怎么用直角坐标三重积分推导球的体积公式？ 二重积分转换成极坐标计算的面积元素，三重积分转换成柱坐标、球...
\u5982\u4f55\u7528\u4e09\u91cd\u79ef\u5206\u63a8\u5bfc\u7403\u7684\u4f53\u79ef\uff1f\u8fd9\u4e2a\u561b\uff0c\u6709\u7403\u9762\u5750\u6807\u5c31\u662f\u4e00\u6b65\uff0c\u7528\u76f4\u89d2\u5750\u6807\u633a\u590d\u6742\u7684\uff1b
\u6211\u8fd8\u662f\u7528\u7403\u9762\u5750\u6807\u4e86\uff1a\u753b\u5f20\u56fe\uff0c\u9f20\u6807\u753b\u7684\uff0c\u6709\u70b9\u4e11
V=\uff08\u4e09\u91cd\u79ef\u5206\u53f7\uff091*p^2*sin(theta\uff09d\uff08theta\uff09d\uff08phi\uff09dp=4\u03c0r^3/3
\u7403\u9762\u5750\u6807\u8ba1\u7b97\u7684\u4f53\u79ef\u516c\u5f0f=\u222b\u222b\u222b_V dV
\u6b64\u5904\u662f\u7403\u4f53,\u90a3\u4e48\u5229\u7528\u7403\u5750\u6807
=\u222b\u222b\u222b \u03c1^2 sin \u03c6 d\u03c1d\u03c6d\u03b8
=\u222bd\u03b8 \u222bsin \u03c6d\u03c6 \u222b \u03c1^2d\u03c1
=2\u03c0*[-cos\u03c6 |]*[\u03c1^3/3 |]
=2\u03c0*2*r^3/3
=4\u03c0r^3/3
\u6269\u5c55\u8d44\u6599
\u7403\u9762\u5750\u6807\u7cfb\u662f\u4e09\u5927\u5e38\u7528\u7684\u5750\u6807\u7cfb\u4e4b\u4e00\uff0c\u5176\u5b83\u4e8c\u4e2a\u5e38\u7528\u7684\u5750\u6807\u7cfb\u662f\u6807\u51c6\u7684\u6b27\u6c0f\u5750\u6807\u7cfb\u3001\u67f1\u9762\u5750\u6807\u7cfb\u3002\u7403\u9762\u5750\u6807\u53d8\u6362\u516c\u5f0f\u63cf\u8ff0\u4e86\u7a7a\u95f4\u4e2d\u4e00\u70b9P\u5728\u6b27\u6c0f\u5750\u6807\u7cfb\u4e0b\u7684\u5750\u6807
\u4e0e\u7403\u9762\u5750\u6807\u7cfb\u4e0b\u7684\u5750\u6807
\u4e4b\u95f4\u7684\u53d8\u6362\u5173\u7cfb\u3002\u8be5\u53d8\u6362\u5173\u7cfb\u5982\u4e0b\u8ff0\u516c\u5f0f\u7ed9\u51fa \uff1a
\u6216\u8005\uff0c\u5c06\u8868\u8fbe\u6210\u7684\u5f62\u5f0f\uff1a
\u53c2\u8003\u8d44\u6599\u6765\u6e90\uff1a\u767e\u5ea6\u767e\u79d1\u2014\u7403\u9762\u5750\u6807\u53d8\u6362
V = 8∫<0, R>dx∫<0, √(R^2-x^2)>dy∫<0, √(R^2-x^2-y^2)>dz
= 8∫<0, R>dx∫<0, √(R^2-x^2)>√(R^2-x^2-y^2)dy
记 a^2 = R^2-x^2, 代公式 ∫√(a^2-y^2)dy = (y/2)√(a^2-y^2)+(a^2/2)arcsin(y/a)
V = 8∫<0, R>dx[(y/2)√(a^2-y^2)+(a^2/2)arcsin(y/a)]<0, √(R^2-x^2)>
= 8∫<0, R>dx[(y/2)√(R^2-x^2-y^2)+(1/2)(R^2-x^2)arcsin(y/√(R^2-x^2))]<0, √(R^2-x^2)>
= 8∫<0, R>dx[0+(1/2)(R^2-x^2)(π/2)]
= 2π∫<0, R>(R^2-x^2)dx = 2π[R^2 x - x^3/3]<0, R> = (4π/3)R^3
这个主要看积分区域（图形），通常情况如下：
1.
图形可以映射到某一个坐标面为圆或者部分圆，建议用柱坐标。
2.
图形为球体的一部分，建议用球坐标。
3.
图形不规律，也不满足1和2两点，建议用直角坐标。
个人经验，望采纳。
莫名的忧伤。
唉，这些年太堕落了，这些都忘了。
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