高中数学教师请进：数列的极限 优质课 高中数学数列通项公式极限
\u6570\u5b66\u91cc\u7684\u6781\u9650\u662f\u54ea\u4e00\u672c\u4e66\u4e0a\u9762\u5b66\u7684\uff1f\u9ad8\u4e2d\u8fd8\u662f\u5927\u5b66\uff1f\u6570\u5b66\u91cc\u7684\u6781\u9650\u5728\u9ad8\u4e2d\u9009\u4fee2-2\u91cc\u6709\u4e00\u70b9\u6d89\u53ca\uff0c\u4e3b\u8981\u662f\u5927\u5b66\u4e2d\u5fae\u79ef\u5206\u79d1\u76ee\u7684\u77e5\u8bc6\u70b9\u3002
\u6781\u9650\u7684\u601d\u60f3\u662f\u8fd1\u4ee3\u6570\u5b66\u7684\u4e00\u79cd\u91cd\u8981\u601d\u60f3\uff0c\u6570\u5b66\u5206\u6790\u5c31\u662f\u4ee5\u6781\u9650\u6982\u5ff5\u4e3a\u57fa\u7840\u3001\u6781\u9650\u7406\u8bba(\u5305\u62ec\u7ea7\u6570)\u4e3a\u4e3b\u8981\u5de5\u5177\u6765\u7814\u7a76\u51fd\u6570\u7684\u4e00\u95e8\u5b66\u79d1\u3002
\u6240\u8c13\u6781\u9650\u7684\u601d\u60f3\uff0c\u662f\u6307\u201c\u7528\u6781\u9650\u6982\u5ff5\u5206\u6790\u95ee\u9898\u548c\u89e3\u51b3\u95ee\u9898\u7684\u4e00\u79cd\u6570\u5b66\u601d\u60f3\u201d\u3002
\u7528\u6781\u9650\u601d\u60f3\u89e3\u51b3\u95ee\u9898\u7684\u4e00\u822c\u6b65\u9aa4\u53ef\u6982\u62ec\u4e3a\uff1a
\u5bf9\u4e8e\u88ab\u8003\u5bdf\u7684\u672a\u77e5\u91cf\uff0c\u5148\u8bbe\u6cd5\u6b63\u786e\u5730\u6784\u601d\u4e00\u4e2a\u4e0e\u5b83\u7684\u53d8\u5316\u6709\u5173\u7684\u53e6\u5916\u4e00\u4e2a\u53d8\u91cf\uff0c\u786e\u8ba4\u6b64\u53d8\u91cf\u901a\u8fc7\u65e0\u9650\u53d8\u5316\u8fc7\u7a0b\u7684\u5f71\u54cd\u8d8b\u52bf\u6027\uff0c\u7ed3\u679c\u5c31\u662f\u975e\u5e38\u7cbe\u5bc6\u7684\u7ea6\u7b49\u4e8e\u6240\u6c42\u7684\u672a\u77e5\u91cf\uff1b\u7528\u6781\u9650\u539f\u7406\u5c31\u53ef\u4ee5\u8ba1\u7b97\u5f97\u5230\u88ab\u8003\u5bdf\u7684\u672a\u77e5\u91cf\u7684\u7ed3\u679c\u3002
\u6781\u9650\u601d\u60f3\u662f\u5fae\u79ef\u5206\u7684\u57fa\u672c\u601d\u60f3\uff0c\u662f\u6570\u5b66\u5206\u6790\u4e2d\u7684\u4e00\u7cfb\u5217\u91cd\u8981\u6982\u5ff5\uff0c\u5982\u51fd\u6570\u7684\u8fde\u7eed\u6027\u3001\u5bfc\u6570\uff08\u4e3a0\u5f97\u5230\u6781\u5927\u503c\uff09\u4ee5\u53ca\u5b9a\u79ef\u5206\u7b49\u7b49\u90fd\u662f\u501f\u52a9\u4e8e\u6781\u9650\u6765\u5b9a\u4e49\u7684\u3002
\u6269\u5c55\u8d44\u6599\uff1a
