连续函数
连续函数是指函数y=f（x）当自变量x的变化很小时，所引起的因变量y的变化也很小。
一、连续函数的法则
1、 在某点连续的有限个函数经有限次和、差、积、商（分母不为0） 运算，结果仍是一个在该点连续的函数。
2、连续单调递增（递减）函数的反函数，也连续单调递增（递减）。
3、连续函数的复合函数是连续的。
二、连续函数的定义
对于连续性，在自然界中有许多现象，如气温的变化，植物的生长等都是连续地变化着的。这种现象在函数关系上的反映，就是函数的连续性。
一个函数在开区间（a，b）内每点连续，则为在（a，b）连续，若又在a点右连续，b点左连续，则在闭区间（a，b）连续，如果在整个定义域内连续，则称为连续函数。显然，由极限的性质可知，一个函数在某点连续的充要条件是它在该点左右都连续。
连续函数的三种性质
1、有界性
闭区间上的连续函数在该区间上一定有界。所谓有界是指，存在一个正数M，使得对于任意x∈[a，b]，都有|f（x）|≤M。利用致密性定理，有界的数列必有收敛子数列。反证法，假设f（x）在[a，b]上无上界，则对任意正数M，都存在一个x∈[a，b]，使f（x）>M。
2、最值性
闭区间上的连续函数在该区间上一定能取得最大值和最小值。所谓最大值是指，[a，b]上存在一个点x0，使得对任意x∈[a，b]，都有f（x）≤f（x0），则称f（x0）为f（x）在[a，b]上的最大值。最小值可以同样作定义，只需把上面的不等号反向即可。
3、介值性
若f（a）=A，f（b）=B，且A≠B。则对A、B之间的任意实数C，在开区间（a，b）上至少有一点c，使f（c）=C，这个性质又被称作介值定理。
4、一致连续性
闭区间上的连续函数在该区间上一致连续。利用有限覆盖定理：如果H是闭区间[a，b]的一个无限开覆盖，那么能从H中选择有限个开区间来覆盖[a，b]。详细证法参考相应词条。
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