高中数学公式总结 急需!谢谢! 高中数学公式总结
\u9ad8\u4e2d\u6240\u6709\u6570\u5b66\u516c\u5f0f\uff08\u6211\u9a6c\u4e0a\u8981\u5b66\u4e1a\u6c34\u5e73\u6d4b\u8bd5\u4e86\u6025\u9700\u516c\u5f0f\uff09\u8c22\u8c22\uff01\uff01\u629b\u7269\u7ebf\uff1ay = ax *+ bx + c
\u5c31\u662fy\u7b49\u4e8eax \u7684\u5e73\u65b9\u52a0\u4e0a bx\u518d\u52a0\u4e0a c
a > 0\u65f6\u5f00\u53e3\u5411\u4e0a
a < 0\u65f6\u5f00\u53e3\u5411\u4e0b
c = 0\u65f6\u629b\u7269\u7ebf\u7ecf\u8fc7\u539f\u70b9
b = 0\u65f6\u629b\u7269\u7ebf\u5bf9\u79f0\u8f74\u4e3ay\u8f74
\u8fd8\u6709\u9876\u70b9\u5f0fy = a\uff08x+h\uff09* + k
\u5c31\u662fy\u7b49\u4e8ea\u4e58\u4ee5\uff08x+h\uff09\u7684\u5e73\u65b9+k
-h\u662f\u9876\u70b9\u5750\u6807\u7684x
k\u662f\u9876\u70b9\u5750\u6807\u7684y
\u4e00\u822c\u7528\u4e8e\u6c42\u6700\u5927\u503c\u4e0e\u6700\u5c0f\u503c
\u629b\u7269\u7ebf\u6807\u51c6\u65b9\u7a0b:y^2=2px
\u5b83\u8868\u793a\u629b\u7269\u7ebf\u7684\u7126\u70b9\u5728x\u7684\u6b63\u534a\u8f74\u4e0a,\u7126\u70b9\u5750\u6807\u4e3a(p/2,0) \u51c6\u7ebf\u65b9\u7a0b\u4e3ax=-p/2
\u7531\u4e8e\u629b\u7269\u7ebf\u7684\u7126\u70b9\u53ef\u5728\u4efb\u610f\u534a\u8f74,\u6545\u5171\u6709\u6807\u51c6\u65b9\u7a0by^2=2px y^2=-2px x^2=2py x^2=-2py
\u5706\uff1a\u4f53\u79ef=4/3(pi\uff09(r^3)
\u9762\u79ef=(pi)(r^2)
\u5468\u957f=2(pi)r
\u5706\u7684\u6807\u51c6\u65b9\u7a0b (x-a)2+(y-b)2=r2 \u6ce8\uff1a\uff08a,b\uff09\u662f\u5706\u5fc3\u5750\u6807
\u5706\u7684\u4e00\u822c\u65b9\u7a0b x2+y2+Dx+Ey+F=0 \u6ce8\uff1aD2+E2-4F>0
\uff08\u4e00\uff09\u692d\u5706\u5468\u957f\u8ba1\u7b97\u516c\u5f0f
\u692d\u5706\u5468\u957f\u516c\u5f0f\uff1aL=2\u03c0b+4(a-b)
\u692d\u5706\u5468\u957f\u5b9a\u7406\uff1a\u692d\u5706\u7684\u5468\u957f\u7b49\u4e8e\u8be5\u692d\u5706\u77ed\u534a\u8f74\u957f\u4e3a\u534a\u5f84\u7684\u5706\u5468\u957f\uff082\u03c0b\uff09\u52a0\u4e0a\u56db\u500d\u7684\u8be5\u692d\u5706\u957f\u534a\u8f74\u957f\uff08a\uff09\u4e0e\u77ed\u534a\u8f74\u957f\uff08b\uff09\u7684\u5dee\u3002
\uff08\u4e8c\uff09\u692d\u5706\u9762\u79ef\u8ba1\u7b97\u516c\u5f0f
\u692d\u5706\u9762\u79ef\u516c\u5f0f\uff1a S=\u03c0ab
\u692d\u5706\u9762\u79ef\u5b9a\u7406\uff1a\u692d\u5706\u7684\u9762\u79ef\u7b49\u4e8e\u5706\u5468\u7387\uff08\u03c0\uff09\u4e58\u8be5\u692d\u5706\u957f\u534a\u8f74\u957f\uff08a\uff09\u4e0e\u77ed\u534a\u8f74\u957f\uff08b\uff09\u7684\u4e58\u79ef\u3002
