开刷：《信号与系统》第2章 Lec #5 LTI系统的性质

课本是电子工业出版社出版的奥本海姆《信号与系统》第二版，刘树棠译。

视频课可以在网易公开课看到，搜索MIT的信号与系统，老师就是课本的作者。

p.64 - p.72
p.80 - p.86

卷积运算符合交换律，即

对于LTI系统来说，离散情况下，输入为 且单位冲激响应为 的输出，与输入为 且单位冲激响应为 的LTI系统的输出是完全一样的。连续时间情况与离散一样。

卷积运算符合分配率，即

根据卷积运算的分配率，可得LTI系统的并联可以用一个单一LTI系统来表示，而该单一LTI系统的单位冲激响应就等于并联时各个LTI系统的单位冲激响应的和。

同时利用交换律和分配率，有

上面这俩个等式说明LTI系统对两个输入和的响应就等于该系统对单个输入响应的和。

卷积运算符合结合律，

对于LTI系统来说，任意多个LTI系统的级联，级联顺序不会影响系统最终的输出。

结合律的应用必须满足 线性 和 时不变性 条件。

若 ，那么系统就是恒等系统，输出等于输入。

上式同样也反映了单位冲激函数的筛选性质。

LTI系统的逆系统还是一个LTI系统。

给定一个LTI系统，其单位冲激响应是 ，逆系统的单位冲激响应是 ，LTI系统与其逆系统的级联应该是一个恒等系统，那么，

一个因果离散LTI系统的单位冲激响应需要满足

也就是说，一个因果LTI系统的冲激响应在冲激之前必须保持为0。

一个线性系统的因果性等效于初始松弛（initial rest），也就是，如果一个因果系统的输入在某个时刻点以前为0，那么输出在那个时刻之前也必须是0。

因果性和初始松弛条件只适用于线性系统。

对于因果LTI系统来说，卷积计算的上下限可以进行以下变化，

对于离散时间LTI系统而言，如果单位脉冲响应是绝对可和的，即

那么 就是有界的，也就是说系统是稳定的。

连续时间LTI系统与离散时间条件类似，如果其单位冲激响应是绝对可积的，即

那么该系统就是稳定的。

单位阶跃响应 是当输入 时，系统的输出响应。

又，根据卷积计算的交换律，

也就是说单位阶跃响应是LTI系统输入为 ，单位脉冲响应为 的输出响应。值得注意的是，累加器的单位脉冲响应就是 ，那么根据累加器的输入输出函数可以得到，

再根据累加器系统的逆系统，可以从单位阶跃响应中恢复出系统的单位脉冲响应，也就是

连续时间LTI系统也是类似的，

也就是一个积分器，其单位冲激响应为 ，输入为 时的输出响应，那么可以根据积分器的输入输出函数，可以得到LTI系统单位阶跃响应 的表达式，

从单位阶跃响应中恢复单位脉冲响应的办法与离散时间类似，求一阶导数即可，

这是一个LTI系统，其单位脉冲响应为，

这是一个LTI系统，假设初始松弛，单位脉冲响应是，

这是一个LTI系统，假设初始松弛，单位冲激响应是，

这一节我认为比较难，以一种完全不同的方式来运用卷积，从另一个角度审视单位冲激函数。思考一个问题，LTI系统对理想化信号的响应是如何表征的，或者说，从本质上这些理想化信号（单位冲激信号和奇异函数）是怎么借助于它们与其他信号在卷积意义下的特性来定义的。

单位冲激 是恒等系统的单位冲激响应，即

如果 ，那么就有

回想第1章，将 看做短脉冲 ，宽度为 ，高度为 ，设，

函数图像如下图所示，

如果把 看做 在 时的极限，那么可以发现， 在 时的极限也是一个单位冲激。

同样还可以证明， 亦或者 在 时的极限仍然是一个单位冲激。

事实上，存在无数个信号，在 时的极限下， 表现的都像一个冲激信号 。

表现的都像一个冲激信号 这句话非常重要，意味着LTI系统对这些信号的响应本质上都是一样的，前提条件是 足够小。

参考p.80和p.81的例2.16，可以发现当 足够小时，系统对这些信号的响应都趋于相同。

通过例2.16我们发现，当 足够小时，LTI系统对 、 、 、 等信号的响应趋近于冲激响应。那么我们有理由考虑可以通过LTI系统的响应来定义冲激函数。

虽然通常我们用每个时刻的值来定义一个信号，比如 。但是对于单位冲激来说，我们不关心每个时刻其函数值是多少，而是主要考虑LTI系统对它的响应，换句话说我们考虑其在卷积下的行为。

定义 为一个信号，对任何输入 ，有

这就是 单位冲激信号的运算定义（operational definition）。

单位冲激函数的面积等于1。可以证明，设 ，即一个常数函数，那么

考虑LTI系统

这个系统的单位冲激响应就是单位冲激的导数，称为 单位冲激偶(unit doublet) ，利用卷积，有

我们把上面这个式子当做 的运算定义。

同理我们定义 的二阶导数 ，考虑二阶求导系统，

二阶导数就是一阶导数的导数，

那么我们可以定义一个由任意多个微分器级联构成的系统的单位冲激响应 ，

与单位冲激函数一样，我们试着计算一下单位冲激偶的面积，假设 ，

所以单位冲击偶的面积等于0。

看完单位冲激信号的导数之后，我们思考单位冲激信号的多次积分。

单位阶跃是积分器的单位冲激响应，

回忆单位阶跃信号的表示为 ，所以，

同理我们定义两个积分器级联构成的系统，其单位冲激响应表示为 ，

上面这个信号称为单位斜坡函数（unit ramp function）。

那么 的运算定义就是，

同理定义任意多个积分器级联构成的系统的单位冲激响应

我们发现与单位冲激的各阶导数不同，单位冲激的多次积分仍然能在每个 值都有定义。

为了符号的统一性，我们定义

时是 个微分器级联， 时是 个积分器级联。

微分器是积分器的逆系统，所以

换用我们新定义的统一符号，有

更为一般的有，