数学不等式 数学不等式？
\u6570\u5b66\u4e0d\u7b49\u5f0f\u6982\u5ff5\u4e0d\u7b49\u5f0f\uff1a\u4e00\u822c\u5730\uff0c\u7528\u7eaf\u7cb9\u7684\u5927\u4e8e\u53f7\u201c>\u201d\u3001\u5c0f\u4e8e\u53f7\u201c,\u2265,\u2264,\u2260)\u8fde\u63a5\u7684\u5f0f\u5b50\u53eb\u505a\u4e0d\u7b49\u5f0f.
\u901a\u5e38\u4e0d\u7b49\u5f0f\u4e2d\u7684\u6570\u662f\u5b9e\u6570\uff0c\u5b57\u6bcd\u4e5f\u4ee3\u8868\u5b9e\u6570\uff0c\u4e0d\u7b49\u5f0f\u7684\u4e00\u822c\u5f62\u5f0f\u4e3aF(x\uff0cy\uff0c\u2026\u2026\uff0cz)\u2264G(x\uff0cy\uff0c\u2026\u2026\uff0cz )\uff08\u5176\u4e2d\u4e0d\u7b49\u53f7\u4e5f\u53ef\u4ee5\u4e3a \u4e2d\u67d0\u4e00\u4e2a\uff09\uff0c\u4e24\u8fb9\u7684\u89e3\u6790\u5f0f\u7684\u516c\u5171\u5b9a\u4e49\u57df\u79f0\u4e3a\u4e0d\u7b49\u5f0f\u7684\u5b9a\u4e49\u57df\uff0c\u4e0d\u7b49\u5f0f\u65e2\u53ef\u4ee5\u8868\u8fbe\u4e00\u4e2a\u547d\u9898\uff0c\u4e5f\u53ef\u4ee5\u8868\u793a\u4e00\u4e2a\u95ee\u9898\u3002
\u6574\u5f0f\u4e0d\u7b49\u5f0f
\u6574\u5f0f\u4e0d\u7b49\u5f0f\u4e24\u8fb9\u90fd\u662f\u6574\u5f0f\uff08\u5373\u672a\u77e5\u6570\u4e0d\u5728\u5206\u6bcd\u4e0a\uff09\u3002
\u4e00\u5143\u4e00\u6b21\u4e0d\u7b49\u5f0f\uff1a\u542b\u6709\u4e00\u4e2a\u672a\u77e5\u6570(\u5373\u4e00\u5143),\u5e76\u4e14\u672a\u77e5\u6570\u7684\u6b21\u6570\u662f1\u6b21(\u5373\u4e00\u6b21)\u7684\u4e0d\u7b49\u5f0f\u3002\u59823-X>0
\u540c\u7406\uff1a\u4e8c\u5143\u4e00\u6b21\u4e0d\u7b49\u5f0f\uff1a\u542b\u6709\u4e24\u4e2a\u672a\u77e5\u6570(\u5373\u4e8c\u5143),\u5e76\u4e14\u672a\u77e5\u6570\u7684\u6b21\u6570\u662f1\u6b21(\u5373\u4e00\u6b21)\u7684\u4e0d\u7b49\u5f0f\u3002
\u4e0d\u7b49\u5f0f\u9009\u8bb2\u662f\u9ad8\u8003\u7684\u9009\u8003\u5185\u5bb9\u4e4b\u4e00\uff0c\u8003\u67e5\u7684\u91cd\u70b9\u662f\u4e0d\u7b49\u5f0f\u7684\u8bc1\u660e\u3001\u7edd\u5bf9\u503c\u4e0d\u7b49\u5f0f\u7684\u89e3\u6cd5\u4ee5\u53ca\u6570\u5b66\u5f52\u7eb3\u6cd5\u5728\u4e0d\u7b49\u5f0f\u4e2d\u7684\u5e94\u7528\u7b49.
\u547d\u9898\u7684\u70ed\u70b9\u662f\u7edd\u5bf9\u503c\u4e0d\u7b49\u5f0f\u7684\u89e3\u6cd5\uff0c\u4ee5\u53ca\u7edd\u5bf9\u503c\u4e0d\u7b49\u5f0f\u4e0e\u51fd\u6570\u7684\u7efc\u5408\u95ee\u9898\u7684\u6c42\u89e3\uff0e\u672c\u90e8\u5206\u547d\u9898\u5f62\u5f0f\u5355\u4e00\u3001\u7a33\u5b9a\uff0c\u662f\u4e09\u9053\u9009\u8003\u9898\u76ee\u4e2d\u6700\u6613\u5f97\u5206\u7684\uff0c\u6240\u4ee5\u53ef\u91cd\u70b9\u7a81\u7834.