\u4e00\u3001\u5efa\u7acb\u7684\u6982\u5ff5
\u6781\u9650\u7684\u601d\u60f3\u65b9\u6cd5\u8d2f\u7a7f\u4e8e\u6570\u5b66\u5206\u6790\u8bfe\u7a0b\u7684\u59cb\u7ec8\u3002\u53ef\u4ee5\u8bf4\u6570\u5b66\u5206\u6790\u4e2d\u7684\u51e0\u4e4e\u6240\u6709\u7684\u6982\u5ff5\u90fd\u79bb\u4e0d\u5f00\u6781\u9650\u3002\u5728\u51e0\u4e4e\u6240\u6709\u7684\u6570\u5b66\u5206\u6790\u8457\u4f5c\u4e2d\uff0c\u90fd\u662f\u5148\u4ecb\u7ecd\u51fd\u6570\u7406\u8bba\u548c\u6781\u9650\u7684\u601d\u60f3\u65b9\u6cd5\u3002
\u7136\u540e\u5229\u7528\u6781\u9650\u7684\u601d\u60f3\u65b9\u6cd5\u7ed9\u51fa\u8fde\u7eed\u51fd\u6570\u3001\u5bfc\u6570\u3001\u5b9a\u79ef\u5206\u3001\u7ea7\u6570\u7684\u655b\u6563\u6027\u3001\u591a\u5143\u51fd\u6570\u7684\u504f\u5bfc\u6570\uff0c\u5e7f\u4e49\u79ef\u5206\u7684\u655b\u6563\u6027\u3001\u91cd\u79ef\u5206\u548c\u66f2\u7ebf\u79ef\u5206\u4e0e\u66f2\u9762\u79ef\u5206\u7684\u6982\u5ff5\u3002\u5982\uff1a
\uff081\uff09\u51fd\u6570\u5728 \u70b9\u8fde\u7eed\u7684\u5b9a\u4e49\uff0c\u662f\u5f53\u81ea\u53d8\u91cf\u7684\u589e\u91cf\u8d8b\u4e8e\u96f6\u65f6\uff0c\u51fd\u6570\u503c\u7684\u589e\u91cf\u8d8b\u4e8e\u96f6\u7684\u6781\u9650\u3002
\uff082\uff09\u51fd\u6570\u5728 \u70b9\u5bfc\u6570\u7684\u5b9a\u4e49\uff0c\u662f\u51fd\u6570\u503c\u7684\u589e\u91cf \u4e0e\u81ea\u53d8\u91cf\u7684\u589e\u91cf \u4e4b\u6bd4 \uff0c\u5f53 \u65f6\u7684\u6781\u9650\u3002
\uff083\uff09\u51fd\u6570\u5728 \u70b9\u4e0a\u7684\u5b9a\u79ef\u5206\u7684\u5b9a\u4e49\uff0c\u662f\u5f53\u5206\u5272\u7684\u7ec6\u5ea6\u8d8b\u4e8e\u96f6\u65f6\uff0c\u79ef\u5206\u548c\u5f0f\u7684\u6781\u9650\u3002
\uff084\uff09\u6570\u9879\u7ea7\u6570\u7684\u655b\u6563\u6027\u662f\u7528\u90e8\u5206\u548c\u6570\u5217 \u7684\u6781\u9650\u6765\u5b9a\u4e49\u7684\u3002
\uff085\uff09\u5e7f\u4e49\u79ef\u5206\u662f\u5b9a\u79ef\u5206\u5176\u4e2d \u4e3a\uff0c\u4efb\u610f\u5927\u4e8e \u7684\u5b9e\u6570\u5f53 \u65f6\u7684\u6781\u9650\uff0c\u7b49\u7b49\u3002
\u4e8c\u3001\u76f8\u5173\u6027\u8d28