\u4ee5\u4e0a\u692d\u5706\u5468\u957f\u3001\u9762\u79ef\u516c\u5f0f\u4e2d\u867d\u7136\u6ca1\u6709\u51fa\u73b0\u692d\u5706\u5468\u7387T\uff0c\u4f46\u8fd9\u4e24\u4e2a\u516c\u5f0f\u90fd\u662f\u901a\u8fc7\u692d\u5706\u5468\u7387T\u63a8\u5bfc\u6f14\u53d8\u800c\u6765\u3002\u5e38\u6570\u4e3a\u4f53\uff0c\u516c\u5f0f\u4e3a\u7528\u3002
\u692d\u5706\u5f62\u7269\u4f53 \u4f53\u79ef\u8ba1\u7b97\u516c\u5f0f\u692d\u5706 \u7684 \u957f\u534a\u5f84*\u77ed\u534a\u5f84*PAI*\u9ad8
\u4e09\u89d2\u51fd\u6570\uff1a
\u4e24\u89d2\u548c\u516c\u5f0f
sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA
cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB
tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)
cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA)
\u500d\u89d2\u516c\u5f0f
tan2A=2tanA/(1-tan2A) cot2A=(cot2A-1)/2cota
cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a
sin\u03b1+sin(\u03b1+2\u03c0/n)+sin(\u03b1+2\u03c0*2/n)+sin(\u03b1+2\u03c0*3/n)+\u2026\u2026+sin[\u03b1+2\u03c0*(n-1)/n]=0
cos\u03b1+cos(\u03b1+2\u03c0/n)+cos(\u03b1+2\u03c0*2/n)+cos(\u03b1+2\u03c0*3/n)+\u2026\u2026+cos[\u03b1+2\u03c0*(n-1)/n]=0 \u4ee5\u53ca
sin^2(\u03b1)+sin^2(\u03b1-2\u03c0/3)+sin^2(\u03b1+2\u03c0/3)=3/2
tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0
\u56db\u500d\u89d2\u516c\u5f0f\uff1a
sin4A=-4*(cosA*sinA*(2*sinA^2-1))
cos4A=1+(-8*cosA^2+8*cosA^4)
tan4A=(4*tanA-4*tanA^3)/(1-6*tanA^2+tanA^4)
\u4e94\u500d\u89d2\u516c\u5f0f\uff1a
sin5A=16sinA^5-20sinA^3+5sinA
cos5A=16cosA^5-20cosA^3+5cosA
tan5A=tanA*(5-10*tanA^2+tanA^4)/(1-10*tanA^2+5*tanA^4)
\u516d\u500d\u89d2\u516c\u5f0f\uff1a
sin6A=2*(cosA*sinA*(2*sinA+1)*(2*sinA-1)*(-3+4*sinA^2))
cos6A=((-1+2*cosA^2)*(16*cosA^4-16*cosA^2+1))
tan6A=(-6*tanA+20*tanA^3-6*tanA^5)/(-1+15*tanA^2-15*tanA^4+tanA^6)
\u4e03\u500d\u89d2\u516c\u5f0f\uff1a
sin7A=-(sinA*(56*sinA^2-112*sinA^4-7+64*sinA^6))
cos7A=(cosA*(56*cosA^2-112*cosA^4+64*cosA^6-7))
tan7A=tanA*(-7+35*tanA^2-21*tanA^4+tanA^6)/(-1+21*tanA^2-35*tanA^4+7*tanA^6)
\u516b\u500d\u89d2\u516c\u5f0f\uff1a
sin8A=-8*(cosA*sinA*(2*sinA^2-1)*(-8*sinA^2+8*sinA^4+1))
cos8A=1+(160*cosA^4-256*cosA^6+128*cosA^8-32*cosA^2)
tan8A=-8*tanA*(-1+7*tanA^2-7*tanA^4+tanA^6)/(1-28*tanA^2+70*tanA^4-28*tanA^6+tanA^8)
\u4e5d\u500d\u89d2\u516c\u5f0f\uff1a
sin9A=(sinA*(-3+4*sinA^2)*(64*sinA^6-96*sinA^4+36*sinA^2-3))
cos9A=(cosA*(-3+4*cosA^2)*(64*cosA^6-96*cosA^4+36*cosA^2-3))
tan9A=tanA*(9-84*tanA^2+126*tanA^4-36*tanA^6+tanA^8)/(1-36*tanA^2+126*tanA^4-84*tanA^6+9*tanA^8)