用不等号将两个解析式连结起来所成的式子。例如2x＋2y≥2xy，sinx≤1，ex＞0 ，2x＜3等 。根据解析式的分类也可对不等式分类，不等号两边的解析式都是代数式的不等式，称为代数不等式；只要有一边是超越式，就称为超越不等式。例如lg(1＋x)＞x是超越不等式。
通常不等式中的数是实数，字母也代表实数，不等式的一般形式为F(x，y，……，z)≤G(x，y，……，z )（其中不等号也可以为＜，≥，＞ 中某一个），两边的解析式的公共定义域称为不等式的定义域，不等式既可以表达一个命题，也可以表示一个问题。
不等式的最基本性质有：①如果x＞y，那么y＜x；如果y＜x，那么x＞y；②如果x＞y，y＞z；那么x＞z；③如果x＞y，而z为任意实数，那么x＋z＞y＋z；④ 如果x＞y，z＞0，那么xz＞yz；⑤如果x＞y，z＜0，那么xz＜yz。
由不等式的基本性质出发，通过逻辑推理，可以论证大量的初等不等式，其中比较有名的有：
柯西不等式：对于2n个任意实数x1，x2，…，xn和y1，y2，…，yn，恒有（x1y1＋x2y2＋…＋xnyn）2≤（x1^2＋x2^2＋…＋xn^2）（y1^2＋y2^2＋…＋yn^2）。
排序不等式：对于两组有序的实数x1≤x2≤…≤xn，y1≤y2≤…≤yn，设yi1，yi2，…，yin是后一组的任意一个排列，记S＝x1yn＋x2yn-1＋…＋xny1，M＝x1yi1＋x2yi2＋…＋xnyin，L＝x1y1＋x2y2＋…＋xnyn，那么恒有S≤M≤L。
根据不等式的基本性质，也可以推出解不等式可遵循的一些同解原理。主要的有：①不等式F（x）＜ G（x）与不等式 G（x）＞F（x）同解。②如果不等式F（x） ＜ G（x）的定义域被解析式H（ x ）的定义域所包含，那么不等式 F（x）＜G（x）与不等式F（x）＋H（x）＜G（x）＋H（x）同解。③如果不等式F（x）＜G（x） 的定义域被解析式H（x）的定义域所包含，并且H（x）＞0，那么不等式F(x)＜G（x）与不等式H（x）F（x）＜H（ x ）G（x） 同解；如果H（x）＜0，那么不等式F（x）＜G（x）与不等式H (x)F（x）＞H（x）G（x）同解。④不等式F（x）G（x）＞0与不等式同解；不等式F（x）G（x）＜0与不等式同解。
不等式分为严格不等式与非严格不等式。一般地，用纯粹的大于号、小于号“＞”“＜”连接的不等式称为严格不等式，用不小于号（大于或等于号）、不大于号（小于或等于号）
“≥”“≤”连接的不等式称为非严格不等式，或称广义不等式。
在一个式子中的数的关系,不全是等号,含不等符号的式子，那它就是一个不等式.
如:甲大于乙(甲>乙),就是一个不等式.不等式不一定只有「>」,「0,即A>B.又同理可证:A>C,A>D.所以,A最大.
不等式是不包括等号在内的式子比如：（不等号 大于等于号，小于等于号）只要用这些号放在式子里就是不等式咯．．
1.符号：
不等式两边都乘以或除以一个负数，要改变不等号的方向。
2.确定解集：
比两个值都大，就比大的还大；
比两个值都小，就比小的还小；
比大的大，比小的小，无解；
比小的大，比大的小，有解在中间。
三个或三个以上不等式组成的不等式组，可以类推。
3.另外，也可以在数轴上确定解集：
把每个不等式的解集在数轴上表示出来，数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集。有几个就要几个。
1.不等式的基本性质:
性质1:如果a>b,b>c,那么a>c(不等式的传递性).
性质2:如果a>b,那么a+c>b+c(不等式的可加性).
