教学智慧彰显在细节中——张齐华教学案例集
陈惠芳张齐华，男，1976年6月生，江苏海门人。1997年任教于海门市实验小学，2004年调入南京市北京东路小学工作，任教科室主任。一直致力于数学课堂文化的探索与实践，参与数学课程标准苏教版小学数学教材的编写工作。先后获南通市骨干教师、南京市优秀青年教师等称号。
密斯·凡·德罗是20世纪最伟大的建筑师之一，在被要求用一句话来描述他成功的原因时，他只说了5个字，“成功在细节”。成功的课堂教学又何尝不是如此。对细节的正确把握，是一堂课出彩的关键。
在教学《分数的初步认识》一课时，张齐华老师将教材(图略)中的等分线作了隐藏处理，先出示第一条，告诉学生把一张纸条全部涂色，可以用数“1”来表示，请学生估计一下，现在涂色部分是几分之一。
学生有的猜1/3， 有的猜1/2。课件验证后得出涂色部分是1/3。教师继续出示第三张纸条，同样请学生估计。许多学生一下子就估计出是1/6，老师让学生交流是怎么估的，有没有什么窍门。原来学生用第三张与第二张纸条的1/3进行比较，发现这次涂色部分只有它的一半，所以确定用1/6来表示。
教师随即总结说：“瞧，借助观察和比较进行估计，这是多好的思考策略呀！”这个小小的一个细节却有思想在其中。然而，精彩的还不仅仅停留于此，接下去，张老师凭借这张小纸条做大文章，让学生观察这里的涂色部分和对应的数，并谈谈发现。学生有的发现了同样一张纸条，它的1/3要比1/6大；1里面有3个1/3，1里面有6个1/6；平均分的份数越多，涂色的一份也就越小……学生唧唧喳喳，思维异常活跃。这是一个充满灵性的课堂，从预设教案到动态生成，从学生估计意识的培养，到数学思维策略的综合训练，再到极限思想的有机渗透，朴素的内容承载着丰厚的数学内涵，一切精彩源于老师关注细节。
从这样的角度去分析，笔者还发现在教学《交换律》一课时，张老师勇做教材的创造者，而不是消费者。
张老师先讲了一个“朝三暮四”的故事，接着问学生想说些什么。
结合学生发言，教师板书：3+4=4+3。
师：观察这一等式，你有什么发现？
生1：我发现，交换两个加数的位置和不变。(教师板书这句话)
师：其他同学呢？(见没有补充)老师的发现和他很相似，但略有不同。(教师随即出示：交换3和4的位置和不变)比较我们俩给出的结论，你想说些什么？
生2：我觉得您(老师)给出的结论只代表了一个特例，但他(生1)给出的结论能代表许多情况。
生3：我也同意他(生2)的观点，但我觉得单就黑板上的这一个式子，就得出“交换两个加数的位置和不变”好像不太好。万一其他两个数相加的时候，交换它们的位置和不等呢！我还是觉得您的观点更准确、更科学一些。
师：的确，仅凭一个特例就得出“交换两个加数的位置和不变”这样的结论，似乎草率了点。但我们不妨把这一结论当作一个猜想(教师随即将生1给出的结论中的“。”改为“？”)。既然是猜想，那么我们还得——
生：验证……
北京师范大学数学科学学院曹一鸣先生在评课时认为：从整节课看，“加法结合律”只是一个触点，“减法中是否也会有交换律？”“乘法、除法中呢？”等新问题，则是原有触点中诞生的一个个新的生长点。统整到一起时，作为某一特定运算的“交换律知识”被弱化了，而“交换律”本身、“变与不变”的辩证关系、“猜想－实验－验证”的思考路线、由“此知”及“彼知”的数学联想等却一一获得凸显，成为超越于知识之上的更高的数学课堂追求。当我们在课堂上欣赏孩子沉思时的宁静、疑惑时的迷茫、顿悟时的愉悦、争辩时的激越，聆听时的惊讶、论证时的流畅，成功后的欢畅时……一个享受思辨的课堂，皆因张老师对细节的关注而精彩纷呈。
基于这样的思考，我还发现课堂上密切关注学习动态、对学生资源的有效利用，也是张老师引领学生进入思考境界的法宝。在学生写36约数的练习中，他有意选择了两份不同的作品进行讲评：
36的约数：1、2、3、4、6、9、12、18、36。
36的约数：1、36，2、18，3、12，4、9，6。