\u5341\u500d\u89d2\u516c\u5f0f\uff1a
sin10A=2*(cosA*sinA*(4*sinA^2+2*sinA-1)*(4*sinA^2-2*sinA-1)*(-20*sinA^2+5+16*sinA^4))
cos10A=((-1+2*cosA^2)*(256*cosA^8-512*cosA^6+304*cosA^4-48*cosA^2+1))
tan10A=-2*tanA*(5-60*tanA^2+126*tanA^4-60*tanA^6+5*tanA^8)/(-1+45*tanA^2-210*tanA^4+210*tanA^6-45*tanA^8+tanA^10)
•\u4e07\u80fd\u516c\u5f0f\uff1a
sin\u03b1=2tan(\u03b1/2)/[1+tan^2(\u03b1/2)]
cos\u03b1=[1-tan^2(\u03b1/2)]/[1+tan^2(\u03b1/2)]
tan\u03b1=2tan(\u03b1/2)/[1-tan^2(\u03b1/2)]
\u534a\u89d2\u516c\u5f0f
sin(A/2)=\u221a((1-cosA)/2) sin(A/2)=-\u221a((1-cosA)/2)
cos(A/2)=\u221a((1+cosA)/2) cos(A/2)=-\u221a((1+cosA)/2)
tan(A/2)=\u221a((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-\u221a((1-cosA)/((1+cosA))
cot(A/2)=\u221a((1+cosA)/((1-cosA)) cot(A/2)=-\u221a((1+cosA)/((1-cosA))
\u548c\u5dee\u5316\u79ef
2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)
2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)
sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)
tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB
cotA+cotBsin(A+B)/sinAsinB -cotA+cotBsin(A+B)/sinAsinB
\u67d0\u4e9b\u6570\u5217\u524dn\u9879\u548c
1+2+3+4+5+6+7+8+9+\u2026+n=n(n+1)/2 1+3+5+7+9+11+13+15+\u2026+(2n-1)=n2
2+4+6+8+10+12+14+\u2026+(2n)=n(n+1) 1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+7^2+8^2+\u2026+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
1^3+2^3+3^3+4^3+5^3+6^3+\u2026n^3=(n(n+1)/2)^2 1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+\u2026+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3
\u6b63\u5f26\u5b9a\u7406 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R \u6ce8\uff1a \u5176\u4e2d R \u8868\u793a\u4e09\u89d2\u5f62\u7684\u5916\u63a5\u5706\u534a\u5f84
\u4f59\u5f26\u5b9a\u7406 b2=a2+c2-2accosB \u6ce8\uff1a\u89d2B\u662f\u8fb9a\u548c\u8fb9c\u7684\u5939\u89d2
\u4e58\u6cd5\u4e0e\u56e0\u5f0f\u5206 a2-b2=(a+b)(a-b) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b(a2+ab+b2)
\u4e09\u89d2\u4e0d\u7b49\u5f0f |a+b|\u2264|a|+|b| |a-b|\u2264|a|+|b| |a|\u2264b-b\u2264a\u2264b
|a-b|\u2265|a|-|b| -|a|\u2264a\u2264|a|
\u4e00\u5143\u4e8c\u6b21\u65b9\u7a0b\u7684\u89e3 -b+\u221a(b2-4ac)/2a -b-\u221a(b2-4ac)/2a
\u6839\u4e0e\u7cfb\u6570\u7684\u5173\u7cfb x1+x2=-b/a x1*x2=c/a \u6ce8\uff1a\u97e6\u8fbe\u5b9a\u7406
\u5224\u522b\u5f0f b2-4a=0 \u6ce8\uff1a\u65b9\u7a0b\u6709\u76f8\u7b49\u7684\u4e24\u5b9e\u6839
