正态分布的概率密度函数 正态分布的概率密度函数是怎么得来的？
\u6807\u51c6\u6b63\u6001\u5206\u5e03\u5bc6\u5ea6\u51fd\u6570\u516c\u5f0f\u6807\u51c6\u6b63\u6001\u5206\u5e03\u5bc6\u5ea6\u51fd\u6570\u516c\u5f0f\uff1a
\u6b63\u6001\u66f2\u7ebf\u5448\u949f\u578b\uff0c\u4e24\u5934\u4f4e\uff0c\u4e2d\u95f4\u9ad8\uff0c\u5de6\u53f3\u5bf9\u79f0\u56e0\u5176\u66f2\u7ebf\u5448\u949f\u5f62\uff0c\u56e0\u6b64\u4eba\u4eec\u53c8\u7ecf\u5e38\u79f0\u4e4b\u4e3a\u949f\u5f62\u66f2\u7ebf\u3002
\u82e5\u968f\u673a\u53d8\u91cfX\u670d\u4ece\u4e00\u4e2a\u6570\u5b66\u671f\u671b\u4e3a\u03bc\u3001\u65b9\u5dee\u4e3a\u03c3^2\u7684\u6b63\u6001\u5206\u5e03\uff0c\u8bb0\u4e3aN(\u03bc\uff0c\u03c3^2)\u3002\u5176\u6982\u7387\u5bc6\u5ea6\u51fd\u6570\u4e3a\u6b63\u6001\u5206\u5e03\u7684\u671f\u671b\u503c\u03bc\u51b3\u5b9a\u4e86\u5176\u4f4d\u7f6e\uff0c\u5176\u6807\u51c6\u5dee\u03c3\u51b3\u5b9a\u4e86\u5206\u5e03\u7684\u5e45\u5ea6\u3002\u5f53\u03bc = 0,\u03c3 = 1\u65f6\u7684\u6b63\u6001\u5206\u5e03\u662f\u6807\u51c6\u6b63\u6001\u5206\u5e03\u3002
\u56fe\u5f62\u7279\u5f81\uff1a
\u96c6\u4e2d\u6027\uff1a\u6b63\u6001\u66f2\u7ebf\u7684\u9ad8\u5cf0\u4f4d\u4e8e\u6b63\u4e2d\u592e\uff0c\u5373\u5747\u6570\u6240\u5728\u7684\u4f4d\u7f6e\u3002
\u5bf9\u79f0\u6027\uff1a\u6b63\u6001\u66f2\u7ebf\u4ee5\u5747\u6570\u4e3a\u4e2d\u5fc3\uff0c\u5de6\u53f3\u5bf9\u79f0\uff0c\u66f2\u7ebf\u4e24\u7aef\u6c38\u8fdc\u4e0d\u4e0e\u6a2a\u8f74\u76f8\u4ea4\u3002
\u5747\u5300\u53d8\u52a8\u6027\uff1a\u6b63\u6001\u66f2\u7ebf\u7531\u5747\u6570\u6240\u5728\u5904\u5f00\u59cb\uff0c\u5206\u522b\u5411\u5de6\u53f3\u4e24\u4fa7\u9010\u6e10\u5747\u5300\u4e0b\u964d\u3002
\u66f2\u7ebf\u4e0e\u6a2a\u8f74\u95f4\u7684\u9762\u79ef\u603b\u7b49\u4e8e1\uff0c\u76f8\u5f53\u4e8e\u6982\u7387\u5bc6\u5ea6\u51fd\u6570\u7684\u51fd\u6570\u4ece\u6b63\u65e0\u7a77\u5230\u8d1f\u65e0\u7a77\u79ef\u5206\u7684\u6982\u7387\u4e3a1\u3002\u5373\u9891\u7387\u7684\u603b\u548c\u4e3a100%\u3002
\u6269\u5c55\u8d44\u6599\uff1a
\u7531\u4e8e\u4e00\u822c\u7684\u6b63\u6001\u603b\u4f53\u5176\u56fe\u50cf\u4e0d\u4e00\u5b9a\u5173\u4e8ey\u8f74\u5bf9\u79f0\uff0c\u5bf9\u4e8e\u4efb\u4e00\u6b63\u6001\u603b\u4f53\uff0c\u5176\u53d6\u503c\u5c0f\u4e8ex\u7684\u6982\u7387\u3002\u53ea\u8981\u4f1a\u7528\u5b83\u6c42\u6b63\u6001\u603b\u4f53\u5728\u67d0\u4e2a\u7279\u5b9a\u533a\u95f4\u7684\u6982\u7387\u5373\u53ef\u3002
