7684\u5c0f\u533a\u95f4\u4e0a\u90fd\u6536\u655b\u4e8e\u539f\u51fd\u6570\u3002
\u4f8b\uff1af(x)=x-[x](\u5468\u671f1)\u663e\u7136f(x)\u662f\u6309\u6bb5\u5149\u6ed1\uff0c\u5373\u53ef\u5c55\u5f00\u4e3a\u5085\u91cc\u53f6\u7ea7\u6570 \u800c\u5f53x=0\u6216x=1\u65f6\uff0c\u4e0a\u5f0f\u53f3\u8fb9\u7ea7\u6570\u6536\u655b\u4e8e\uff0c\u5373\u5de6\u3001\u53f3\u4e24\u8fb9\u76f8\u7b49\u3002
\u53c2\u8003\u8d44\u6599\u6765\u6e90\uff1a\u767e\u5ea6\u767e\u79d1-\u5085\u91cc\u53f6\u7ea7\u6570
\u4e3a\u65b9\u4fbf\u8ba1\uff0c \u5c06\u51fd\u6570\u62d3\u5e7f\u4e3a\uff1af(x)=2+|x|, x\u5c5e\u4e8e[-pi,pi]\u3002
\u5c06\u6b64f\u62d3\u5e7f\u4e3aR \u4e0a\u7684\u5468\u671f\u4e3a2pi\u7684\u5468\u671f\u51fd\u6570\u3002\u6b64\u51fd\u6570\u8fde\u7eed\uff0c\u6240\u4ee5\u5176\u5085\u7acb\u53f6\u7ea7\u6570\u6536\u655b\u4e8e f(x):
\u5085\u91cc\u53f6\u7ea7\u6570
f(x)=a0/2 + a1cosx+b1sinx + a2cos2x + b2sin2x + ...+ancosnx+bnsinnx+...
\u56e0\u4e3a f(x)\u662f\u5076\u51fd\u6570\uff0c \u6240\u4ee5 bn = 0
a0 = 1/pi \u79ef\u5206\uff08-pi \u5230 pi\uff09f\uff08x)dx = 2/pi\u79ef\u5206\uff080 \u5230 pi\uff09(2+x)dx=4+pi
an =1/pi\u79ef\u5206\uff08-pi \u5230 pi\uff09f\uff08x)cosnxdx = 2/pi\u79ef\u5206\uff080 \u5230 pi\uff09(2+x)cosnx dx --- \u901a\u8fc7\u5206\u90e8\u79ef\u5206
=0 \u5982\u679c n \u662f\u5076\u6570
= -4/(pi*n^2) \u5982\u679c n \u662f\u5947\u6570
\u6240\u4ee5
f(x)= 2+pi/2 - 4/pi(cosx + cos3x / 3^2 + ...+ cos(2n+1)x /(2n+1)^2+...)
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绛旓細璇佹槑锛歠锛坸+1锛=(x+1)-[x+1]=x+1-[x]-1 =x-[x]=f(x)鎵浠(x)=X-[X]鏄互1涓哄懆鏈熺殑鍛ㄦ湡鍑芥暟
绛旓細鍥炵瓟锛氳繖鏄釜鍛ㄦ湡涓1鐨鍛ㄦ湡鍑芥暟 [x]浠ｈ〃涓嶅ぇ浜巟鐨勬渶灏忔暣鏁 鏁f(x)=x([0,1)) f(x+k)=x([0,1),k灞炰簬鏁存暟) 瀹氫箟鍩熶负瀹炴暟闆, 鍊煎煙涓篬0,1) 鍥惧儚涓: 姣忔潯绾跨殑鐨勬渶涓婃柟搴旇鐢诲湀,鎴戞病鏈夌敾,鍥犱负涓嶆柟渚裤
绛旓細f(x+1)=x+1-[x+1]=x+1-[x]-1=x-[x]=f(x)...鏈灏忔鍛ㄦ湡涓1
绛旓細[x] 鏄彇鏁寸殑鎰忔濓紝灏辨槸涓嶅ぇ浜巟鐨勬渶澶ф暣鏁般f(x)=x-[x]f(x+1)=(x+1)-[x+1]=x-[x]+1-1=x-[x]=f(x)鎵浠ワ紝鍛ㄦ湡鏄1 ps: [x+1]=[x]+1 鏍规嵁瀹氫箟涓嶉毦鐞嗚В锛屽洜涓1鏄暣鏁帮紝鍙栨暣鏄畠鏈韩銆
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绛旓細f(x+1)=x+1-[x+1]=a+[x]+1-[a+[x]+1]=a+[x]+1-[[x]+1]=a=f(x)鍥犳锛1鏄痜(x)鐨勪竴涓鍛ㄦ湡 鑻ュ瓨鍦╞锛0<b<1,涓攂鏄叾鍛ㄦ湡 鍒檉(x+b)=f(x)f(x+b)=(x+b)-[x+b]鑰孾x+b]=[x]+[b]=[x]鎴栬匸x+b]=[x]+[b+1]=[x]+1 鍥犳锛宖(x+b)=(x+b)-[x]...
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绛旓細渚嬪锛屽鏋滃嚱鏁版弧瓒砯(x-2)=f(x+2)锛岄偅涔f(x)=f(x+4)锛屽嵆鍑芥暟鐨勫懆鏈熸槸4銆鍛ㄦ湡鍑芥暟鐨勬ц川鍖呮嫭锛- 濡傛灉T锛堚墵0锛夋槸f(x)鐨勫懆鏈燂紝鍒-T涔熸槸f(x)鐨勫懆鏈熴- 濡傛灉T锛堚墵0锛夋槸f(x)鐨勫懆鏈燂紝鍒檔T锛坣涓轰换鎰忛潪闆舵暣鏁帮級涔熸槸f(x)鐨勫懆鏈熴- 濡傛灉T1涓嶵2閮芥槸f(x)鐨勫懆鏈燂紝鍒橳1卤T2涔熸槸f(x)鐨...