b2-4ac>0 \u6ce8\uff1a\u65b9\u7a0b\u6709\u4e24\u4e2a\u4e0d\u76f8\u7b49\u7684\u4e2a\u5b9e\u6839
b2-4ac<0 \u6ce8\uff1a\u65b9\u7a0b\u6709\u5171\u8f6d\u590d\u6570\u6839
\u516c\u5f0f\u5206\u7c7b \u516c\u5f0f\u8868\u8fbe\u5f0f
\u5706\u7684\u6807\u51c6\u65b9\u7a0b (x-a)2+(y-b)2=r2 \u6ce8\uff1a\uff08a,b\uff09\u662f\u5706\u5fc3\u5750\u6807
\u5706\u7684\u4e00\u822c\u65b9\u7a0b x2+y2+Dx+Ey+F=0 \u6ce8\uff1aD2+E2-4F>0
\u629b\u7269\u7ebf\u6807\u51c6\u65b9\u7a0b y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py
\u76f4\u68f1\u67f1\u4fa7\u9762\u79ef S=c*h \u659c\u68f1\u67f1\u4fa7\u9762\u79ef S=c'*h
\u6b63\u68f1\u9525\u4fa7\u9762\u79ef S=1/2c*h' \u6b63\u68f1\u53f0\u4fa7\u9762\u79ef S=1/2(c+c')h'
\u5706\u53f0\u4fa7\u9762\u79ef S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l \u7403\u7684\u8868\u9762\u79ef S=4pi*r2
\u5706\u67f1\u4fa7\u9762\u79ef S=c*h=2pi*h \u5706\u9525\u4fa7\u9762\u79ef S=1/2*c*l=pi*r*l
\u5f27\u957f\u516c\u5f0f l=a*r a\u662f\u5706\u5fc3\u89d2\u7684\u5f27\u5ea6\u6570r >0 \u6247\u5f62\u9762\u79ef\u516c\u5f0f s=1/2*l*r
\u9525\u4f53\u4f53\u79ef\u516c\u5f0f V=1/3*S*H \u5706\u9525\u4f53\u4f53\u79ef\u516c\u5f0f V=1/3*pi*r2h
\u659c\u68f1\u67f1\u4f53\u79ef V=S'L \u6ce8\uff1a\u5176\u4e2d,S'\u662f\u76f4\u622a\u9762\u9762\u79ef\uff0c L\u662f\u4fa7\u68f1\u957f
\u67f1\u4f53\u4f53\u79ef\u516c\u5f0f V=s*h \u5706\u67f1\u4f53 V=pi*r2h
\u56fe\u5f62\u5468\u957f \u9762\u79ef \u4f53\u79ef\u516c\u5f0f
\u957f\u65b9\u5f62\u7684\u5468\u957f=\uff08\u957f+\u5bbd\uff09\u00d72
\u6b63\u65b9\u5f62\u7684\u5468\u957f=\u8fb9\u957f\u00d74
\u957f\u65b9\u5f62\u7684\u9762\u79ef=\u957f\u00d7\u5bbd
\u6b63\u65b9\u5f62\u7684\u9762\u79ef=\u8fb9\u957f\u00d7\u8fb9\u957f
\u4e09\u89d2\u5f62\u7684\u9762\u79ef
\u5df2\u77e5\u4e09\u89d2\u5f62\u5e95a\uff0c\u9ad8h\uff0c\u5219S\uff1dah/2
\u5df2\u77e5\u4e09\u89d2\u5f62\u4e09\u8fb9a,b,c,\u534a\u5468\u957fp,\u5219S\uff1d \u221a[p(p - a)(p - b)(p - c)] \uff08\u6d77\u4f26\u516c\u5f0f\uff09\uff08p=(a+b+c)/2\uff09
\u548c\uff1a\uff08a+b+c)*(a+b-c)*1/4
\u5df2\u77e5\u4e09\u89d2\u5f62\u4e24\u8fb9a,b,\u8fd9\u4e24\u8fb9\u5939\u89d2C\uff0c\u5219S\uff1dabsinC/2
\u8bbe\u4e09\u89d2\u5f62\u4e09\u8fb9\u5206\u522b\u4e3aa\u3001b\u3001c\uff0c\u5185\u5207\u5706\u534a\u5f84\u4e3ar
\u5219\u4e09\u89d2\u5f62\u9762\u79ef=(a+b+c)r/2
\u8bbe\u4e09\u89d2\u5f62\u4e09\u8fb9\u5206\u522b\u4e3aa\u3001b\u3001c\uff0c\u5916\u63a5\u5706\u534a\u5f84\u4e3ar
