线性代数的关于行列式的性质 线性代数 行列式的性质问题
\u7ebf\u6027\u4ee3\u6570 \u884c\u5217\u5f0f\u7684\u6027\u8d28\u8ba1\u7b97\uff1f行列式
在数学中，是由解线性方程组产生的一种算式。行列式的特性可以被概括为一个多次交替线性形式，这个本质使得行列式在欧几里德空间中可以成为描述“体积”的函数。
行列式的基本性质
n阶行列式的性质：
性质1：行列式与他的转置行列式相等。
性质2：互换行列式的两行（列），行列式变号。
推论：若一个行列式中有两行的对应元素（指列标相同的元素）相同，则这个行列式为零。
性质3：行列式中某行的公共因子k,可以将k提到行列式外面来。
推论：行列式中有两行（列）元素对应成比例时，该行列式等于零。
性质4：行列式具有分行（列）相加性。
推论：如果将行列式某一行（列）的每个元素都写成m个数（m为大于2的整数）的和，则此行列式可以写成m个行列式的和。
性质5：行列式某一行（列）各元素乘以同一个数加到另一行（列）对应元素上，行列式不变。[2]
其它性质
若A是可逆矩阵， 设A‘为A的转置矩阵， （参见共轭） 若矩阵相似，其行列式相同。 行列式是所有特征值之积。这可由矩阵必和其Jordan标准形相似推导出。
行列式的展开
余因式(英译：cofactor)
又称“余子式”、“余因子”。参见主条目余因式对一个n阶的行列式M，去掉M的第i行第j列后形成的n-1阶的行列式叫做M关于元素mij的子式。记作Mij。
余因式为 Cij=（-1）^(i+j)*Mij
代数余子式
在n阶行列式中，把（i，j）元aij所在的第i行和第j列划去后，留下来的n-1阶行列式叫做（i，j）元aij的余子式，记作Mij：记
Aij=（-1）i+j Mij
Aij叫做（i，j）元aij的代数余子式
行和列的展开
一个n阶的行列式M可以写成一行(或一列)的元素与对应的代数余子式的乘积之和，叫作行列式按一行(或一列)的展开。
这个公式又称作拉普拉斯公式，把n阶的行列式计算变为了n个n-1阶行列式的计算。
行列式函数
由拉普拉斯公式可以看出，矩阵A的行列式是关于其系数的多项式。因此行列式函数具有良好的光滑性质。
单变量的行列式函数设为的函数，则也是的。其对t的导数为
矩阵的行列式函数函数是连续的。由此，n阶一般线性群是一个开集，而特殊线性群则是一个闭集。
函数也是可微的，甚至是光滑的（）。其在A处的展开为
也就是说，在装备正则范数的矩阵空间Mn()中，伴随矩阵是行列式函数的梯度
特别当A为单位矩阵时，
可逆矩阵的可微性说明一般线性群GLn()是一个李群。
性质1：行列式与它转置行列式相等。 性质2：若行列式两行相同，则行列式为0 性质3：行列式中两行成比例，则行列式为0性质4：把行列式一行的倍数对应加到另一行，行列式值不变 性质5：对换行列式中两行位置，行列式反号。
绛旓細鎬ц川1锛氳鍒楀紡涓庝粬鐨勮浆缃鍒楀紡鐩哥瓑銆傛ц川2锛氫簰鎹㈣鍒楀紡鐨勪袱琛岋紙鍒楋級锛岃鍒楀紡鍙樺彿銆傛帹璁猴細鑻ヤ竴涓鍒楀紡涓湁涓よ鐨勫搴斿厓绱狅紙鎸囧垪鏍囩浉鍚岀殑鍏冪礌锛夌浉鍚岋紝鍒欒繖涓鍒楀紡涓洪浂銆傛ц川3锛氳鍒楀紡涓煇琛岀殑鍏叡鍥犲瓙k,鍙互灏唊鎻愬埌琛屽垪寮忓闈㈡潵銆傛帹璁猴細琛屽垪寮忎腑鏈変袱琛岋紙鍒楋級鍏冪礌瀵瑰簲鎴愭瘮渚嬫椂锛岃琛屽垪寮忕瓑浜庨浂銆傛ц川4锛...
