第一数学归纳法
数学归纳法是证明关于正整数 的命题 成立与否时经常用到的方法.它是下面的归纳公理的一个直接推论.
归纳公理
设 是正整数集 的一个子集,满足条件:
(1) ;
(2)若 ,则 .
那么 .
归纳公理是由皮亚诺(G. Peano,1858-1932)提出的关于正整数的五条公理中的一条,它是数学归纳法的基础.
第一数学归纳法是最常用的一种形式,它就是我们高中课本中所提及的数学归纳法.
第一数学归纳法
设 是关于正整数 的一个命题(或性质).如果
(1)当 时, 成立;
(2)由 成立可以推出 成立.
那么,对任意 , 都成立.
证明
记 ,则 为 的子集.
由(1)知 ;
由(2)知,若 ,则 .
这样由归纳公理可知 ,也就是说,对任意 , 都成立.
说明 事实上,第一数学归纳法与归纳公理是等价的,因此,我们又称之为数学归纳法原理,并把第一数学归纳法简称为数学归纳法.
对中学生而言,要接受数学归纳法的含义和正确性并不难,但是要正确地用好数学归纳法却不是一件容易的事.
数学归纳法中的两步缺一不可.验证 成立是奠基,利用归纳假设结合已知的有关数学知识证出 成立是递推的根据.这两步对证明命题第一部分知识与方法相辅相成,构成数学归纳法证明过程的逻辑结构.尤为重要的是在证明过程中必须用到归纳假设,这是检验是否用对了数学归纳法的一把尺.
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