\u4e3a\u4e86\u4fbf\u4e8e\u63cf\u8ff0\u548c\u5e94\u7528\uff0c\u5e38\u5c06\u6b63\u6001\u53d8\u91cf\u4f5c\u6570\u636e\u8f6c\u6362\u3002\u5c06\u4e00\u822c\u6b63\u6001\u5206\u5e03\u8f6c\u5316\u6210\u6807\u51c6\u6b63\u6001\u5206\u5e03\u3002
\u82e5 \u670d\u4ece\u6807\u51c6\u6b63\u6001\u5206\u5e03,\u901a\u8fc7\u67e5\u6807\u51c6\u6b63\u6001\u5206\u5e03\u8868\u5c31\u53ef\u4ee5\u76f4\u63a5\u8ba1\u7b97\u51fa\u539f\u6b63\u6001\u5206\u5e03\u7684\u6982\u7387\u503c\u3002\u6545\u8be5\u53d8\u6362\u88ab\u79f0\u4e3a\u6807\u51c6\u5316\u53d8\u6362\u3002
\uff08\u6807\u51c6\u6b63\u6001\u5206\u5e03\u8868\uff1a\u6807\u51c6\u6b63\u6001\u5206\u5e03\u8868\u4e2d\u5217\u51fa\u4e86\u6807\u51c6\u6b63\u6001\u66f2\u7ebf\u4e0b\u4ece-\u221e\u5230X\uff08\u5f53\u524d\u503c\uff09\u8303\u56f4\u5185\u7684\u9762\u79ef\u6bd4\u4f8b\u3002\uff09
\u9762\u79ef\u5206\u5e03
1\u3001\u5b9e\u9645\u5de5\u4f5c\u4e2d\uff0c\u6b63\u6001\u66f2\u7ebf\u4e0b\u6a2a\u8f74\u4e0a\u4e00\u5b9a\u533a\u95f4\u7684\u9762\u79ef\u53cd\u6620\u8be5\u533a\u95f4\u7684\u4f8b\u6570\u5360\u603b\u4f8b\u6570\u7684\u767e\u5206\u6bd4\uff0c\u6216\u53d8\u91cf\u503c\u843d\u5728\u8be5\u533a\u95f4\u7684\u6982\u7387\uff08\u6982\u7387\u5206\u5e03\uff09\u3002\u4e0d\u540c \u8303\u56f4\u5185\u6b63\u6001\u66f2\u7ebf\u4e0b\u7684\u9762\u79ef\u53ef\u7528\u516c\u5f0f\u8ba1\u7b97\u3002
2\u3001\u6b63\u6001\u66f2\u7ebf\u4e0b\uff0c\u6a2a\u8f74\u533a\u95f4\uff08\u03bc-\u03c3,\u03bc+\u03c3\uff09\u5185\u7684\u9762\u79ef\u4e3a68.268949%\u3002
P{|X-\u03bc|<\u03c3}=2\u03a6\uff081\uff09-1=0.6826
\u6a2a\u8f74\u533a\u95f4\uff08\u03bc-1.96\u03c3,\u03bc+1.96\u03c3\uff09\u5185\u7684\u9762\u79ef\u4e3a95.449974%\u3002
P{|X-\u03bc|<2\u03c3}=2\u03a6\uff082\uff09-1=0.9544
\u6a2a\u8f74\u533a\u95f4\uff08\u03bc-2.58\u03c3,\u03bc+2.58\u03c3\uff09\u5185\u7684\u9762\u79ef\u4e3a99.730020%\u3002
P{|X-\u03bc|<3\u03c3}=2\u03a6\uff083\uff09-1=0.9974
\u53c2\u8003\u8d44\u6599\uff1a\u767e\u5ea6\u767e\u79d1\u2014\u2014\u6b63\u6001\u5206\u5e03