绛旓細琛屽垪寮忔槸绾挎т唬鏁颁腑鐨勫熀鏈蹇典箣涓锛屽畠鏄釜鐢辫鍜屽垪缁勬垚鐨勬柟闃电殑鐗规畩鍊硷紝鍙嶆槧浜嗙煩闃靛湪琛屽垪鏂归潰鐨勭壒鎬銆1銆佽鍒楀紡涓庨浂鐨勫叧绯昏鍒楀紡绛変簬闆剁殑鎯呭喌涓昏鍙戠敓鍦ㄦ柟闃电殑琛屾垨鍒椾腑瀛樺湪鍏ㄩ浂鐨勬儏鍐点傚叿浣撴潵璇达紝濡傛灉涓涓柟闃电殑涓琛屾垨澶氳鍏冪礌涔嬪拰涓洪浂锛屽垯璇ユ柟闃电殑琛屽垪寮忎负闆躲傝繖鏄洜涓烘牴鎹鍒楀紡鐨勫畾涔夛紝杩欎簺琛屼腑鐨...
绛旓細璐1锛氳鍒楀紡涓庡畠杞疆琛屽垪寮忕浉绛銆 鎬ц川2锛氳嫢琛屽垪寮忎袱琛岀浉鍚岋紝鍒欒鍒楀紡涓0 鎬ц川3锛氳鍒楀紡涓袱琛屾垚姣斾緥锛屽垯琛屽垪寮忎负0鎬ц川4锛氭妸琛屽垪寮忎竴琛岀殑鍊嶆暟瀵瑰簲鍔犲埌鍙︿竴琛岋紝琛屽垪寮忓间笉鍙 鎬ц川5锛氬鎹㈣鍒楀紡涓袱琛屼綅缃紝琛屽垪寮忓弽鍙枫
绛旓細鏂归樀鐨琛屽垪寮鏄竴涓暟瀛楋紝杩欎釜鏁板瓧鍖呭惈浜嗙煩闃电殑澶ч噺淇℃伅銆傞鍏堬紝瀹冪珛鍗冲憡璇変簡鎴戜滑杩欎釜鐭╅樀鏄惁鍙嗐傜煩闃电殑琛屽垪寮忎负闆剁殑璇濓紝鐭╅樀灏辨病鏈夐嗙煩闃点傚綋 鍙嗙殑鏃跺欙紝鍏堕嗙煩闃 鐨勮鍒楀紡涓 銆傝鍒楀紡鍙互鐢ㄦ潵姹傞嗙煩闃点佽绠椾富鍏冨拰姹傝В鏂圭▼缁勶紝浣嗘槸鎴戜滑寰堝皯杩欐牱鍋氾紝鍥犱负娑堝厓浼氭洿蹇傚浜庝笂杩扮煩闃碉紝濡傛灉琛屽垪寮...
绛旓細鎬ц川1锛氳鍒楀紡涓庡畠鐨勮浆缃鍒楀紡鐩哥瓑銆傛ц川2锛氫簰鎹㈣鍒楀紡鐨勪袱琛(鍒)锛岃鍒楀紡鍙樺彿銆傛ц川3锛氳鍒楀紡鐨勬煇涓琛(鍒)涓墍鏈夌殑鍏冪礌閮戒箻浠ュ悓涓鏁発锛岀瓑浜庣敤鏁発涔樻琛屽垪寮忋傛ц川4锛氳鍒楀紡涓鏋滄湁涓よ(鍒)鍏冪礌鎴愭瘮渚嬶紝鍒欐琛屽垪寮忕瓑浜庨浂銆傛ц川5锛氳嫢琛屽垪寮忕殑鏌愪竴琛(鍒)鐨勫厓绱犻兘鏄袱鏁颁箣鍜岋紝渚嬪绗琷鍒楃殑鍏冪礌閮芥槸...
