如何证明 “若x服从二项分布 则D（x）=np（1-p）” 谢谢 DX随机变量X的方差.证明:若X~B(n,p),则DX=np...

\u82e5X\u670d\u4ece\u4e8c\u9879\u5206\u5e03B(n,p), \u90a3\u4e48E(X)=np\u600e\u4e48\u6765\u7684\uff1f

EX=np \u8bc1\u660e\u5982\u4e0b
EX=\u2211kb(k;n,p)=\u2211k*C(k,n)p^kq^(n-k)
=np\u2211C(k-1,n-1)p^(k-1)q^(n-1-k+1)
=np\u2211C(k,n-1)p^kq^(n-1-k)
=np\u2211b(k;n-1,p)
=np
DX=npq \u53ef\u7528\u516c\u5f0fDX=EX^2-(EX)^2\u6c42\u51fa
EX^2=\u2211k^2b(k;n,p)
=\u2211[k(k-1)+k]b(k;n,p)
=\u2211k(k-1)b(k;n,p)+\u2211kb(k;n,p)
=n(n-1)p^2\u2211b(k;n-2,p)+np
=n(n-1)p^2+np=n^2p^2+npq
=n^2p^2+npq
\u6240\u4ee5DX=EX^2-(EX)^2=n^2p^2+npq-n^2p^2
=npq

\u6570\u5b66\u8bfe\u672c\u540e\u9762\u9644\u5f55\u6709\u7684\u54c7
\u4e8c\u9879\u5206\u5e03\u7684\u6570\u5b66\u671f\u671b
X\uff5eb(n,p)\uff0c\u5176\u4e2dn\u22651,0<p<1.
P{X=k}=C(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k),k=0,1,...,n.
EX=np,DX=np(1-p).
\u8bc1\u660e\u65b9\u6cd5\uff1a
\u5c06X\u5206\u89e3\u6210n\u4e2a\u76f8\u4e92\u72ec\u7acb\u7684\uff0c\u90fd\u670d\u4ece\u4ee5p\u4e3a\u53c2\u6570\u7684(0-1)\u5206\u5e03\u7684\u968f\u673a\u53d8\u91cf\u4e4b\u548c\uff1a
X=X1+X2+...+Xn,Xi\uff5eb(1,p)\uff0ci=1,2,...,n.
P{Xi=0}=1-p,P(Xi=1)=p.
EXi=0*(1-p)+1*p=p,
E(Xi^2)=0^2*(1-p)+1^2*p=p,
DXi=E(Xi^2)-(EXi)^2=p-p^2=p(1-p).
EX=EX1+EX2+...+EXn=np,
DX=DX1+DX2+...+DXn=np(1-p).

EX=np 证明如下
EX=∑kb(k;n,p)=∑k*C(k,n)p^kq^(n-k)
=np∑C(k-1,n-1)p^(k-1)q^(n-1-k+1)
=np∑C(k,n-1)p^kq^(n-1-k)
=np∑b(k;n-1,p)
=np

DX=npq 可用公式DX=EX^2-(EX)^2求出
EX^2=∑k^2b(k;n,p)
=∑[k(k-1)+k]b(k;n,p)
=∑k(k-1)b(k;n,p)+∑kb(k;n,p)
=n(n-1)p^2∑b(k;n-2,p)+np
=n(n-1)p^2+np=n^2p^2+npq
=n^2p^2+npq
所以DX=EX^2-(EX)^2=n^2p^2+npq-n^2p^2
=npq

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