1\u3001\u552f\u4e00\u6027\uff1a\u82e5\u6570\u5217\u7684\u6781\u9650\u5b58\u5728\uff0c\u5219\u6781\u9650\u503c\u662f\u552f\u4e00\u7684\uff0c\u4e14\u5b83\u7684\u4efb\u4f55\u5b50\u5217\u7684\u6781\u9650\u4e0e\u539f\u6570\u5217\u7684\u76f8\u7b49\u3002
2\u3001\u6709\u754c\u6027\uff1a\u5982\u679c\u4e00\u4e2a\u6570\u5217\u2019\u6536\u655b\u2018\uff08\u6709\u6781\u9650\uff09\uff0c\u90a3\u4e48\u8fd9\u4e2a\u6570\u5217\u4e00\u5b9a\u6709\u754c\u3002
\u4f46\u662f\uff0c\u5982\u679c\u4e00\u4e2a\u6570\u5217\u6709\u754c\uff0c\u8fd9\u4e2a\u6570\u5217\u672a\u5fc5\u6536\u655b\u3002\u4f8b\u5982\u6570\u5217 \uff1a\u201c1\uff0c-1\uff0c1\uff0c-1\uff0c\u2026\u2026\uff0c(-1)n+1\u201d
3\u3001\u4fdd\u53f7\u6027\uff1a\u82e5 \uff08\u62160\uff0c\u4f7fn>N\u65f6\u6709 \uff08\u76f8\u5e94\u7684xn<m\uff09\u3002
4\u3001\u4fdd\u4e0d\u7b49\u5f0f\u6027\uff1a\u8bbe\u6570\u5217{xn} \u4e0e{yn}\u5747\u6536\u655b\u3002\u82e5\u5b58\u5728\u6b63\u6570N \uff0c\u4f7f\u5f97\u5f53n>N\u65f6\u6709 \uff0c\u5219 \uff08\u82e5\u6761\u4ef6\u6362\u4e3axn>yn \uff0c\u7ed3\u8bba\u4e0d\u53d8\uff09\u3002
5\u3001\u548c\u5b9e\u6570\u8fd0\u7b97\u7684\u76f8\u5bb9\u6027\uff1a\u8b6c\u5982\uff1a\u5982\u679c\u4e24\u4e2a\u6570\u5217{xn} \uff0c{yn} \u90fd\u6536\u655b\uff0c\u90a3\u4e48\u6570\u5217 \u4e5f\u6536\u655b\uff0c\u800c\u4e14\u5b83\u7684\u6781\u9650\u7b49\u4e8e{xn} \u7684\u6781\u9650\u548c{yn} \u7684\u6781\u9650\u7684\u548c\u3002
6\u3001\u4e0e\u5b50\u5217\u7684\u5173\u7cfb\uff1a\u6570\u5217{xn} \u4e0e\u5b83\u7684\u4efb\u4e00\u5e73\u51e1\u5b50\u5217\u540c\u4e3a\u6536\u655b\u6216\u53d1\u6563\uff0c\u4e14\u5728\u6536\u655b\u65f6\u6709\u76f8\u540c\u7684\u6781\u9650\uff1b\u6570\u5217 \u6536\u655b\u7684\u5145\u8981\u6761\u4ef6\u662f\uff1a\u6570\u5217{xn} \u7684\u4efb\u4f55\u975e\u5e73\u51e1\u5b50\u5217\u90fd\u6536\u655b\u3002
\u53c2\u8003\u8d44\u6599\uff1a
\u767e\u5ea6\u767e\u79d1\uff0d\u6781\u9650
a(n) = 1/2^n + 1/[n(n+1)] = (1/2)(1/2)^(n-1) + 1/n - 1/(n+1),
s(n) = a(1) + a(2) + ... + a(n-1) + a(n)
= (1/2)[1 + (1/2) + ... + (1/2)^(n-2) + (1/2)^(n-1)] + 1/1 - 1/2 + 1/2 - 1/3 + ... + 1/(n-1) - 1/n + 1/n - 1/(n+1)
= (1/2)[1 - (1/2)^n]/(1-1/2) + 1/1 - 1/(n+1)
= 1 - (1/2)^n + 1 - 1/(n+1).