绛旓細绾挎т唬鏁涓璬et浠ｈ〃鏄皢涓涓鍒楀紡璁＄畻鍑烘潵鐨勬剰鎬濓紝鏄竴涓暟锛屽叾鏈夊叧鍐呭濡備笅锛1銆琛屽垪寮忕殑瀹氫箟锛歯闃惰鍒楀紡锛堜篃绉颁负n闃舵柟闃垫垨n脳n鐭╅樀锛夌敱澶氫釜n缁村悜閲忕粍鎴愮殑涓绉嶇嚎鎬у彉鎹傚畠鍙互灏嗕竴涓猲缁村悜閲忛氳繃鏌愮绾挎у彉鎹㈣浆鎹负鍙︿竴涓猲缁村悜閲忋傚浜庝换鎰忕殑n缁村悜閲忥紝鍙互浣跨敤瀹冪殑鎵鏈夋帓鍒楃粍鍚堟潵鏋勬垚涓涓猲闃惰鍒楀紡锛...
绛旓細鏍规嵁琛屽垪寮忕殑鎬ц川鏉ヨ绠楋紝姣斿鈶犲皢鏌愪竴鍒楃殑鍏洜鏁版彁鍑烘潵锛屸憽鏌愪竴鍒椾箻涓涓父鏁板姞鍒板彟涓鍒椾笂锛岃鍒楀紡涓嶅彉锛屸憿浜ゆ崲涓ゅ垪锛岃鍒楀紡鍙樺彿銆
绛旓細鍦╪闃琛屽垪寮涓紝鎶婂厓绱燼ₒₑi鎵鍦ㄧ殑绗琽琛屽拰绗琫鍒楀垝鍘诲悗锛岀暀涓嬫潵鐨刵-1闃惰鍒楀紡鍙仛鍏冪礌aₒₑi鐨勪綑瀛愬紡锛岃浣淢ₒₑ锛屽皢浣欏瓙寮廙ₒₑ鍐嶄箻浠-1鐨刼+e娆″箓璁颁负Aₒₑ锛孉ₒₑ鍙仛鍏冪礌aₒₑ鐨浠ｆ暟浣欏瓙寮忋備竴...
绛旓細A)鎴 | A | 銆傛棤璁烘槸鍦绾挎т唬鏁銆佸椤瑰紡鐞嗚锛岃繕鏄湪寰Н鍒嗗涓紙姣斿璇存崲鍏冪Н鍒嗘硶涓級锛琛屽垪寮浣滀负鍩烘湰鐨勬暟瀛﹀伐鍏凤紝閮芥湁鐫閲嶈鐨勫簲鐢ㄣ傝鍒楀紡绛変环鍙互鐪嬪仛鏄湁鍚戦潰绉垨浣撶Н鐨勬蹇靛湪涓鑸殑娆у嚑閲屽緱绌洪棿涓殑鎺ㄥ箍锛屾垨鑰呰锛屽湪n缁存鍑犻噷寰楃┖闂翠腑锛岃鍒楀紡鎻忚堪鐨勬槸涓涓嚎鎬у彉鎹㈠鈥滀綋绉濇墍閫犳垚鐨勫奖鍝嶃
绛旓細琛屽垪寮忕殑鎬ц川锛1銆佽鍒楀紡A涓煇琛(鎴栧垪)鐢ㄥ悓涓鏁発涔,鍏剁粨鏋滅瓑浜巏A銆2銆佽鍒楀紡A绛変簬鍏惰浆缃鍒楀紡AT(AT鐨勭i琛屼负A鐨勭i鍒)銆3銆佽嫢n闃惰鍒楀紡|伪ij|涓煇琛(鎴栧垪);琛屽垪寮忓垯|伪ij|鏄袱涓鍒楀紡鐨勫拰锛岃繖涓や釜琛屽垪寮忕殑绗琲琛(鎴栧垪),涓涓槸b1,b2,鈥,bn锛涘彟涓涓槸褋1锛屟2,鈥,褋n锛涘叾浣欏悇琛岋紙...