他首先让两个孩子分别介绍自己寻找约数的方法：第一个孩子说采用的“逐一法”，第二个孩子采用的是“配对法，两个两个找”。张老师不动声色，让其他同学比较哪一种方法最好，为什么？很多孩子自然认为“配对法”好，一一寻找，不易丢失答案。张老师并不满足于这样的“异口同声”，立即反问：“难道第一种方法没有值得肯定的吗？”这幽默一问，化解了第一个孩子的窘境。孩子们静心思考，独立反省，终获顿悟。最后，他追问那个采用“逐一法”的孩子：“如果继续让你找因数，你打算采用哪一种方法？”在这个教学细节中，张老师将“比较”方法演绎得淋漓尽致：第一层次的比较，学生学会了不同方法之间获得“最优化”的思想；第二个层次比较，学会了“辩证分析”的思想，看问题不能简单化；第三个层次的比较，获得了“欣赏借鉴”的思想，只有放大别人的优点，才能共享智慧之果。三次“比较”，不仅仅是一种数学方法的传授，更是一种思想价值的渗透。
用一颗灵动的心去感应，用一双智慧的眼睛去捕捉，用“蹲下身，走进去”的育人情怀引领学生触摸数学的精彩，贵在于细微处着笔墨。张老师对教材的深加工，对文本的精加工，随时捕捉学生的疑问、想法、创见等精彩瞬间，使课堂成为师生互动、心灵对话的舞台，成为师生共同创造奇迹、唤醒各自沉睡的潜能的时空。
-----发表于《中国教育报》2007年6月15日第5版
张齐华教学艺术系列（二）
评价的智慧：如芬芳的野花一路绽放
陈惠芳
“听张齐华的课很舒服、很轻松、很悦耳，很自在……”这是老师们的共识，而这又或许与张老师丰厚的人文底蕴、扎实的语言功底，尤其是他那清新自然、精炼洒脱的评价语有关。细数他的数学课堂，我们能听到：
当有学生提出不同意见时，张老师没有忽略前一位学生的心理感受，而是面带微笑着对他说：“有人挑战你了，高兴吗？”“高兴！”学生自信地回答。
当出示了练习题时，张老师会伴着温暖的眼光问：“同学们，有困难吗？那么，谁先来说？”在展示学生作品时，张老师会用关注的目光问：“你想给这份作业提点什么？”“还有什么需要补充吗，对于他的方法想不想说点什么？”然后转身告诉其他学生，没有必要迷信别人。当觉得没有其他答案时，张老师会提醒大家：“没有不同想法也可以大声说出来。”他的话语不由得让人感到温馨。
我们还欣赏到这样一组镜头：
师：瞧！刚才的一折，一撕，还真创造出了数学中的轴对称图形。说实话，数学呀，有时就这么简单。如果没有记错的话，大家对轴对称图形并不陌生，在我们认识的平面图形中，应该也有一些轴对称图形。
（出示轴对称图形的习题，让学生判断是否为轴对称图形）
师：练习之前，我要给你们一些忠告，有时候，不要过分相信自己的眼睛，看上去像轴对称图形的也许不是，看上去不像的也许偏偏却是。
（教师让学生根据经验大胆猜想，选择自己最有把握的说一说，也可以结合手中的学具，6人小组合作，一起折折，验证自己的猜想。学生在小组内进行交流，对于平行四边形是不是轴对称图形引起了争论。）
生1：我认为平行四边形是轴对称图形，沿着高把它剪下来，可以拼成一个长方形，对折后，左右两边能完全重合。
生2：我认为平行四边形不是轴对称图形，把平行四边形对折后，两边的图形不能完全重合，所以我认为它不是。
师：（特意走过去，跟生2握着手）我跟你握手不是我赞成你的说法，而是感谢你为课堂创造出了两种不同的声音。想想，要是我们的课堂只有一种声音，那该多单调啊！
（在学生再次进行操作实践后，第一个学生改变了自己的看法，知道了平行四边形不是轴对称图形）
师：你的退让我们更接近真理！
（在接下去的环节中，教师引导学生找出对称图形的对称轴）
师：都说实践出真知。数学讲究的是深究，就这5个图形，难道你们就不想深入研究说点什么？这个梯形是轴对称图形，但是……
此时无声胜有声。充满智慧的评价一下子扣紧了学生的心弦，激活了学生的思维。学生盯着那5个图形，继续找呀，辩呀，老师精彩的旁白无疑成了学生思维的推进器。
他的评价语极富哲理。学生在探讨9个珠子组成的两位数能被9整除时，马上误以为8也有这样的规律。“真是这样吗？”张老师诱发学生进一步思考。当学生发现8个珠子不行，7个珠子也不行的时候，又产生了“其他都不行”的错误想法。张老师接口说：“可别盲目地否定一切。”寥寥数语，张弛有度。
