怎么根据对数的定义推导出换底公式? 对数函数换底公式，推导过程
\u6c42\u5bf9\u6570\u51fd\u6570\u7684\u6362\u5e95\u516c\u5f0f\u7684\u8be6\u7ec6\u63a8\u5bfc\u65b9\u6cd5\u89e3\u6362\u5e95\u516c\u5f0f\u4e3a\uff1a
loga\uff08b\uff09=logc\uff08b\uff09/logc\uff08a\uff09\uff08c\uff1e0\uff0cc\u22601\uff09
\u63a8\u5bfc\u8fc7\u7a0b
\u4ee4loga\uff08b\uff09=t................................(1)
\u5373a^t=b
\u4e24\u8fb9\u53d6\u4ee5c\uff08c\uff1e0\uff0cc\u22601\uff09\u7684\u5bf9\u6570
\u5373logc\uff08a^t\uff09=logc\uff08b\uff09
\u5373 t logc\uff08a\uff09=logc\uff08b\uff09
\u6545\u7531a\u22601\uff0c\u5373 logc\uff08a\uff09\u22600
\u5373t=logc\uff08b\uff09/ logc\uff08a\uff09..............(2)
\u7531\uff081\uff09\u4e0e\uff082\uff09\u77e5
loga\uff08b\uff09=logc\uff08b\uff09/logc\uff08a\uff09\u3002
\u5982\u679cax =N\uff08a>0\uff0c\u4e14a\u22601\uff09\uff0c\u90a3\u4e48\u6570x\u53eb\u505a\u4ee5a\u4e3a\u5e95N\u7684\u5bf9\u6570\uff0c\u8bb0\u4f5cx=logaN\uff0c\u8bfb\u4f5c\u4ee5a\u4e3a\u5e95N\u7684\u5bf9\u6570\uff0c\u5176\u4e2da\u53eb\u505a\u5bf9\u6570\u7684\u5e95\u6570\uff0cN\u53eb\u505a\u771f\u6570\u3002
\u4e00\u822c\u5730\uff0c\u51fd\u6570y=logaX\uff08a>0\uff0c\u4e14a\u22601\uff09\u53eb\u505a\u5bf9\u6570\u51fd\u6570\uff0c\u4e5f\u5c31\u662f\u8bf4\u4ee5\u5e42\uff08\u771f\u6570\uff09\u4e3a\u81ea\u53d8\u91cf\uff0c\u6307\u6570\u4e3a\u56e0\u53d8\u91cf\uff0c\u5e95\u6570\u4e3a\u5e38\u91cf\u7684\u51fd\u6570\uff0c\u53eb\u5bf9\u6570\u51fd\u6570\u3002
\u5176\u4e2dx\u662f\u81ea\u53d8\u91cf\uff0c\u51fd\u6570\u7684\u5b9a\u4e49\u57df\u662f\uff080\uff0c+\u221e\uff09\uff0c\u5373x>0\u3002\u5b83\u5b9e\u9645\u4e0a\u5c31\u662f\u6307\u6570\u51fd\u6570\u7684\u53cd\u51fd\u6570\uff0c\u53ef\u8868\u793a\u4e3ax=ay\u3002\u56e0\u6b64\u6307\u6570\u51fd\u6570\u91cc\u5bf9\u4e8ea\u7684\u89c4\u5b9a\uff0c\u540c\u6837\u9002\u7528\u4e8e\u5bf9\u6570\u51fd\u6570\u3002
\u6269\u5c55\u8d44\u6599\uff1a
\u5728\u9ad8\u7b49\u6570\u5b66\u4e2d\u6709\u4e00\u79cd\u6c42\u5bfc\u65b9\u6cd5\u53eb\u5bf9\u6570\u6c42\u5bfc\u6cd5\uff0c\u5176\u539f\u7406\u5c31\u662f\u6307\u6570\u51fd\u6570\u7684\u6362\u5e95\uff0c\u628a\u5e95\u4e3a\u666e\u901a\u5e38\u6570\u6216\u53d8\u91cf\u7684\u6307\u6570\u51fd\u6570\u6216\u5e42\u6307\u51fd\u6570\u7edf\u7edf\u90fd\u53d8\u5f62\u4e3a\u4ee5e\u4e3a\u5e95\u7684\u590d\u5408\u51fd\u6570\u5f62\u5f0f\u3002
\u8fd9\u4e9b\u90fd\u53ef\u4ee5\u5f88\u5bb9\u6613\u5730\u7531\u5bf9\u6570\u6362\u5e95\u516c\u5f0f\u53ca\u63a8\u8bba\u5f97\u5230\u3002
\u5728\u5b9e\u6570\u57df\u4e2d\uff0c\u771f\u6570\u5f0f\u5b50\u6ca1\u6839\u53f7\u90a3\u5c31\u53ea\u8981\u6c42\u771f\u6570\u5f0f\u5927\u4e8e\u96f6\uff0c\u5982\u679c\u6709\u6839\u53f7\uff0c\u8981\u6c42\u771f\u6570\u5927\u4e8e\u96f6\u8fd8\u8981\u4fdd\u8bc1\u6839\u53f7\u91cc\u7684\u5f0f\u5b50\u5927\u4e8e\u7b49\u4e8e\u96f6\uff08\u82e5\u4e3a\u8d1f\u6570\uff0c\u5219\u503c\u4e3a\u865a\u6570\uff09\uff0c\u5e95\u6570\u5219\u8981\u5927\u4e8e0\u4e14\u4e0d\u4e3a1\u3002
