数列构造法：例题 a1=2。 an=2an-1+1 求an 数列a1=2 an=an-1+2/2an-1+1 求an

\u5df2\u77e5\u6570\u5217an,a1=2,an=2\uff08an-1 \uff09-1\uff08n\u5927\u4e8e\u7b49\u4e8e2\uff09,\u6c42an\u3002\u54ea\u4f4d\u5927\u795e\u80fd\u7528\u8fed\u4ee3\u6cd5\u548c\u6784\u9020\u6cd5\u505a\u3002\u5728\u7ebf\u7b49\uff0c\u8c22\u4e86\uff01\uff01

\u8fed\u4ee3\u6cd5\uff1a\uff08an\uff09-1=2[\uff08an-1\uff09-1]=2*2[(an-2)-1]=......=2^(n-1)[(a1)-1]
\u6784\u9020\u6cd5\uff1a\u8bbe\uff08an\uff09-k=2[(an-1\uff09-k].\u5316\u7b80\u548c\u539f\u5f0f\u6bd4\u8f83\u53ef\u77e5k=1.\u4ee4bn=\uff08an\uff09-1.\u5f97\u7b49\u6bd4\u6570\u5217

\u89e3\uff1a
n\u22652\u65f6\uff0c
an=[a(n-1)+2]/[2a(n-1)+1]
an+1=[a(n-1)+2+2a(n-1)+1]/[2a(n-1)+1]=3[a(n-1)+1]/[2a(n-1)+1]
an-1=[a(n-1)+2-2a(n-1)-1]/[2a(n-1)+1]=-[a(n-1)-1]/[2a(n-1)+1]
(an+1)/(an-1)=(-3)[a(n-1)+1]/[a(n-1)-1]
(an+1)/(an-1) / [a(n-1)+1]/[a(n-1)-1]=-3\uff0c\u4e3a\u5b9a\u503c
(a1+1)/(a1-1)=(2+1)/(2-1)=3
\u6570\u5217{(an+1)/(an-1)}\u662f\u4ee53\u4e3a\u9996\u9879\uff0c-3\u4e3a\u516c\u6bd4\u7684\u7b49\u6bd4\u6570\u5217
(an+1)/(an-1)=3\u00b7(-3)ⁿ⁻¹=-(-3)ⁿ
an=[(-3)ⁿ-1]/[(-3)ⁿ+1]
n=1\u65f6\uff0ca1=[(-3)-1]/[(-3)+1]=(-4)/(-2)=2\uff0c\u540c\u6837\u6ee1\u8db3\u8868\u8fbe\u5f0f
\u6570\u5217{an}\u7684\u901a\u9879\u516c\u5f0f\u4e3aan=[(-3)ⁿ-1]/[(-3)ⁿ+1]

这是一种很常见的等比数列类型，即
an=b*an-1+c
(b,c为常数
b不等于1
，b等于1，an为等差数列)
那么
an+m=b(an-1+m)
即an=ban-1+(b-1)m
则(b-1)m=c
m=c/(b-1)
那么只要在两边分别加上m,an+m就是一个等比数列了，然后求出an+m的通项再减去m就得到an了
上面这道题
m=1/(1/2-1)=-2
即
an-2=1/2(an-1-2)
(n>=2)
那么an-2为等比数列，公比为1/2,首项为1-2=-1
所以an-2=-1*1/2^(n-1)
an=-1/2^(n-1)+2

2an=a(n-1)+n+1
2an-2n=a(n-1)-n+1
2(an-n)=a(n-1)-(n-1)
(an-n)/[a(n-1)-(n-1)]=1/2，为定值。
有通用的方法的。
可设2an+2m(含n的式子)=a(n-1)+m(与等式左边对应，除了n换成n-1外，其余都相同的式子)
求出m就可以了。
例如本题：
2an=a(n-1)+n+1
令2an-2mn=a(n-1)-m(n-1)
即2an=a(n-1)+2mn-mn+m=a(n-1)+mn+m=a(n-1)+m(n+1)
则有m(n+1)=n+1
m=1
代回去：
2an-2n=a(n-1)-(n-1)

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