高一数学必修五 基本不等式应用的证明问题2

\u9ad8\u4e00\u6570\u5b66\u5fc5\u4fee\u4e94 \u57fa\u672c\u4e0d\u7b49\u5f0f\u5e94\u7528\u7684\u8bc1\u660e\u95ee\u98984

\u56e0\u4e3aa\u3001b\u662f\u6b63\u6570
\u7531\u57fa\u672c\u4e0d\u7b49\u5f0f\u6709a+b\u22652\u221aab\uff1e0
\u6240\u4ee5ab=a+b+3\u22652\u221aab+3
\u6240\u4ee5ab-2\u221aab-3\u22650
\u5373\uff08\u221aab+1)(\u221aab-3)\u22650
\u6545\u221aab\u22653\u6216\u221aab\u2264-1\uff08\u4e0d\u7b26\uff0c\u820d\u53bb\uff09
\u6240\u4ee5ab\u22659

\uff08a+b)/2>=\u6839\u53f7ab lg((a+b)/2)>=lg(\u6839\u53f7ab)
\uff08b+c)/2>=\u6839\u53f7bc lg((b+c)/2)>=lg(\u6839\u53f7bc)
\uff08a+c)/2>=\u6839\u53f7ac lg((a+c)/2)>=lg(\u6839\u53f7ac)
lg((a+b)/2)+lg((b+c)/2)+lg((c+a)/2)>=lg(abc)=lga+lgb+lgc
\u56e0\u4e3aa b c\u4e0d\u5168\u76f8\u7b49\uff0c\u6240\u4ee5\u7b49\u53f7\u4e0d\u6210\u7acb
\u6545lg((a+b)/2)+lg((b+c)/2)+lg((c+a)/2)>lga+lgb+lgc

因为a、b、c是正数
由基本不等式有a^2+b^2≥2ab＞0
b^2+c^2≥2bc＞0
c^2+a^2≥2ac＞0
所以a(b^2+c^2)+b(c^2+a^2)+c(a^2+b^2)
≥a*2bc+b*2ac+c*2ab
=6abc
又因为a、b、c不全相等，所以上面三个式子不能同时成立
所以a(b^2+c^2)+b(c^2+a^2)+c(a^2+b^2)＞6abc

。。。
移到左边
a(b^2+c^2)+b(c^2+a^2)+c(a^2+b^2)-2abc-2abc-2abc
整到括号内
a（b^2+c^2-2bc）+b(c^2+a^2-2ac)+c(a^2+b^2-2ab）
=a（b+c）^2+b(a+c)^2+c(a+b)^2>0
OK?

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