\u3010\u5728\u4e00\u4e2a\u666e\u901a\u5bf9\u6570\u5f0f\u91cc a<0\uff0c\u6216=1 \u7684\u65f6\u5019\u662f\u4f1a\u6709\u76f8\u5e94b\u7684\u503c\u3002\u4f46\u662f\uff0c\u6839\u636e\u5bf9\u6570\u5b9a\u4e49\uff1alog\u4ee5a\u4e3a\u5e95a\u7684\u5bf9\u6570\uff1b\u5982\u679ca=1\u6216=0\u90a3\u4e48log\u4ee5a\u4e3a\u5e95a\u7684\u5bf9\u6570\u5c31\u53ef\u4ee5\u7b49\u4e8e\u4e00\u5207\u5b9e\u6570\uff08\u6bd4\u5982log11\u4e5f\u53ef\u4ee5\u7b49\u4e8e2\uff0c3\uff0c4\uff0c5\uff0c\u7b49\u7b49\uff09\u3011
\u901a\u5e38\u6211\u4eec\u5c06\u4ee510\u4e3a\u5e95\u7684\u5bf9\u6570\u53eb\u5e38\u7528\u5bf9\u6570\uff08common logarithm\uff09\uff0c\u5e76\u628alog10N\u8bb0\u4e3algN\u3002\u53e6\u5916\uff0c\u5728\u79d1\u5b66\u8ba1\u6570\u4e2d\u5e38\u4f7f\u7528\u4ee5\u65e0\u7406\u6570e=2.71828\u00b7\u00b7\u00b7\u4e3a\u5e95\u6570\u7684\u5bf9\u6570\uff0c\u4ee5e\u4e3a\u5e95\u7684\u5bf9\u6570\u79f0\u4e3a\u81ea\u7136\u5bf9\u6570\uff08natural logarithm\uff09\uff0c\u5e76\u4e14\u628alogeN \u8bb0\u4e3aIn N\u3002\u6839\u636e\u5bf9\u6570\u7684\u5b9a\u4e49\uff0c\u53ef\u4ee5\u5f97\u5230\u5bf9\u6570\u4e0e\u6307\u6570\u95f4\u7684\u5173\u7cfb\uff1a
\u5f53a>0\uff0ca\u22601\u65f6\uff0caX=N X=logaN\u3002\uff08N>0\uff09\u7531\u6307\u6570\u51fd\u6570\u4e0e\u5bf9\u6570\u51fd\u6570\u7684\u8fd9\u4e2a\u5173\u7cfb\uff0c\u53ef\u4ee5\u5f97\u5230\u5173\u4e8e\u5bf9\u6570\u7684\u5982\u4e0b\u7ed3\u8bba\uff1a
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用对数的定义推导出换底公式的过程见下图
扩展资料：
换底公式可将异底对数式转化为同底对数式，结合其他的对数运算公式一起使用。计算中常常会减少计算的难度，更迅速的解决高中范围的对数运算。
对数的性质：
1、以a为底N的对数记作：logaN
2、以10为底的常用对数：lgN=log10N
3、以无理数e（e=2.71828...）为底的自然对数记作：lnN=logeN
4、零没有对数
5、在实数范围内，负数无对数。在虚数范围内，负数是有对数的。
参考资料来源：百度百科—换底公式
log(a)b=log(s)b/log(s)a
括号里的是底数
设log(s)b=M,log(s)a =N,log(a)b=R
则s^M=b,s^N=a,a^R=b
即(s^N)^R=a^R=b
s^(NR)=b
所以M=NR,即R=M/N,log(a)b=log(s)b/log(s)a
log(a)b=log(s)b/log(s)a
括号里的是底数
设log(s)b=M,log(s)a =N,log(a)b=R
则s^M=b,s^N=a,a^R=b
即(s^N)^R=a^R=b
s^(NR)=b
所以M=NR,即R=M/N,log(a)b=log(s)b/log(s)a
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绛旓細瀵规暟鎹㈠簳鍏紡锛歭og(a)b=log(n)b/log(n)a 璇佹槑锛氳 log(a)b=x锛屽垯 a^x=b 涓よ竟鍚屾椂鍙栦互n涓搴曠殑瀵规暟锛屽緱锛歭og(n)a^x=log(n)b xlog(n)a=log(n)b x=log(n)b/log(n)a 鎵浠 log(a)b=log(n)b/log(n)a銆
绛旓細鎹㈠簳鍏紡鎺ㄥ濡備笅锛1銆乴og(a)(b)=log(c)(b)/log(c)(a)(a,c鍧囧ぇ浜庨浂涓斾笉绛変簬1)鎺ㄥ杩囩▼锛氳嫢鏈夊鏁發og(a)(b)璁綼=n^x,b=n^y(n>0,涓攏涓嶄负1)濡傦細log(10)(5)=log(5)(5)/log(5)(10)锛屽垯log(a)(b)=log(n^x)(n^y)銆鏍规嵁瀵规暟鐨鍩烘湰鍏紡锛宭og(a)(M^n)=nloga(M)鍜...
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