\u5219\u4e09\u89d2\u5f62\u9762\u79ef=abc/4r
\u5df2\u77e5\u4e09\u89d2\u5f62\u4e09\u8fb9a\u3001b\u3001c,\u5219S\uff1d \u221a{1/4[c^2a^2-((c^2+a^2-b^2)/2)^2]} (\u201c\u4e09\u659c\u6c42\u79ef\u201d \u5357\u5b8b\u79e6\u4e5d\u97f6\uff09
| a b 1 |
S\u25b3=1/2 * | c d 1 |
| e f 1 |
\u3010| a b 1 |
| c d 1 | \u4e3a\u4e09\u9636\u884c\u5217\u5f0f,\u6b64\u4e09\u89d2\u5f62ABC\u5728\u5e73\u9762\u76f4\u89d2\u5750\u6807\u7cfb\u5185A(a,b),B(c,d), C(e,f),\u8fd9\u91ccABC
| e f 1 |
\u9009\u533a\u53d6\u6700\u597d\u6309\u9006\u65f6\u9488\u987a\u5e8f\u4ece\u53f3\u4e0a\u89d2\u5f00\u59cb\u53d6\uff0c\u56e0\u4e3a\u8fd9\u6837\u53d6\u5f97\u51fa\u7684\u7ed3\u679c\u4e00\u822c\u90fd\u4e3a\u6b63\u503c\uff0c\u5982\u679c\u4e0d\u6309\u8fd9\u4e2a\u89c4\u5219\u53d6\uff0c\u53ef\u80fd\u4f1a\u5f97\u5230\u8d1f\u503c\uff0c\u4f46\u4e0d\u8981\u7d27\uff0c\u53ea\u8981\u53d6\u7edd\u5bf9\u503c\u5c31\u53ef\u4ee5\u4e86\uff0c\u4e0d\u4f1a\u5f71\u54cd\u4e09\u89d2\u5f62\u9762\u79ef\u7684\u5927\u5c0f\uff01\u3011
\u79e6\u4e5d\u97f6\u4e09\u89d2\u5f62\u4e2d\u7ebf\u9762\u79ef\u516c\u5f0f:
S=\u221a[(Ma+Mb+Mc)*(Mb+Mc-Ma)*(Mc+Ma-Mb)*(Ma+Mb-Mc)]/3
\u5176\u4e2dMa,Mb,Mc\u4e3a\u4e09\u89d2\u5f62\u7684\u4e2d\u7ebf\u957f.
\u5e73\u884c\u56db\u8fb9\u5f62\u7684\u9762\u79ef=\u5e95\u00d7\u9ad8
\u68af\u5f62\u7684\u9762\u79ef=\uff08\u4e0a\u5e95+\u4e0b\u5e95\uff09\u00d7\u9ad8\u00f72
\u76f4\u5f84=\u534a\u5f84\u00d72 \u534a\u5f84=\u76f4\u5f84\u00f72
\u5706\u7684\u5468\u957f=\u5706\u5468\u7387\u00d7\u76f4\u5f84=
\u5706\u5468\u7387\u00d7\u534a\u5f84\u00d72
\u5706\u7684\u9762\u79ef=\u5706\u5468\u7387\u00d7\u534a\u5f84\u00d7\u534a\u5f84
\u957f\u65b9\u4f53\u7684\u8868\u9762\u79ef=
\uff08\u957f\u00d7\u5bbd+\u957f\u00d7\u9ad8\uff0b\u5bbd\u00d7\u9ad8\uff09\u00d72
\u957f\u65b9\u4f53\u7684\u4f53\u79ef =\u957f\u00d7\u5bbd\u00d7\u9ad8
\u6b63\u65b9\u4f53\u7684\u8868\u9762\u79ef=\u68f1\u957f\u00d7\u68f1\u957f\u00d76
\u6b63\u65b9\u4f53\u7684\u4f53\u79ef=\u68f1\u957f\u00d7\u68f1\u957f\u00d7\u68f1\u957f
\u5706\u67f1\u7684\u4fa7\u9762\u79ef=\u5e95\u9762\u5706\u7684\u5468\u957f\u00d7\u9ad8
\u5706\u67f1\u7684\u8868\u9762\u79ef=\u4e0a\u4e0b\u5e95\u9762\u9762\u79ef+\u4fa7\u9762\u79ef
\u5706\u67f1\u7684\u4f53\u79ef=\u5e95\u9762\u79ef\u00d7\u9ad8
\u5706\u9525\u7684\u4f53\u79ef=\u5e95\u9762\u79ef\u00d7\u9ad8\u00f73
\u957f\u65b9\u4f53\uff08\u6b63\u65b9\u4f53\u3001\u5706\u67f1\u4f53\uff09
\u7684\u4f53\u79ef=\u5e95\u9762\u79ef\u00d7\u9ad8