性质3:如果a>b,c>0,那么ac>bc;如果a>b,c<0,ac<bc.(不等式的乘法法则）
性质4:如果a>b,c>d,那么a+c>b+d. (不等式的加法法则)
性质5:如果a>b>0,c>d>0,那么ac>bd. (可乘性)
性质6:如果a>b>0,n∈N,n>1,那么an>bn,且.当0<n<1时也成立. (乘方法则)
性质7:如果a>等于b c>b 那么c大于等于a
性质7不一定成立，如a取值28，b取值3，c取值19，则c不大于a
例1:判断下列命题的真假,并说明理由.
若a>b,c=d,则ac2>bd2;(假,因为c.d符号不定)
若a+c>c+b,则a>b;(真)
若a>b且ab<0,则;(假)
若a若,则a>b;(真)
若|a|b2;(充要条件)
命题A:a命题A:,命题B:0说明:本题要求学生完成一种规范的证明或解题过程,在完善解题规范的过程中完善自身逻辑思维的严密性.
a,b∈R且a>b,比较a3-b3与ab2-a2b的大小.(≥)
说明:强调在最后一步中,说明等号取到的情况,为今后基本不等式求最值作思维准备.
例4:设a>b,n是偶数且n∈N*,试比较an+bn与an-1b+abn-1的大小.
说明:本例条件是a>b,与正值不等式乘方性质相比在于缺少了a,b为正值这一条件,为此我们必须对a,b的取值情况加以分类讨论.因为a>b,可由三种情况(1)a>b≥0;(2)a≥0>b;(3)0>a>b.由此得到总有an+bn>an-1b+abn-1.通过本例可以开始渗透分类讨论的数学思想
几个重要不等式(二)柯西不等式
，当且仅当bi=lai (1£i£n)时取等号
柯西不等式的几种变形形式
1.设aiÎR,bi>0 (i=1,2,…,n)则，当且仅当bi=lai (1£i£n)时取等号
2.设ai,bi同号且不为零(i=1,2,…,n)，则，当且仅当b1=b2=…=bn时取等
三、排序不等式
设a1£a2£…£an,b1£b2£…£bn;r1,r2,…,rn是1,2,…,n的任一排列，则有：
a1bn+ a2bn-1+…+ anb1£a1br1+ a2br2+…+ anbrn£ a1b1+ a2b2+…+ anbn
反序和£乱序和£同序和
例1.对a,b,cÎR+,比较a3+b3+c3与a2b+b2c+c2a的大小
解：取两组数a,b,c；a2,b2,c2，则有a3+b3+c3³a2b+b2c+c2a
例2.正实数a1,a2,…,an的任一排列为a1/,a2/,…an/，则有
证明：取两组数a1,a2,…,an；
其反序和为，原不等式的左边为乱序和，有
例3.已知a,b,cÎR+求证：
证明：不妨设a³b³c>0,则>0且a12³b12³c12>0
则
例4.设a1,a2,…,an是1,2,…,n的一个排列，求证：
证明：设b1,b2,…,bn-1是a1,a2,…,an-1的一个排列，且b1<b2<…<bn-1；
c1,c2,…,cn-1是a2,a3,…,an的一个排列,且c1<c2<…<cn-1
则且b1³1,b2³2,…,bn-1³n-1；c1£2,c2£3,…,cn-1£n
利用排序不等式有：
例5.设a,b,cÎR+,求证：
证明：不妨设a³b³c,则，a2³b2³c2>0
由排序不等式有：
两式相加得
又因为：a3³b3³c3>0,
故
两式相加得
例6.契比雪夫不等式：若a1£a2£…£an且b1£b2£…£bn,则
a1£a2£…£an且b1³b2³…³bn,则
证明：由排序不等式有：
a1b1+a2b2+…+anbn= a1b1+a2b2+…+anbn
a1b1+a2b2+…+anbn³ a1b2+a2b3+…+anb1
a1b1+a2b2+…+anbn³ a1b3+a2b4+…+anb2
…………………………………………
a1b1+a2b2+…+anbn³ a1bn+a2b1+…+anbn-1
将以上式子相加得：
n(a1b1+a2b2+…+anbn)³ a1(b1+b2+…+bn)+ a2(b1+b2+…+bn)+…+ an(b1+b2+…+bn)
∴
不等式(inequality)