lim_{n->\u65e0\u7a77\uff5ds(n) = 2
\u7b54\u6848\uff1aB
第三章“数列”教材分析
本章是数列，特别是等差数列与等比数列，有着较为广泛的实际应用 如各种产品尺寸常要分成若干等级，当其中的最大尺寸与最小尺寸相差不大时，常按等差数列进行分级，比如鞋的尺码；当其中的最大尺寸与最小尺寸相差较大时(这种情况是多数)，常按等比数列进行分级，比如汽车的载重量、包装箱的重量等 特别值得一提的是，数列在产品尺寸标准化方面有着重要作用 数列在整个中学数学教学内容中，处于一个知识汇合点的地位，很多知识都与数列有着密切联系，过去学过的数、式、方程、函数、简易逻辑等知识在这一章均得到了较为充分的应用，而学习数列又为后面学习数列与函数的极限等内容作了铺垫 课本采取将代数、几何打通的混编体系的主要目的是强化数学知识的内在联系，而数列正是在将各知识沟通方面发挥了重要作用 由于不少关于恒等变形、解方程(组)以及一些带有综合性的数学问题都与等差数列、等比数列有关，学习这一章便于对学生进行综合训练，从而有助于培养学生综合运用知识解决问题的能力
本章教学约需17课时，具体分配如下：
3.1 数列 约2课时
3.2 等差数列 约2课时
3.3 等差数列前n项和 约2课时
3.4 等比数列 约2课时
3.5 等比数列前n项和 约2课时
研究性课题：分期付款中的有关计算 约3课时
小结与复习 约4课时
一、内容与要求
本章从内容上看，可以分为数列、等差数列、等比数列三个部分
在数列这一部分，主要介绍数列的概念、分类，以及给出数列的两种方法 关于数列的概念，先给出了一个描述性定义，尔后又在此基础上，给出了一个在映射、函数观点下的定义，指出：“从映射、函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为正整数集(或它的有限子集)的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值” 这样就可以将数列与函数联系起来，不仅可以加深对数列概念的理解，而且有助于运用函数的观点去研究数列 关于给出数列的两种方法，其中数列的通项公式，教材已明确指出它就是相应函数的解析式 点破了这一点，数列与函数的内在联系揭示得就更加清楚 此外，正如并非每一函数均有解析表达式一样，也并非每一数列均有通项公式(有通项公式的数列只是少数)，
因而研究递推公式给出数列的方法可使我们研究数列的范围大大扩展 递推是数学里的一个非常重要的概念和方法，数学归纳法证明问题的基本思想实际上也是“递推” 在数列的研究中，不仅很多重要的数列是用递推公式给出的，而且它也是获得一个数列的通项公式的途径：先得出较为容易写出的数列的递推公式，然后再根据它推得通项公式 但是，这项内容也是极易膨胀的，例如研究用递推公式给出的数列的性质，从数列的递推公式推导通项公式等，这样就会加重学生负担 考虑到学生是在高一学习，我们必须牢牢把握教学要求，只要能初步体会一下用递推方法给出数列的思想，能根据递推公式写出一个数列的前几项就行了
在等差数列这一部分，在讲等差数列的概念时，突出了它与一次函数的联系，这样就便于利用所学过的一次函数的知识来认识等差数列的性质：从图象上看，为什么表示等差数列的各点都均匀地分布在一条直线上，为什么两项可以决定一个等差数列(从几何上看两点可以决定一条直线) 在推导等差数列前n项和的公式时，突出了数列的一个重要的对称性质：与任一项前后等距离的两项的平均数都与该项相等，认识这一点对解决问题会带来一些方便
在等比数列这一部分，在讲等比数列的概念和通项公式时也突出了它与指数函数的联系 这不仅可加深对等比数列的认识，而且可以对处理某类问题的指数函数方法和等比数列方法进行比较，从而有利于对这些方法的掌握
二、本章的特点
(一)在启发学生思维上下功夫
本章内容，是培养学生观察问题、启发学生思考问题的好素材，使学生在获得知识的基础上，观察和思维能力得到提高
在问题的提出和概念的引入方面，为了引起学生的兴趣，在本章的“前言”里用了一个有关国际象棋棋盘的古代传说作为引入的例子 它用一个涉及求等比数列的前n项和的麦粒数的计算问题给学生造成了一个不学本章知识、难获问题答案的悬念，又在学了等比数列后回过头来解开这个悬念；在讲等差数列与等比数列的概念时，都是先写出几个数列，让学生先观察它们的共同特点，然后在归纳共同特点的基础上给出相应的定义
在推导结论时，注意发挥它们在启发学生思维方面的作用 例如在讲等差数列前n项和的公式时，没有平铺直叙地推导公式，而是先提出问题：
1+2+3+...+100 = ?，并指出著名数学家高斯10岁时便很快算出它的结果，以激发学生的求解热情，然后让学生在观察高斯算法的基础上，发现上述数列的一个对称性质：任意第k项与倒数第k项的和均等于首末两项的和，从而为顺利地推导求和公式铺平了道路
在例题、习题的表述方面，适当配备了一些采用疑问形式的题，以增加问题的启发成分 如3.3 例4：“已知数列的通项公式为 =pn十q，其中p、q是常数，那么这种数列是否一定是等差数列? 如果是，其首项与公差是什么?” 又如:“如果一个数列既是等差数列，又是等比数列，那么这个数列有什么特点？”这样就增加了题目的研究性 在讲有些例题时，加了一小段“分析”，通过不多的几句话点明解题的思路 如对于上面提到的“3.3 例 4”，加的一段“分析”是：“由等差数列定义，要判定 { }是不是等差数列，只要看 是不是一个与n无关的常数就行了” 话虽不多，但突出了 “从定义出发”这种最基本的证明方法
课 题：3.1 数列的一般概念（一）
教学目的：
⒈理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系.
