棣莫佛定理证明 求解一道关于棣莫佛定理的证明题
\u4ec0\u4e48\u53eb\u68e3\u83ab\u5f17\u516c\u5f0f\uff1f\u590d\u6570\u4e58\u65b9\u7528\u4e09\u89d2\u8868\u793a\u5f0f\u6765\u89e3\u6bd4\u8f83\u7b80\u4fbf.
\u3000\u3000\u590d\u6570r(cos\u03b8+isin\u03b8)\u7684n\u6b21\u65b9\u662f\uff1a
\u3000\u3000z^n=[r(cos\u03b8+isin\u03b8)]^n=r^n(cosn\u03b8+isinn\u03b8)
\u3000\u3000n\u2208N.
\u3000\u3000\u590d\u6570\u5f00\u65b9\u4e5f\u7528\u4e09\u89d2\u8868\u793a\u5f0f\u6765\u89e3\u6bd4\u8f83\u7b80\u4fbf.
\u3000\u3000\u590d\u6570r(cos\u03b8+isin\u03b8)\u7684n\u6b21\u65b9\u6839\u662f\uff1a
\u3000\u3000(n\u6b21\u6839\u53f7r){cos[(\u03b8+2k\u03c0)/n]+isin[(\u03b8+2k\u03c0)/n]
\u3000\u3000(k=0,1,2,......). n\u2208N.
\u3000\u3000\u8fd9\u4e24\u6761\u516c\u5f0f\u53eb\u505a\u68e3\u83ab\u5f17\u516c\u5f0f
\u3000\u3000\u68e3\u83ab\u5f17\u516c\u5f0f\u8bc1\u660e:
\u3000\u3000\u5148\u5f15\u5165\u6b27\u62c9\u516c\u5f0f\uff1ae^ix = cosx + isinx
\u3000\u3000\u5c06e^t\uff0csint \uff0c cost \u5206\u522b\u5c55\u5f00\u4e3a\u6cf0\u52d2\u7ea7\u6570\uff1a
\u3000\u3000e^t = 1 + t + t^2/2! + t^3/3! + \u2026\u2026 + t^n/n\uff01+ \u2026\u2026
\u3000\u3000sint = t - t^3/3!+t^5/5!-t^7/7!+\u2026\u2026-\u2026\u2026
\u3000\u3000cost = 1 - t^2/2!+t^4/4!-t^6/6!+\u2026\u2026-\u2026\u2026
\u3000\u3000\u5c06t = ix \u4ee3\u5165\u4ee5\u4e0a\u4e09\u5f0f \uff0c\u53ef\u5f97\u6b27\u62c9\u516c\u5f0f
\u3000\u3000\u5e94\u7528\u6b27\u62c9\u516c\u5f0f\uff0c\uff08cosx\uff0bisinx\uff09^n = (e^ix)n
\u3000\u3000=e^inx
\u3000\u3000=cos(nx)+isin(nx)
\u5148\u8bf4\u7b2c\u4e00\u4e2a\u5427
\u65b9\u6cd5\u4e00\uff1a
e^ix=cosx+isinx
e^3ix=cos3x+isin3x
\u90a3\u4e48e^3ix=\uff08e^ix\uff09^3=(cosx+isinx)^3=cos3x+isin3x
\u5c55\u5f00\u540e \u4ee4\u5b9e\u90e8\u7b49\u4e8e\u5b9e\u90e8 \u865a\u90e8\u7b49\u4e8e\u865a\u90e8
\u5219\u6709
sin3x=4*sin(x)*cos(x)^2-sin(x)=3cos^2(x)sin(x)-sin^3(x)
cos3x=4*cos(x)^3-3*cos(x)
\u65b9\u6cd5\u4e8c \uff1a
\u5229\u7528\u4e09\u89d2\u5b66\u77e5\u8bc6 sin(\u03b1+\u03b2)=sin\u03b1cos\u03b2+cos\u03b1sin\u03b2
sin2x=2sinxcosx cos2x=2cos^2(x)-1=1-2sin^2(x)
sin^2(x)+cos^2(x)=1
\u90a3\u4e48sin(3x)=sin(x+2x)=sinxcos2x+cosxsin2x=...=3cos^2(x)sin(x)-sin^3(x)