用不等号将两个解析式连结起来所成的式子。例如2x＋2y≥2xy，sinx≤1，ex＞0 ，2x＜3等 。根据解析式的分类也可对不等式分类，不等号两边的解析式都是代数式的不等式，称为代数不等式；只要有一边是超越式，就称为超越不等式。例如lg(1＋x)＞x是超越不等式。
通常不等式中的数是实数，字母也代表实数，不等式的一般形式为F(x，y，……，z)≤G(x，y，……，z )（其中不等号也可以为＜，≥，＞ 中某一个），两边的解析式的公共定义域称为不等式的定义域，不等式既可以表达一个命题，也可以表示一个问题。
不等式的最基本性质有：①如果x＞y，那么y＜x；如果y＜x，那么x＞y；②如果x＞y，y＞z；那么x＞z；③如果x＞y，而z为任意实数，那么x＋z＞y＋z；④ 如果x＞y，z＞0，那么xz＞yz；⑤如果x＞y，z＜0，那么xz＜yz。
由不等式的基本性质出发，通过逻辑推理，可以论证大量的初等不等式，其中比较有名的有：
柯西不等式：对于2n个任意实数x1，x2，…，xn和y1，y2，…，yn，恒有（x1y1＋x2y2＋…＋xnyn）2≤（x1^2＋x2^2＋…＋xn^2）（y1^2＋y2^2＋…＋yn^2）。
排序不等式：对于两组有序的实数x1≤x2≤…≤xn，y1≤y2≤…≤yn，设yi1，yi2，…，yin是后一组的任意一个排列，记S＝x1yn＋x2yn-1＋…＋xny1，M＝x1yi1＋x2yi2＋…＋xnyin，L＝x1y1＋x2y2＋…＋xnyn，那么恒有S≤M≤L。
根据不等式的基本性质，也可以推出解不等式可遵循的一些同解原理。主要的有：①不等式F（x）＜ G（x）与不等式 G（x）＞F（x）同解。②如果不等式F（x） ＜ G（x）的定义域被解析式H（ x ）的定义域所包含，那么不等式 F（x）＜G（x）与不等式F（x）＋H（x）＜G（x）＋H（x）同解。③如果不等式F（x）＜G（x） 的定义域被解析式H（x）的定义域所包含，并且H（x）＞0，那么不等式F(x)＜G（x）与不等式H（x）F（x）＜H（ x ）G（x） 同解；如果H（x）＜0，那么不等式F（x）＜G（x）与不等式H (x)F（x）＞H（x）G（x）同解。④不等式F（x）G（x）＞0与不等式同解；不等式F（x）G（x）＜0与不等式同解。
不等式分为严格不等式与非严格不等式。一般地，用纯粹的大于号、小于号“＞”“＜”连接的不等式称为严格不等式，用不小于号（大于或等于号）、不大于号（小于或等于号）
“≥”“≤”连接的不等式称为非严格不等式，或称广义不等式。
在一个式子中的数的关系,不全是等号,含不等符号的式子，那它就是一个不等式.
如:甲大于乙(甲>乙),就是一个不等式.不等式不一定只有「>」,「0,即A>B.又同理可证:A>C,A>D.所以,A最大.
不等式是不包括等号在内的式子比如：（不等号 大于等于号，小于等于号）只要用这些号放在式子里就是不等式咯．．
1.符号：
不等式两边都乘以或除以一个负数，要改变不等号的方向。
2.确定解集：
比两个值都大，就比大的还大；
比两个值都小，就比小的还小；
比大的大，比小的小，无解；
比小的大，比大的小，有解在中间。
三个或三个以上不等式组成的不等式组，可以类推。
3.另外，也可以在数轴上确定解集：
把每个不等式的解集在数轴上表示出来，数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集。有几个就要几个。
1.不等式的基本性质:
性质1:如果a>b,b>c,那么a>c(不等式的传递性).
性质2:如果a>b,那么a+c>b+c(不等式的可加性).
性质3:如果a>b,c>0,那么ac>bc;如果a>b,c<0,ac<bc.(不等式的乘法法则）
性质4:如果a>b,c>d,那么a+c>b+d. (不等式的加法法则)
性质5:如果a>b>0,c>d>0,那么ac>bd. (可乘性)
性质6:如果a>b>0,n∈N,n>1,那么an>bn,且.当0<n<1时也成立. (乘方法则)
性质7:如果a>等于b c>b 那么c大于等于a
性质7不一定成立，如a取值28，b取值3，c取值19，则c不大于a
例1:判断下列命题的真假,并说明理由.