在“圆的认识”一课中，有学生交流画圆经验时说：“我们组在绳子的一端系上一块橡皮，抓住绳子的另一端一甩，也同样出现了一个圆。”对于这样的意外生成，张老师评价说：“尽管这一方法没有能在白纸上最终‘画’出一个圆，但他们的创造仍然是十分美妙，不是吗？”课堂里响起了热烈的掌声。这掌声，源于学生内心的一种欣赏与激励，一种接纳与认可，是一种真情流淌。
张老师的语言富有磁力，常常是“未成曲调先有情”，蕴含着无限的意趣。如“省略号来得太迟”、“边做作业边思考，再作出决策”、“不要忙于下结论”，他时刻召唤学生积极地思考。
一位学生在写36的因数时，漏掉了2。面对学生的错误，张老师幽默地说道：“看了以后，你想说点什么吗？”“听听他是怎么找的。”“有很多人一个也没漏掉，相信他们一定有窍门，一起看看吧！”……一句句简短的心灵对话，一个个与学生心灵交汇的眼神动作，无不渗透着关爱。
“感人心者，莫先乎情”。有人说，语言的舒展即是思想的流畅，语言的优美源于思想的精致，语言是世界上最美的智慧之花。课堂上，常听到张老师不失时机的赞美：“非常善于联想！”“很不错！”“哎呀，真了不起！”“太棒了！”不经意的一句评价语，一句鼓励话，他娓娓道来，或幽默、或诙谐、或深情、或睿智，总能将学生的学习情绪调适到最佳状态，使之产生自主学习的积极心理倾向。他那流转自如的教学语言，亦诗亦歌亦画的教学韵味，用渲染创设美好的意境，用真情激起心灵的震撼，用启迪拨开重重的迷惑，用诱导触发深远的思考，使课堂时时弥漫着与生命萌发相通的浓郁的人文气息。他用真情言说引发学生的真知灼见，他用自信从容催发学生的创新火花，他用诗情解读引领学生走向数学学习的美妙境界，课堂上时时有“倾听幼竹拔节声”的情景图。这种独特而富有魅力的课堂评价，诠释着师生新角色，灵动演绎着课堂。分享他的课堂，我们分明感到在教育生命的跋涉中，智慧如芬芳的野花，在课堂里一路绽放，每踏出坚实的一步，便会看到山花烂漫……
-----该文刊于《中国教育报》2007年6月29日第5版
张齐华教学艺术系列（三）
用情境营造情趣盎然的教学磁场
陈惠芳
张齐华老师善于在数学课堂上设置一些情境，将教育、教学内容镶嵌在一个多姿多彩的生活大背景中。
在认识“长方体”一课中，“长方体的长、宽、高”作为一个知识点，教师一般都直接告诉学生。然而，张齐华老师教学时却创设了这样的问题情景：如果将长方体12条棱擦掉1条，你还能想象出这个长方体的大小吗？如果擦掉2条、3条甚至更多条呢？试一试，看至少留下几条棱，才能确保想象出长方体的大小？当学生在经历尝试、探索、操作、优化等数学活动后不约而同地选择了长、宽、高三条棱时，规定性的数学常识“长、宽、高”在这一刻被“活化”了。张齐华老师认为，像这样的“头脑创造”可以还原数学概念的内在生命力，相对于概念的授受而言，其文化价值更大。这种基于问题研究而设计的有趣的教学情境，由一个问题逐步引发新问题的产生，学生始终围绕问题去研究，从而实现思维的攀升。在这个教学环节中，学生寻找的是途径，感悟的是规律，掌握的是方法而不仅仅是知道了长方体的“长、宽、高”，对后续学习无疑很有价值。
张齐华老师认为，一个真正意义上的情境应该能激发学生乐于参与、关注和活动的“情”，并引导学生浸润于探索、思维和发现之“境”，它固然需要以具体的场景作背景、载体，然而，场景的呈现能否有效唤起学生的认识不平衡感、问题意识以及认知冲突，场景本身是否能吸引学生主动参与到问题的探究、思考中来等问题还都有待进一步探索。
基于这样的数学思考，执教“分数的初步认识”一课时，张老师出示了自己1周岁时直立的照片。他让学生猜照片上的孩子是谁？一位学生激动地说：“我觉得是张老师。”
师：真有眼力！这是1周岁时的我。仔细观察。（动画演示：身高约是头高的4倍）
师：发现了吗，1周岁婴儿，头的高度约是身高的几分之一？
生：1/4。
师：长大后，情况又会怎样呢？
教师出示现在自己的直立照片，并动画演示：头高约是身高的1/7。
师：现在，头的高度约是身高的几分之一？
生：1/7。
