一道高三的数学题 函数问题 数学高手进

\u4e00\u9053\u9ad8\u4e09\u6570\u5b66\u51fd\u6570\u7684\u95ee\u9898\uff01\uff01\uff01\uff01\u9ad8\u624b\u6c42\u89e3~\uff01 \u6025\u6025\u6025\uff01

\u8bbe\u51fd\u6570\u89e3\u6790\u5f0f\u4e3a:f(x)=ax+b (a\u22600)
\u5219\u7531\u4e00\u6b21\u51fd\u6570\u7ecf\u8fc7\u70b9(2,1) \u5f97\uff1a2a+b=1
(1)
\u2235Q(x+1,y+3)\u5728f(x)\u7684\u56fe\u50cf\u4e0a
\u2234a(x+1)+b=y+3 \u2026\u2026\u2460
\u2235P(x,y)\u5728f(x)\u56fe\u50cf\u4e0a
\u2234y=ax+b \u4ee3\u5165\u2460\u5f0f\u5f97\uff1aax+a+b=ax+b+3
\u89e3\u5f97\uff1aa=3
\u22352a+b=1 \u2234b=-5
\u2234\u51fd\u6570f(x)\u7684\u89e3\u6790\u5f0f\u4e3a\uff1af(x)=3x-5
(2)
\u2235\u5bf9x\u2208[0,4],f(x)>=0\u6052\u6210\u7acb
\u2234\u2460a>0\u65f6 f(x)\u5728R\u4e0a\u5355\u8c03\u9012\u589e
\u2234f(x)\u6700\u5c0f\u503c=f(0)=b\u22650
\u2461a<0\u65f6 f(x)\u5728R\u4e0a\u5355\u8c03\u9012\u51cf
\u2234f(x)\u6700\u5c0f\u503c=f(4)=4a+b\u22650
\u22352a+b=1 \u2234a=(1-b)/2\u4ee3\u5165\u4e0a\u5f0f\u5f97\uff1a2-b\u22650 \u89e3\u5f97\uff1ab\u22642
\u2234\u7efc\u4e0a\uff1a0\u2264b\u22642
\u2235f(x)\u4e0ey\u8f74\u7684\u4ea4\u70b9\u5750\u6807\u4e3a(0,b)
\u2234f(x)\u4e0ey\u8f74\u4ea4\u70b9\u7eb5\u5750\u6807\u7684\u53d6\u503c\u8303\u56f4\u4e3a\u30100\uff0c2\u3011

\u5176\u5b9e\u53ea\u9700\u8981g\uff08x\uff09=x2+\uff082-k\uff09x+1\u5c31\u597d\u4e86\uff0c\u7528\u5bf9\u79f0\u8f74\uff0c\u56e0\u4e3ag\uff08x\uff09\u662f\u4e00\u4e2a\u4e8c\u6b21\u51fd\u6570\uff0c\u6240\u4ee5\u5f53\u5bf9\u79f0\u8f74\u5728-2\u7684\u5de6\u8fb9\u6216\u80052\u7684\u53f3\u8fb9 \u90a3g\uff08x\uff09\u5c31\u80af\u5b9a\u662f\u4e2a\u5355\u8c03\u51fd\u6570\uff0c\u800cg\uff08x\uff09\u7684\u5bf9\u79f0\u8f74\u65b9\u7a0b\u4e3ak-2/2\uff0c\u6240\u4ee5\u5e94\u8be5\u662fk-2/2\u2266-2\u6216\u8005k-2/2\u22652

讲解（纯手打，解题步骤，可参照之前那位网友的图片）：
（1）这一问是一个恒成立问题，对于恒成立问题，一般是要求出最值的，题中说：
f（x）≥0恒成立，这就说明在函数定义域内，f（x）的最小值要大于或等于0，相对的如果题目说f（x）≤0，则说明函数最大值要小于或等于0，那么问题就转化成求函数最值的问题，由于高中所学的函数全是初等函数，所以在定义域内一定可导，所以只要在定义域内你大可放心去求导，进而去求极值，本题只有极小值，所以也是最小值（如果有极大值又有极小值，或者含有边界值，则要根据题意，比较出一个最大值或是最小值），求出的极小值是，当x=lna时，f(x)为极小值，即f(lna)≥0，解出a≤1，则a最大值为1
（2）这一问仍然是恒成立问题，所以仍然需要求最值，由斜率问题联想到导数，写出AB斜率的表达式，并且代入g(x)表达式，式子，就是答案里的式子（答案中的式子，其实是拉格朗日中值定理的变形，因为高中不学这个定理），把式子变形得到，g(x2)-mx2 ＞ g(x1)-mx1， 到这问题的核心就出现了! 由AB斜率大于m恒成立，将这个条件转化为g(x2)-mx2 ＞ g(x1)-mx1恒成立，这两个式子在题目所给的条件下是等价的，所以你解出g(x2)-mx2 ＞ g(x1)-mx1，也就解出了原题。
现在就是对g(x2)-mx2 ＞ g(x1)-mx1这类式子的处理了，这类式子的共同特点就不等号左右两边的表达式的形式是一样的，那么遇到这种证明恒成立的问题，你可以向这个方面考虑，具体方法就是：令一个函数F（x）=不等号一边的式子，将X1或X2改成x，本题就是F（x）=g(x)-mx，而一般遇到X1≠X2，则可以直接令X1＞X2，或X1＜X2，这样就转化成F(X1)与F(X2)，比较大小的问题了，那么对于函数在不同点的大小问题可以用函数的单调性来解答，进而去判断F(X)的单调性，很自然地就是求导，在这时，你如果是令X2＞X1，那么F(X)就是单调增函数（对于本题而言），那么解答就如答案所示，如果你令X2<X1，那么F(X)就是单调递减，则解出m≥g'(x)，因为g'(x)≥3，那么是无法定出m的准确取值范围，所以舍去。
综上只有F(X)单调递增时，m的范围可以确定，那么顺着这个思路往下解，用一次基本不等式，然后定出m的范围即可。
（3）遇到这种题目，你先看给出的问题能否变形，因为题目如果想出的难一点，是不会直接提出问题的核心的，需要自己去观察，然后找到核心问题，本题，不等式右边明显有个（2n）^n，这和左边的形式相同，所以先变形，把式子化成（1/2n）^n+(3/2n)^n+……+((2n-1)/2n)^n<√e/(e-1)，而此时全看你能不能想到用第一问的条件，用的话，这相当于让你有依据去放缩，否则直接放缩很难证到题目所要的结果，此时就可以按照答案所示的方法，令X=（如答案所示），其实，你可以把a带着，就是e^x≥a(x+1)，求到最后，你会发现，如果要满足题意，a就是1，答案那样写的话，就相当于直接告诉你a=1。这种题一般是连在题目的最后一问，如果遇到，就往上找，看能不能用已经证出的条件来解答，能想到，基本就能做出来。这问最后不等号右边是等比数列求和，自己算一下就行了。
给你提条建议，把这类题目整理出来，从中归纳解题的技巧，如找相同的特点，相同的形式，或是类似的问法，然后自己总结成适合自己的理解方式，再加以做题巩固就行了。
纯手打，记得采纳哦~

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