庞加莱是如何证明“庞加莱猜想”的？
庞加莱认为的三类科学假设分别举例如下：
第一类假设是“隐蔽的定义”，举例为：
是纯属自然的,人们难以摆脱。我们很难假设遥远物体的作用就是可以忽略，还有小规模的运动是遵循线性法则以及结果是关于起因的函数。
第二类假设是中性假设，是一种能够帮助科学家计算、理解图像或是坚定信念的辅助性技巧或手段，举例为：
例如我们在大多数问题的分析里也就假设在推算开始，物质要么是连续的,或者相反是由原子构成的。假设也有可能是相反的,但结果最终还是一样的，也只是相反的路走得更复杂一些，仅此而已。
第三类假设是概括，是对事物之间关系的描述，举例为：
是真正的归纳总结，这些就是必须要实验来验证或者证实。不管结果是对是错，都不熊说一点用都没有。
关于庞加莱三类科学假设的比喻：
我们想象这样一个房子，这个空间是一个球。或者想象一只巨大的足球，里面充满了气，我们钻到里面看，这就是一个球形的房子。
我们不妨假设这个球形的房子墙壁是用钢做的，非常结实，没有窗户没有门，我们在这样的球形房子里。拿一个气球来，带到这个球形的房子里，随便什么气球都可以（其实对这个气球是有要求的）。
这个气球并不是瘪的，而是已经吹成某一个形状，什么形状都可以（对形状也有一定要求）。但是这个气球，我们还可以继续吹大它，而且假设气球的皮特别结实，肯定不会被吹破。还要假设，这个气球的皮是无限薄的。
好，接着我们继续吹大这个气球，一直吹。吹到最后会怎么样呢？庞加莱先生猜想，吹到最后，一定是气球表面和整个球形房子的墙壁表面紧紧地贴住，中间没有缝隙。
我们还可以换一种方法想想：如果我们伸缩围绕一个苹果表面的橡皮带，那么我们可以既不扯断它，也不让它离开表面，使它慢慢移动收缩为一个点。
另一方面，如果我们想象同样的橡皮带以适当的方向被伸缩在一个轮胎面上，那么不扯断橡皮带或者轮胎面，是没有办法把它收缩到一点的。我们说苹果表面是“单连通的”，而轮胎面不是。
看起来这是不是很容易想清楚？但数学可不是“随便想想”就能证明一个猜想的，这需要严密的数学推理和逻辑推理。一个多世纪以来，无数的科学家为了证明它，绞尽脑汁甚至倾其一生还是无果而终。
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