师：其实，不同的年龄阶段，相应的分数也不一样。同学们今年10岁左右，那么，一个10岁左右的儿童，他的头高又约是身高的几分之一呢？想知道吗？
生：（激动地）想！
教师随即邀请一个学生上台，其他同学一起现场估计。
学生有猜头的高度约是身高的1/5，有的认为是1/6，有的说比较接近1/7。张老师告诉大家：估计时出现误差很正常。至于10岁左右儿童头的高度究竟大约是身高的几分之一呢，课后同学们不妨去查一查资料。那位学生回到了座位上，其余孩子仍兴趣盎然，面露喜色。
我想此时由一张照片创设猜想分数的教学情境，其“醉翁之意不在酒”。题材的新颖、活泼且不说，关键是学生在看一看、比一比、估一估等一系列的操作活动中加深了对分数的认识。这一引入，有机拓展了学生的认识视野，使他们真切感受到分数在日常生活中的广泛应用，切实体验到学习分数的价值。
在“因数与倍数”新课导入部分，张老师创设了操作情境，巧用模型来建构知识，揭示概念内涵；“交换律”课始又创设了故事情境，为新课学习搭建思考平台；“简单统计”中，创设让学生现场调查的情境，增进学生对统计方法及价值的理解；教学“认识整万数”时，又从拨数游戏开始，在拨数过程中，唤起了学生对计数器、计数单位、数位等相关经验的回忆。
诚然，新课改背景下如何创设有效的教学情境一直是大家关注的热点，而在张老师的数学课堂中，不管是赏心悦目、富有情趣的童话故事，还是新颖别致、妙趣横生的操作情境，每节课的设计都基于学生不同的文化背景和生活经历，努力挖掘生活实际中可能出现的新鲜的活动内容，以情境为亮点，以情感为纽带，以思维为核心，以生活世界为源泉，将数学知识融入到广阔的生活背景下，融入到生命成长的舞台里。
张老师在创设教学情境时，已打通了学科课堂的堡垒，以各学科的整合来制造课堂的热能效应，拓展了学习活动的外延，将学习活动立体化，学生在习得知识的同时，积累文化，积淀人文精神。他以问题带动和砥砺学生思辨的深入，以课堂上师生对话实现智慧的碰撞和经验的共享，以师生之间、生生之间的有效互动，或唤起认同，或触动联想，或引导猜测，或激发疑虑……从而使学生对于知识的认识趋于丰富、完整、准确和深刻，以此来打造充满活力、情趣盎然的教学磁场。
------该文已经发表于《中国教育报》2007年7月6日第6版
张齐华教学艺术系列（四）
一路诗意地追寻数学文化
陈惠芳
提起张齐华，便不能不提到数学文化。
张齐华常常思考，数学究竟能否从根本上改变一个人，使其变得更有力量和精神涵养？数学学习，对于学生的生命和精神成长能给予怎样的影响和润泽。于是，他把教学看作生命中的一部分，课堂上，为孩子搭建了一个个展示自我的舞台，动手折折、剪剪、拼拼，小组说说、议议，让孩子在体验的过程中去经历审美、想象，去感悟数学的自然美。这样的师生交往意味着对话，意味着参与，意味着心态的开放，个性的张显，教学过程变成了一种分享理解的过程，课堂里时时闪动着师生生命的灵光。
在“圆的认识”一课，他借助大自然中美妙的水纹、向日葵、光环、电磁波以及人类社会、生活、文化、艺术领域中美轮美奂的圆的介入，充分展示圆的美丽和内蕴的文化气息。“轴对称图形”一课，又从剪纸中的对称、建筑物中的对称、著名标志中的对称、桂林山水中的对称现象来展示轴对称图形的美妙。或许刚开始理解的数学文化之美，更多依赖数学以外的一些东西，依托媒体的精彩演示，把自然、科学、社会、文化等加以整合，而在“因数和倍数”一课的诸多环节，却折射出张老师对于数学文化的深度思考与文化张力的高度关注。
我们不妨做个镜头回放：师：同学们的想法都很有价值！的确，100以内的自然数中，60不算大，但它的因数却最多。正是60的这一特点，使它在数学和天文学的发展历史上扮演了重要的角色。（出示资料：我们都知道，1小时＝60分，1分＝60秒。然而，史学家通过考证却发现，时间的进率之所以定为60，是因为“在100以内的自然数中，60的因数最多，共有12个”。据说，这样就可以使许多有关时间的运算变得十分简便。）