\u8ffd\u52a0\u90a3\u4e2a\u9898\u76ee\u56e0\u4e3a\u662f6\u500d\u89d2
\u65e0\u975e\u662f\u5148\u6c42\u516d\u500d\u89d2\u6b63\u5f26 +\u4f59\u5f26 \u76f8\u9664\u5373\u53ef
sin6x=sin(2*3x)=2sin3xcos3x=32*sin(x)*cos(x)^5-32*sin(x)*cos(x)^3+6*sin(x)*cos(x)
cos6x=cos(2*3x)=2cos^2(3x)-1=32*cos(x)^6-48*cos(x)^4+18*cos(x)^2-1
tan6x=sin6x/cos6x=(6*tan(x)-20*tan(x)^3+6*tan(x)^5)/(1-15*tan(x)^2+15*tan(x)^4-tan(x)^6)
\u4e0d\u8fc7\u6211\u611f\u89c9\u5bfc\u5e08\u5e94\u8be5\u4e0d\u662f\u8ba9\u4f60\u505a\u590d\u6742\u8ba1\u7b97 \u90a3\u6837\u610f\u4e49\u4e0d\u5927\u5427\uff1f\u6211\u4f7f\u7528matlab\u4e00\u4e0b\u770b\u5230\u7ed3\u679c\u4e86
\uff08\u5148\u5b89\u88c5matlab \u4efb\u610f\u7248\u672c\u5373\u53ef\uff09 \u8f93\u5165\u4ee3\u7801\u5982\u4e0b
syms x
expand(sin(3*x))
expand(cos(3*x))
expand(tan(6*x))
\u7ed3\u679c\u5982\u4e0b\uff1a
>> syms x
>> expand(sin(3*x))
ans =
4*sin(x)*cos(x)^2-sin(x)
>> expand(cos(3*x))
ans =
4*cos(x)^3-3*cos(x)
>> expand(tan(6*x))
ans =
(6*tan(x)-20*tan(x)^3+6*tan(x)^5)/(1-15*tan(x)^2+15*tan(x)^4-tan(x)^6)
1.将e^t，sint ， cost 分别展开为泰勒级数：
e^t = 1 + t + t^2/2! + t^3/3! + …… + t^n/n！+ ……
sint = t - t^3/3!+t^5/5!-t^7/7!+……-……
cost = 1 - t^2/2!+t^4/4!-t^6/6!+……-……
将t = ix 代入以上三式 ，可得欧拉公式
应用欧拉公式，（cosx＋isinx）^n = (e^ix)n
=e^inx
=cos(nx)+isin(nx)
证毕
补充说明，棣莫佛定理对于实数同样成立，只是高中教材没写
你读高中吗？如果在读高中，可能不懂泰勒级数，这是微积分的知识，等我有空再把初等数学的证法写出来
有
（cosx+isinx)*(cosy+isiny)=cosx*cosy - sinx*siny +(sinx*cosy +cosx*siny)*i=cos(x+y)+isin(x+y)
令x=y=n
可得 (cosn+isinn)^2 = cos(2n)+isin(2n)
令x=n y=2n,可得 (cosn+isinn)*(cos2n+isin2n)=cos3n+isin3n
接下来你知道怎么办了吧？
证明很复杂的，你可以去百度里面搜一下，会有的
...
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绛旓細姝ｆ佸垎甯冩渶鏃╃敱A.妫ｈ帿寮鍦ㄦ眰浜岄」鍒嗗竷鐨勬笎杩鍏紡涓緱鍒般侰.F.楂樻柉鍦ㄧ爺绌舵祴閲忚宸椂浠庡彟涓涓搴﹀鍑轰簡瀹冦侾.S.鎷夋櫘鎷夋柉鍜岄珮鏂爺绌朵簡瀹冪殑鎬ц川銆傜敓浜т笌绉戝瀹為獙涓緢澶氶殢鏈哄彉閲忕殑姒傜巼鍒嗗竷閮藉彲浠ヨ繎浼煎湴鐢ㄦ鎬佸垎甯冩潵鎻忚堪銆備緥濡傦紝鍦ㄧ敓浜ф潯浠朵笉鍙樼殑鎯呭喌涓嬶紝浜у搧鐨勫己鍔涖佹姉鍘嬪己搴︺佸彛寰勩侀暱搴︾瓑鎸囨爣锛涘悓涓绉...
绛旓細澶嶆暟鍙婂叾鎸囨暟褰㈠紡銆佷笁瑙掑舰寮,娆ф媺鍏紡,妫ｈ帿寮楀畾鐞,鍗曚綅鏍广傚椤瑰紡鐨勯櫎娉曞畾鐞嗐佸洜寮忓垎瑙ｅ畾鐞,澶氶」寮忕殑鐩哥瓑,鏁寸郴鏁板椤瑰紡鐨勬湁鐞嗘牴*,澶氶」寮忕殑鎻掑煎叕寮*銆俷娆″椤瑰紡鏍圭殑涓暟,鏍逛笌绯绘暟鐨勫叧绯,瀹炵郴鏁板椤瑰紡铏氭牴鎴愬瀹氱悊銆傚嚱鏁拌凯浠,绠鍗曠殑鍑芥暟鏂圭▼*3. 鍒濈瓑鏁拌鍚屼綑,娆у嚑閲屽緱闄ゆ硶,瑁磋渶瀹氱悊,瀹屽叏鍓╀綑绫,浜屾鍓╀綑,涓嶅畾鏂圭▼鍜...
