如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD,BC=2AD.DE⊥BC,垂足为点F,且F是DE的中点,连接AE交边BC于点G如果AD=√2AB
\u5982\u56fe,\u5728\u68af\u5f62ABCD\u4e2d,AD\u5e73\u884cBC,E\u662f\u8fb9CD\u7684\u4e2d\u70b9,AE\u4e0eBC\u7684\u5ef6\u957f\u7ebf\u4ea4\u4e8e\u70b9F\u2235AD\u2016BF
\u2234\u2220ADE=\u2220FCE
\u22bfADE\u22bfFCE\u4e2d
\u2235\u2220ADE=\u2220FCE,\u2220AED=\u2220FEC,DE=CE
\u2234\u22bfADE\u224c\u22bfFCE
\u2234AE=FE
\u2235\u22bfABF\u9762\u79ef=\u56db\u8fb9\u5f62ABCE\u9762\u79ef+\u22bfFCE\u9762\u79ef
\u68af\u5f62ABCD\u9762\u79ef=\u56db\u8fb9\u5f62ABCE\u9762\u79ef+\u22bfADE\u9762\u79ef
\u2234\u22bfABF\u9762\u79ef=\u68af\u5f62ABCD\u9762\u79ef
\u2235\u22bfABE\u548c\u22bfBEF\u7b49\u5e95\u7b49\u9ad8\uff08\u5e95\uff1aAE=FE
\u2234\u22bfABE\u9762\u79ef=\u68af\u5f62ABCD\u9762\u79ef \u00f72
1\u3001\u7531\u9898\u610f\u77e5\uff1aAE\u4e3a\u7b49\u8170\u25b3ABD\u7684\u9ad8\uff0c\u6545BE=ED,
\u53c8F\u662fCD\u7684\u4e2d\u70b9\uff0cCF=FD
\u6545EF\u4e3a\u25b3ACD\u7684\u4e2d\u4f4d\u7ebf\uff0c\u6240\u4ee5EF//BC//AD
\u56e0\u4e3aABCD\u4e3a\u7b49\u8170\u68af\u5f62\uff0c\u6545\u2220C=\u2220ABC=60\uff0c\u2220BAD=\u2220ADC=(2X180-60X2)/2=120
\u2220ADE=\u2220ABD=(180-120)/2=30
\u6240\u4ee5\u2220EDF=\u2220ADC-\u2220ADE=120-30=90
\u6240\u4ee5\u2220EDF\uff1d\u2220AED=90,\u6545AE//DF
\u6240\u4ee5\u56db\u8fb9\u5f62AEFD\u662f\u5e73\u884c\u56db\u8fb9\u5f62
2\u3001\u4ee4EF\u3001DG\u4ea4\u4e8eH,\u56e0\u4e3aEF//BC\uff0cF\u4e3aCD\u4e2d\u70b9\uff0c\u6240\u4ee5HF\u4e3aRT\u25b3DGC\u7684\u4e2d\u4f4d\u7ebf\uff0c\u4e14HF\u22a5 DG
\u6240\u4ee5DH=HG=DG/2
RT\u25b3AED\u4e2d\uff0c\u2220ADE=30\uff0c\u6240\u4ee5AD=2AE=2x\uff1dEF,
ED= \u221a(AD\uff3e2\uff0dAE\uff3e2)=\u221a\uff084x\uff3e2\uff0dx\uff3e2)=\u221a3x
RT\u25b3EHD\u4e2d\uff0c\u2220DEH=\u2220ADE=30\uff0c\u6240\u4ee5DH=ED/2=\u221a3x/2,
y=\u25b3DEF\u9762\u79ef+\u25b3GEF\u9762\u79ef\uff1d2\u25b3DEF\u9762\u79ef\uff1d2*\uff082x*\u221a3x/2/2)=\u221a3x\uff3e2
（1）求证：四边形ABGD是平行四边形；
（2）如果AD= 2AB，求证：四边形DGEC是正方形．考点：正方形的判定；勾股定理；平行四边形的判定；梯形．专题：证明题．分析：（1）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得DC=EC，根据等边对等角可得∠DCF=∠ECF，再求出∠B=∠ECF，然后根据内错角相等，两直线平行求出AB∥EC，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定四边形ABEC是平行四边形，再根据平行四边形的对角线互相平分求出EG=CG= 12BC，然后求出AD=BG，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定即可；
（2）根据平行四边形的对边平行且相等可得AB∥DG，AB=DG，然后求出DG∥EC，DG=EC，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形求出四边形DGEC是平行四边形，再根据邻边相等的四边形是菱形判定为菱形，然后根据勾股定理逆定理求出∠GDC=90°，根据一个角是直角的菱形是正方形证明．解答：证明：（1）∵DE⊥BC，且F是DE的中点，
∴DC=EC，
即得∠DCF=∠ECF，
又∵AD∥BC，AB=CD，
∴∠B=∠DCF，AB=EC，
∴∠B=∠ECF，
∴AB∥EC，
又∵AB=EC，
∴四边形ABEC是平行四边形，
∴EG=CG=12BC，
∵BC=2AD，
∴AD=BG，
又∵AD∥BG，
∴四边形ABGD是平行四边形；
（2）∵四边形ABGD是平行四边形，
∴AB∥DG，AB=DG，
又∵AB∥EC，AB=EC，
∴DG∥EC，DG=EC，
∴四边形DGEC是平行四边形，
又∵DC=EC，
∴四边形DGEC是菱形，
∴DG=DC，
由AD=根号2AB，即得CG等于根号2DC=根号2DG，
∴DG2+DC2=CG2，
∴∠GDC=90°，
∴四边形DGEC是正方形．
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