为什么可导函数的导数未必可导
函数的可导性是对切线的存在与否进行判断，而函数的导数的可导性则是对导函数的连续性进行判断。因为导函数是函数的斜率函数，两者在性质上是不同的，所以函数可导但导数未必可导。具体来说，一个函数在某一点可导意味着它在该点附近有一条切线，而且这条切线的斜率是有限的。但是，这并不能保证函数的导数在所有点上都存在或者连续。例如，考虑函数f(x) = x^n * sin(1/x)（当x≠0时）和g(x) = 0（当x=0时）。这个函数在x=0处是可导的，其导数为0。但是，当n>m时，导函数在x=0附近是无界的。此外，尽管导函数可能不存在第一类间断点和无穷间断点，但它可能含有振荡间断点。
因此，即使一个函数在某一点可导，也不能保证其导数在所有点上都连续或可导。这就是为什么可导函数的导数未必可导的原因。
可导函数的导数未必可导，这是因为导数的计算是通过极限定义的，而极限的取值可能不连续，因此导数可能在某些点处不可导。
例如，函数
f(x) = x^{2} \sin\frac{1}{x}
f(x)=x
2
sin
x
1
在
x=0
x=0 处是不可导的，这是因为当
x \rightarrow 0
x0 时，函数值
f(x)
f(x) 无限次地取到
+1
+1 和
-1
−1，导致极限
\lim_{x \rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}
lim
x0
h
f(x+h)−f(x)
不存在。
此外，一些函数在其定义域内的某些点处也可能没有导数，例如分段函数等。
总之，可导函数的导数未必可导，这是因为导数的计算涉及到极限的取值，而极限的取值可能不连续或者在某些点处不存在。
可导函数的导数不一定可导
f(x)=x^2,(x≥0),f(x)=-x^2,(x<0).
f(x)处处可导，f′(x)=2|x|,在x=0不可导
也不一定连续
如g(x)=x^2×sin(1/x)除x=0外处处可导且g'(x)=2x×sin(1/x)-cos(1/x)，如果补充定义g(0)=0，则由导数定义可求得g'(0)=0，
但显然lim(x->0)g'(x)≠g'(0)。因此g(x)的导函数不在包含x=0的区间内连续
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