若a>b,c=d,则ac2>bd2;(假,因为c.d符号不定)
若a+c>c+b,则a>b;(真)
若a>b且ab<0,则;(假)
若a若,则a>b;(真)
若|a|b2;(充要条件)
命题A:a命题A:,命题B:0说明:本题要求学生完成一种规范的证明或解题过程,在完善解题规范的过程中完善自身逻辑思维的严密性.
a,b∈R且a>b,比较a3-b3与ab2-a2b的大小.(≥)
说明:强调在最后一步中,说明等号取到的情况,为今后基本不等式求最值作思维准备.
例4:设a>b,n是偶数且n∈N*,试比较an+bn与an-1b+abn-1的大小.
说明:本例条件是a>b,与正值不等式乘方性质相比在于缺少了a,b为正值这一条件,为此我们必须对a,b的取值情况加以分类讨论.因为a>b,可由三种情况(1)a>b≥0;(2)a≥0>b;(3)0>a>b.由此得到总有an+bn>an-1b+abn-1.通过本例可以开始渗透分类讨论的数学思想
几个重要不等式(二)柯西不等式
，当且仅当bi=lai (1£i£n)时取等号
柯西不等式的几种变形形式
1.设aiÎR,bi>0 (i=1,2,…,n)则，当且仅当bi=lai (1£i£n)时取等号
2.设ai,bi同号且不为零(i=1,2,…,n)，则，当且仅当b1=b2=…=bn时取等
三、排序不等式
设a1£a2£…£an,b1£b2£…£bn;r1,r2,…,rn是1,2,…,n的任一排列，则有：
a1bn+ a2bn-1+…+ anb1£a1br1+ a2br2+…+ anbrn£ a1b1+ a2b2+…+ anbn
反序和£乱序和£同序和
例1.对a,b,cÎR+,比较a3+b3+c3与a2b+b2c+c2a的大小
解：取两组数a,b,c；a2,b2,c2，则有a3+b3+c3³a2b+b2c+c2a
例2.正实数a1,a2,…,an的任一排列为a1/,a2/,…an/，则有
证明：取两组数a1,a2,…,an；
其反序和为，原不等式的左边为乱序和，有
例3.已知a,b,cÎR+求证：
证明：不妨设a³b³c>0,则>0且a12³b12³c12>0
则
例4.设a1,a2,…,an是1,2,…,n的一个排列，求证：
证明：设b1,b2,…,bn-1是a1,a2,…,an-1的一个排列，且b1<b2<…<bn-1；
c1,c2,…,cn-1是a2,a3,…,an的一个排列,且c1<c2<…<cn-1
则且b1³1,b2³2,…,bn-1³n-1；c1£2,c2£3,…,cn-1£n
利用排序不等式有：
例5.设a,b,cÎR+,求证：
证明：不妨设a³b³c,则，a2³b2³c2>0
由排序不等式有：
两式相加得
又因为：a3³b3³c3>0,
故
两式相加得
例6.契比雪夫不等式：若a1£a2£…£an且b1£b2£…£bn,则
a1£a2£…£an且b1³b2³…³bn,则
证明：由排序不等式有：
a1b1+a2b2+…+anbn= a1b1+a2b2+…+anbn
a1b1+a2b2+…+anbn³ a1b2+a2b3+…+anb1
a1b1+a2b2+…+anbn³ a1b3+a2b4+…+anb2
…………………………………………
a1b1+a2b2+…+anbn³ a1bn+a2b1+…+anbn-1
将以上式子相加得：
n(a1b1+a2b2+…+anbn)³ a1(b1+b2+…+bn)+ a2(b1+b2+…+bn)+…+ an(b1+b2+…+bn)
∴
不等式分类：
柯西不等式(可通过构造一元二次方程利用判别式证明)
排序不等式
契比雪夫不等式
琴生不等式
均值不等式
绝对值不等式
不等式在中学数学中是一个重要的章节，如果按你的要求去做，等于是抄书，那要很长的篇幅。我看了一楼的作答，那位先生很辛苦，费了不少的劲，但内容还是不全，还有不少内容是重复的，甚至是错误的。我建议你，最好去还是去借本教材来看看吧。
好麻烦
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