⒉了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项
⒊对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的个通项公式
教学重点：数列及其有关概念，通项公式及其应用，前n 项和与an的关系
教学难点：根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪
内容分析：
本节主要介绍数列的概念、分类，以及给出数列的两种方法 关于数列的概念，先给出了一个描述性定义，尔后又在此基础上，给出了一个在映射、函数观点下的定义，指出：“从映射、函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为正整数集(或它的有限子集)的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值” 这样就可以将数列与函数联系起来，不仅可以加深对数列概念的理解，而且有助于运用函数的观点去研究数列 关于给出数列的两种方法，其中数列的通项公式，教材已明确指出它就是相应函数的解析式 点破了这一点，数列与函数的内在联系揭示得就更加清楚 此外，正如并非每一函数均有解析表达式一样，也并非每一数列均有通项公式(有通项公式的数列只是少数)
教学过程：
一、复习引入：
1．函数的定义．
如果A、B都是非空擞 集，那么A到B的映射 就叫做A到B的函数，记作： ，其中
2．在学习第二章函数的基础上，今天我们来学习第三章数列的有关知识，首先我们来看一些例子：
4，5，6，7，8，9，10． ①
1， ， ， ， ，…. ②
1，0.1，0.01，0.001，0.0001，…. ③
1，1.4，1.41，1.414，…. ④
-1，1，-1，1，-1，1，…. ⑤
2，2，2，2，2，…. ⑥
观察这些例子，看它们有何共同特点？（启发学生发现数列定义）
上述例子的共同特点是：⑴均是一列数；⑵有一定次序.
从而引出数列及有关定义
二、讲解新课：
⒈ 数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列.
注意：⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；
⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.
⒉ 数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项. 各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，….
例如，上述例子均是数列，其中①中，“4”是这个数列的第1项（或首项），“9”是这个数列中的第6项.
⒊数列的一般形式： ，或简记为 ，其中 是数列的第n项
结合上述例子，帮助学生理解数列及项的定义. ②中，这是一个数列，它的首项是“1”，“ ”是这个数列的第“3”项，等等
下面我们再来看这些数列的每一项与这一项的序号是否有一定的对应关系？这一关系可否用一个公式表示？（引导学生进一步理解数列与项的定义，从而发现数列的通项公式）对于上面的数列②，第一项与这一项的序号有这样的对应关系：
项
↓ ↓ ↓ ↓ ↓
序号 1 2 3 4 5
这个数的第一项与这一项的序号可用一个公式： 来表示其对应关系
即：只要依次用1，2，3…代替公式中的n，就可以求出该数列相应的各项
结合上述其他例子，练习找其对应关系
如：数列①： =n+3(1≤n≤7)；数列③： ≥1）；
数列⑤： （n≥1）
⒋ 数列的通项公式：如果数列 的第n项 与n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.
注意：⑴并不是所有数列都能写出其通项公式，如上述数列④；
⑵一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列：1，0，1，0，1，0，…它的通项公式可以是 ，也可以是 .
⑶数列通项公式的作用：①求数列中任意一项；②检验某数是否是该数列中的一项.
从映射、函数的观点来看，数列也可以看作是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集{1，2，3，…，n}）的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，数列的通项公式就是相应函数的解析式.
对于函数，我们可以根据其函数解析式画出其对应图象，看来，数列也可根据其通项公式画出其对应图象，下面同学们练习画数列①，②的图象，并总结其特点.
在画图时，为方便起见，直角坐标系两条坐标轴上的单位长度可以不同. 数列①、②的图象分别如图1，图2所示.
5．数列的图像都是一群孤立的点.
6．数列有三种表示形式：
列举法，通项公式法和图象法.
7． 有穷数列：项数有限的数列.例如，数列①是有穷数列.
8．无穷数列：项数无限的数列. 例如，数列②、③、④、⑤、⑥都是无穷数列.
这些都不重要,重要的是你如何把知识,清晰,透彻的传授给大多数同学!包括你设计如何引入,用什么方法讲解!用什么方法能征服听课人!只要够细心就不会出什么问题!
一般都是讲新内容，然后进行例题讲解；
也就是接着上节课后的内容讲下一节的内容，每讲一个知识点，都要针对该知识点进行例题讲解，最好是先让同学们做，然后进行讲解
意义用途当引言，定义是主体，习题要配套。这才是最完整的课
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