\u6b63\u6001\u5206\u5e03\uff08Normal distribution\uff09\uff0c\u4e5f\u79f0\u201c\u5e38\u6001\u5206\u5e03\u201d\uff0c\u53c8\u540d\u9ad8\u65af\u5206\u5e03\uff08Gaussian distribution\uff09\uff0c\u6700\u65e9\u7531A.\u68e3\u83ab\u5f17\u5728\u6c42\u4e8c\u9879\u5206\u5e03\u7684\u6e10\u8fd1\u516c\u5f0f\u4e2d\u5f97\u5230\u3002C.F.\u9ad8\u65af\u5728\u7814\u7a76\u6d4b\u91cf\u8bef\u5dee\u65f6\u4ece\u53e6\u4e00\u4e2a\u89d2\u5ea6\u5bfc\u51fa\u4e86\u5b83\u3002P.S.\u62c9\u666e\u62c9\u65af\u548c\u9ad8\u65af\u7814\u7a76\u4e86\u5b83\u7684\u6027\u8d28\u3002[1] \u662f\u4e00\u4e2a\u5728\u6570\u5b66\u3001\u7269\u7406\u53ca\u5de5\u7a0b\u7b49\u9886\u57df\u90fd\u975e\u5e38\u91cd\u8981\u7684\u6982\u7387\u5206\u5e03\uff0c\u5728\u7edf\u8ba1\u5b66\u7684\u8bb8\u591a\u65b9\u9762\u6709\u7740\u91cd\u5927\u7684\u5f71\u54cd\u529b\u3002
\u6b63\u6001\u66f2\u7ebf\u5448\u949f\u578b\uff0c\u4e24\u5934\u4f4e\uff0c\u4e2d\u95f4\u9ad8\uff0c\u5de6\u53f3\u5bf9\u79f0\u56e0\u5176\u66f2\u7ebf\u5448\u949f\u5f62\uff0c\u56e0\u6b64\u4eba\u4eec\u53c8\u7ecf\u5e38\u79f0\u4e4b\u4e3a\u949f\u5f62\u66f2\u7ebf\u3002
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\u6b63\u6001\u5206\u5e03\u6982\u5ff5\u662f\u7531\u5fb7\u56fd\u7684\u6570\u5b66\u5bb6\u548c\u5929\u6587\u5b66\u5bb6Moivre\u4e8e1733\u5e74\u9996\u6b21\u63d0\u51fa\u7684\uff0c\u4f46\u7531\u4e8e\u5fb7\u56fd\u6570\u5b66\u5bb6Gauss\u7387\u5148\u5c06\u5176\u5e94\u7528\u4e8e\u5929\u6587\u5b66\u5bb6\u7814\u7a76\uff0c\u6545\u6b63\u6001\u5206\u5e03\u53c8\u53eb\u9ad8\u65af\u5206\u5e03\uff0c\u9ad8\u65af\u8fd9\u9879\u5de5\u4f5c\u5bf9\u540e\u4e16\u7684\u5f71\u54cd\u6781\u5927\uff0c\u4ed6\u4f7f\u6b63\u6001\u5206\u5e03\u540c\u65f6\u6709\u4e86\u201c\u9ad8\u65af\u5206\u5e03\u201d\u7684\u540d\u79f0\uff0c\u540e\u4e16\u4e4b\u6240\u4ee5\u591a\u5c06\u6700\u5c0f\u4e8c\u4e58\u6cd5\u7684\u53d1\u660e\u6743\u5f52\u4e4b\u4e8e\u4ed6\uff0c\u4e5f\u662f\u51fa\u4e8e\u8fd9\u4e00\u5de5\u4f5c\u3002\u4f46\u73b0\u4eca\u5fb7\u56fd10\u9a6c\u514b\u7684\u5370\u6709\u9ad8\u65af\u5934\u50cf\u7684\u949e\u7968\uff0c\u5176\u4e0a\u8fd8\u5370\u6709\u6b63\u6001\u5206\u5e03\u7684\u5bc6\u5ea6\u66f2\u7ebf\u3002\u8fd9\u4f20\u8fbe\u4e86\u4e00\u79cd\u60f3\u6cd5\uff1a\u5728\u9ad8\u65af\u7684\u4e00