师：怎么样，没想到时、分、秒之间的进率定为60竟和我们数学中因数的个数有着密不可分的联系，数学的奇妙有时真是让人难以置信！其实，作为数论的一个小分支，因数和倍数领域中类似美妙的数学现象比比皆是。这里，老师还想给大家介绍一个特别的数，那就是6。想知道为什么吗？
生：想。
师：那就让我们一起来做个小实验吧！第一，写下6所有的因数；第二，除去6本身，将剩下的因数相加。你发现了什么？
生：（惊讶地）结果还是等于6。
师：正因为这样的数很特别，所以数学家们将具有这一特点的数称之为完美数。6就是第一个完美数。千万别小看这些数，因为，它们非常罕见。想知道第二个完美数是多少吗？
生：想！
师：透露一下，比20大，比30小。组内分工合作，看看哪一小组最先找出第二个完美数！学生分组合作，很快，几个小组都找出了第二个完美数28，兴奋之情溢于言表。
师：其实，人们对于数探索的兴趣是永无止境的，找到了第二个完美数，人们就开始寻找第三个、第四个……就这样，一个又一个新的完美数被不断发现。这时，课件配乐依次呈现：496,8128，33550336，8589869056……
不难发现，在引领孩子寻找“完美数”的过程中，完美数之少，凸显数学家求索之路的艰辛，这无疑是对数学精神的引领。接着，在古罗马建筑宏伟壮丽中，张老师告诉孩子，这座建筑之所以历经千年沧桑，因为里面隐藏着倍数和因数的秘密。伴随着一首首优美和谐的旋律缓缓流淌，张老师又提醒孩子，音符之间的和谐源自于倍数和因数的关系，这不就是数学的魅力展示吗！可以想像，丰富的数学猜想，希腊建筑、音乐、完美数的神奇美感，孩子们发自内心地体会到了数学的应用价值和神奇力量，在对完美数的惊讶中，为我国古代人民的勤劳智慧兴奋不已时，爱祖国、爱科学、爱数学的种子已悄然萌发，这不正是数学的力量吗？
至此，我还忆起“分数的初步认识”课尾张老师给大家带来那则有趣的广告。男孩冬冬将蛋糕平均分成4份后，却发现一共有8个小伙伴，灵机一动，他从中间横着切了一刀，将蛋糕平均分成8份，正在这时，第9个男孩出现了。怎么办呢？冬冬又将自己分得的一份分成2份，将1份送给了他……小小的一个广告，蕴含着丰富的数学内涵及浓浓的人文关怀，及时关注了学生的情感体验，巩固了分数的认识，还唤醒了学生心灵深处的那份爱心，那份纯真，那份友谊，那份责任。学生不仅仅收获了知识，还收获了一种高尚的品德，一个美好的心灵。这种文化代表着学生对于这个世界的认识和经验，显示着学生特有的价值观、思维方式和行为方式。这也许就是张老师所说的“臻善，享受数学给予的精神力量”吧！
在张齐华老师的讲座《从朴素走向深刻》一文中，我还知道“简单统计”中，如何渗透统计思想；“找规律”中，如何从变中求同，上升为“一一对应”的数学思想；“确定位置”中坐标思想如何落实，尤其是那个不规则图形钢琴背面的面积计算---化曲为直，其间所渗透的微积分思想……
张齐华老师以一种古典、审美的情怀，关注学生数学思考的提升、数学思维方式的培养，关注数学精神品质的有机渗透，不仅丰富了数学文化的内涵，更为今后开展数学文化的理论探索和实践研究，开掘出新的思路，展现新的契机，描摹新的未来。
如今，在他的数学课堂上，我们可以随时随地触觉到数学的源头、数学的历史、数学的精神乃至数学的力量，似乎呈现在我们眼前的不再是一两页薄薄的教材，而是一幅源远流长的数学画卷。数学从表面上看是枯燥无味的，然而却有着一种隐蔽的、深邃的美，一种感性与理***融的美，数学美是数学科学本质力量的感性与理性的呈现，是一种人的本质力量通过人的数学思维结构的呈现，是一种真实意义上的美，是一种彰显人文精神的科学美。
“我喜欢旅行，因为旅行见证着一种姿态，一种不断行走、不断思索的姿态。在数学教育的旅途中，我甘愿做一个行者。“这是张齐华老师的肺腑之言，我深信，对于数学文化，张齐华老师还会添加诸多新的“精神元素”；对于数学教育，在他精心演绎的智慧课堂里，一定会更加充满生命的活力，弥漫诗意的人性光辉，更加灵动与飘逸。
——该文已经发表于《中国教育报》2007年9月14日第6版
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