\u5e73\u9762\u56fe\u5f62
\u540d\u79f0 \u7b26\u53f7 \u5468\u957fC\u548c\u9762\u79efS
\u6b63\u65b9\u5f62 a\u2014\u8fb9\u957f C\uff1d4a
S\uff1da2
\u957f\u65b9\u5f62 a\u548cb\uff0d\u8fb9\u957f C\uff1d2(a+b)
S\uff1dab
\u4e09\u89d2\u5f62 a,b,c\uff0d\u4e09\u8fb9\u957f
h\uff0da\u8fb9\u4e0a\u7684\u9ad8
s\uff0d\u5468\u957f\u7684\u4e00\u534a
A,B,C\uff0d\u5185\u89d2
\u5176\u4e2ds\uff1d(a+b+c)/2 S\uff1dah/2
\uff1dab/2?sinC
\uff1d[s(s-a)(s-b)(s-c)]1/2
\uff1da2sinBsinC/(2sinA)
\u4e58\u6cd5\u4e0e\u56e0\u5f0f\u5206\u89e3
a^2-b^2=(a+b)(a-b)
a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)
a^3-b^3=(a-b(a^2+ab+b^2)
\u4e09\u89d2\u4e0d\u7b49\u5f0f |a+b|\u2264|a|+|b| |a-b|\u2264|a|+|b| |a|\u2264b-b\u2264a\u2264b
|a-b|\u2265|a|-|b| -|a|\u2264a\u2264|a|
\u4e00\u5143\u4e8c\u6b21\u65b9\u7a0b\u7684\u89e3 -b+\u221a(b^2-4ac)/2a -b-\u221a(b^2-4ac)/2a
\u6839\u4e0e\u7cfb\u6570\u7684\u5173\u7cfb X1+X2=-b/a X1*X2=c/a \u6ce8\uff1a\u97e6\u8fbe\u5b9a\u7406
\u5224\u522b\u5f0f
b^2-4ac=0 \u6ce8\uff1a\u65b9\u7a0b\u6709\u4e24\u4e2a\u76f8\u7b49\u7684\u5b9e\u6839
b^2-4ac>0 \u6ce8\uff1a\u65b9\u7a0b\u6709\u4e24\u4e2a\u4e0d\u7b49\u7684\u5b9e\u6839 �
b^2-4ac<0 \u6ce8\uff1a\u65b9\u7a0b\u6ca1\u6709\u5b9e\u6839\uff0c\u6709\u5171\u8f6d\u590d\u6570\u6839
\u4e09\u89d2\u51fd\u6570\u516c\u5f0f
\u4e24\u89d2\u548c\u516c\u5f0f
sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB
sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA �
cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB
cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB
tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)
tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)
cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA) �
cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA)
\u500d\u89d2\u516c\u5f0f
tan2A=2tanA/[1-(tanA)^2]
cos2a=(cosa)^2-(sina)^2=2(cosa)^2 -1=1-2(sina)^2
\u534a\u89d2\u516c\u5f0f
sin(A/2)=\u221a((1-cosA)/2) sin(A/2)=-\u221a((1-cosA)/2)
cos(A/2)=\u221a((1+cosA)/2) cos(A/2)=-\u221a((1+cosA)/2)
tan(A/2)=\u221a((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-\u221a((1-cosA)/((1+cosA))
cot(A/2)=\u221a((1+cosA)/((1-cosA)) cot(A/2)=-\u221a((1+cosA)/((1-cosA)) �
\u548c\u5dee\u5316\u79ef
2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)
2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B) )
2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B)