\u5207\u79d1\u5b66\u8d21\u732e\u4e2d\uff0c\u5176\u5bf9\u4eba\u7c7b\u6587\u660e\u5f71\u54cd\u6700\u5927\u8005\uff0c\u5c31\u662f\u8fd9\u4e00\u9879\u3002\u5728\u9ad8\u65af\u521a\u4f5c\u51fa\u8fd9\u4e2a\u53d1\u73b0\u4e4b\u521d\uff0c\u4e5f\u8bb8\u4eba\u4eec\u8fd8\u53ea\u80fd\u4ece\u5176\u7406\u8bba\u7684\u7b80\u5316\u4e0a\u6765\u8bc4\u4ef7\u5176\u4f18\u8d8a\u6027\uff0c\u5176\u5168\u90e8\u5f71\u54cd\u8fd8\u4e0d\u80fd\u5145\u5206\u770b\u51fa\u6765\u3002\u8fd9\u8981\u523020\u4e16\u7eaa\u6b63\u6001\u5c0f\u6837\u672c\u7406\u8bba\u5145\u5206\u53d1\u5c55\u8d77\u6765\u4ee5\u540e\u3002\u62c9\u666e\u62c9\u65af\u5f88\u5feb\u5f97\u77e5\u9ad8\u65af\u7684\u5de5\u4f5c\uff0c\u5e76\u9a6c\u4e0a\u5c06\u5176\u4e0e\u4ed6\u53d1\u73b0\u7684\u4e2d\u5fc3\u6781\u9650\u5b9a\u7406\u8054\u7cfb\u8d77\u6765\uff0c\u4e3a\u6b64\uff0c\u4ed6\u5728\u5373\u5c06\u53d1\u8868\u7684\u4e00\u7bc7\u6587\u7ae0\uff08\u53d1\u8868\u4e8e1810\u5e74\uff09\u4e0a\u52a0\u4e0a\u4e86\u4e00\u70b9\u8865\u5145\uff0c\u6307\u51fa\u5982\u82e5\u8bef\u5dee\u53ef\u770b\u6210\u8bb8\u591a\u91cf\u7684\u53e0\u52a0\uff0c\u6839\u636e\u4ed6\u7684\u4e2d\u5fc3\u6781\u9650\u5b9a\u7406\uff0c\u8bef\u5dee\u7406\u5e94\u6709\u9ad8\u65af\u5206\u5e03\u3002\u8fd9\u662f\u5386\u53f2\u4e0a\u7b2c\u4e00\u6b21\u63d0\u5230\u6240\u8c13\u201c\u5143\u8bef\u5dee\u5b66\u8bf4\u201d\u2014\u2014\u8bef\u5dee\u662f\u7531\u5927\u91cf\u7684\u3001\u7531\u79cd\u79cd\u539f\u56e0\u4ea7\u751f\u7684\u5143\u8bef\u5dee\u53e0\u52a0\u800c\u6210\u3002\u540e\u6765\u52301837\u5e74\uff0c\u6d77\u6839\uff08G.Hagen\uff09\u5728\u4e00\u7bc7\u8bba\u6587\u4e2d\u6b63\u5f0f\u63d0\u51fa\u4e86\u8fd9\u4e2a\u5b66\u8bf4\u3002
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正态分布是数理统计中一种最基本、最重要的概率分布。这是因为：第一,经验证明客观世界里的确有一些现象,例如随机变量的误差,岩石与矿石中某些元素的含量等,是遵循正态分布规律的；第二,即使统计总体不服从正态分布,但它的样本的一些特征数,如平均数、方差是符合正态分布的。
正态分布的概率密度函数(或称频率分布密度函数)为
放射性勘探技术
式中：x——从此分布中抽出的随机样本值；
e——自然对数的底,e=2.71828…；
μ——曲线最高点对应的横坐标,叫正态分布变量的均值；
σ——正态分布的标准差。
均值μ与标准差σ是正态分布的两个数字特征,有了μ与σ,曲线的形态就完全确定了。σ值愈大,曲线愈平缓,数据愈分散；σ愈小,曲线愈陡峭,数据愈集中。图8-5和图8-6分别是不同μ与σ值时正态概率密度曲线。通常正态分布记为N(μ,σ2)。
图8-5 正态分布随参数μ的变化曲线
图8-6 正态分布随参数σ的变化曲线
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