-2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)
sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2
cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)
tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB
\u67d0\u4e9b\u6570\u5217\u524dn\u9879\u548c
1+2+3+4+5+6+7+8+9+\u2026+n=n(n+1)/2
1+3+5+7+9+11+13+15+\u2026+(2n-1)=n2 \u001e
2+4+6+8+10+12+14+\u2026+(2n)=n(n+1) 5
1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+7^2+8^2+\u2026+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
1^3+2^3+3^3+4^3+5^3+6^3+\u2026n^3=n2(n+1)2/4
1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+\u2026+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3
\u6b63\u5f26\u5b9a\u7406 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R \u6ce8\uff1a \u5176\u4e2d R \u8868\u793a\u4e09\u89d2\u5f62\u7684\u5916\u63a5\u5706\u534a\u5f84
\u4f59\u5f26\u5b9a\u7406 b^2=a^2+c^2-2accosB \u6ce8\uff1a\u89d2B\u662f\u8fb9a\u548c\u8fb9c\u7684\u5939\u89d2
\u5706\u7684\u6807\u51c6\u65b9\u7a0b (x-a)^2+(y-b)^2=^r2 \u6ce8\uff1a\uff08a,b\uff09\u662f\u5706\u5fc3\u5750\u6807 \u001f
\u5706\u7684\u4e00\u822c\u65b9\u7a0b x^2+y^2+Dx+Ey+F=0 \u6ce8\uff1aD^2+E^2-4F>0
\u629b\u7269\u7ebf\u6807\u51c6\u65b9\u7a0b y^2=2px y^2=-2px x^2=2py x^2=-2py
\u76f4\u68f1\u67f1\u4fa7\u9762\u79ef S=c*h \u659c\u68f1\u67f1\u4fa7\u9762\u79ef S=c'*h
\u6b63\u68f1\u9525\u4fa7\u9762\u79ef S=1/2c*h' \u6b63\u68f1\u53f0\u4fa7\u9762\u79ef S=1/2(c+c')h'
\u5706\u53f0\u4fa7\u9762\u79ef S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l \u7403\u7684\u8868\u9762\u79ef S=4pi*r2
\u5706\u67f1\u4fa7\u9762\u79ef S=c*h=2pi*h \u5706\u9525\u4fa7\u9762\u79ef S=1/2*c*l=pi*r*l
\u5f27\u957f\u516c\u5f0f l=a*r a\u662f\u5706\u5fc3\u89d2\u7684\u5f27\u5ea6\u6570r >0 \u6247\u5f62\u9762\u79ef\u516c\u5f0f s=1/2*l*r
\u9525\u4f53\u4f53\u79ef\u516c\u5f0f V=1/3*S*H \u5706\u9525\u4f53\u4f53\u79ef\u516c\u5f0f V=1/3*pi*r2h �
\u659c\u68f1\u67f1\u4f53\u79ef V=S'L \u6ce8\uff1a\u5176\u4e2d,S'\u662f\u76f4\u622a\u9762\u9762\u79ef\uff0c L\u662f\u4fa7\u68f1\u957f
\u67f1\u4f53\u4f53\u79ef\u516c\u5f0f V=s*h \u5706\u67f1\u4f53 V=pi*r2h
\u5b9a\u7406:
1 \u8fc7\u4e24\u70b9\u6709\u4e14\u53ea\u6709\u4e00\u6761\u76f4\u7ebf
2 \u4e24\u70b9\u4e4b\u95f4\u7ebf\u6bb5\u6700\u77ed
3 \u540c\u89d2\u6216\u7b49\u89d2\u7684\u8865\u89d2\u76f8\u7b49
4 \u540c\u89d2\u6216\u7b49\u89d2\u7684\u4f59\u89d2\u76f8\u7b49
5 \u8fc7\u4e00\u70b9\u6709\u4e14\u53ea\u6709\u4e00\u6761\u76f4\u7ebf\u548c\u5df2\u77e5\u76f4\u7ebf\u5782\u76f4
6 \u76f4\u7ebf\u5916\u4e00\u70b9\u4e0e\u76f4\u7ebf\u4e0a\u5404\u70b9\u8fde\u63a5\u7684\u6240\u6709\u7ebf\u6bb5\u4e2d\uff0c\u5782\u7ebf\u6bb5\u6700\u77ed
7 \u5e73\u884c\u516c\u7406 \u7ecf\u8fc7\u76f4\u7ebf\u5916\u4e00\u70b9\uff0c\u6709\u4e14\u53ea\u6709\u4e00\u6761\u76f4\u7ebf\u4e0e\u8fd9\u6761\u76f4\u7ebf\u5e73\u884c
8 \u5982\u679c\u4e24\u6761\u76f4\u7ebf\u90fd\u548c\u7b2c\u4e09\u6761\u76f4\u7ebf\u5e73\u884c\uff0c\u8fd9\u4e24\u6761\u76f4\u7ebf\u4e5f\u4e92\u76f8\u5e73\u884c
9 \u540c\u4f4d\u89d2\u76f8\u7b49\uff0c\u4e24\u76f4\u7ebf\u5e73\u884c
10 \u5185\u9519\u89d2\u76f8\u7b49\uff0c\u4e24\u76f4\u7ebf\u5e73\u884c
11 \u540c\u65c1\u5185\u89d2\u4e92\u8865\uff0c\u4e24\u76f4\u7ebf\u5e73\u884c
12\u4e24\u76f4\u7ebf\u5e73\u884c\uff0c\u540c\u4f4d\u89d2\u76f8\u7b49
13 \u4e24\u76f4\u7ebf\u5e73\u884c\uff0c\u5185\u9519\u89d2\u76f8\u7b49
14 \u4e24\u76f4\u7ebf\u5e73\u884c\uff0c\u540c\u65c1\u5185\u89d2\u4e92\u8865
15 \u5b9a\u7406 \u4e09\u89d2\u5f62\u4e24\u8fb9\u7684\u548c\u5927\u4e8e\u7b2c\u4e09\u8fb9
16 \u63a8\u8bba \u4e09\u89d2\u5f62\u4e24\u8fb9\u7684\u5dee\u5c0f\u4e8e\u7b2c\u4e09\u8fb9
17 \u4e09\u89d2\u5f62\u5185\u89d2\u548c\u5b9a\u7406 \u4e09\u89d2\u5f62\u4e09\u4e2a\u5185\u89d2\u7684\u548c\u7b49\u4e8e180\u00b0
18 \u63a8\u8bba1 \u76f4\u89d2\u4e09\u89d2\u5f62\u7684\u4e24\u4e2a\u9510\u89d2\u4e92\u4f59
19 \u63a8\u8bba2 \u4e09\u89d2\u5f62\u7684\u4e00\u4e2a\u5916\u89d2\u7b49\u4e8e\u548c\u5b83\u4e0d\u76f8\u90bb\u7684\u4e24\u4e2a\u5185\u89d2\u7684\u548c
20 \u63a8\u8bba3 \u4e09\u89d2\u5f62\u7684\u4e00\u4e2a\u5916\u89d2\u5927\u4e8e\u4efb\u4f55\u4e00\u4e2a\u548c\u5b83\u4e0d\u76f8\u90bb\u7684\u5185\u89d2
21 \u5168\u7b49\u4e09\u89d2\u5f62\u7684\u5bf9\u5e94\u8fb9\u3001\u5bf9\u5e94\u89d2\u76f8\u7b49
22\u8fb9\u89d2\u8fb9\u516c\u7406(SAS) \u6709\u4e24\u8fb9\u548c\u5b83\u4eec\u7684\u5939\u89d2\u5bf9\u5e94\u76f8\u7b49\u7684\u4e24\u4e2a\u4e09\u89d2\u5f62\u5168\u7b49
一、 函数
1、 若集合A中有n 个元素,则集合A的所有不同的子集个数为 ,所有非空真子集的个数是 。
二次函数 的图象的对称轴方程是 ,顶点坐标是 。用待定系数法求二次函数的解析式时,解析式的设法有三种形式,即 , 和 (顶点式)。
2、 幂函数 ,当n为正奇数,m为正偶数,m<n时,其大致图象是
3、 函数 的大致图象是
由图象知,函数的值域是 ,单调递增区间是 ,单调递减区间是 。
二、 三角函数
1、 以角 的顶点为坐标原点,始边为x轴正半轴建立直角坐标系,在角 的终边上任取一个异于原点的点 ,点P到原点的距离记为 ,则sin = ,cos = ,tg = ,ctg = ,sec = ,csc = 。
2、同角三角函数的关系中,平方关系是: , , ;
倒数关系是: , , ;
相除关系是: , 。
3、诱导公式可用十个字概括为:奇变偶不变,符号看象限。如: , = , 。
4、 函数 的最大值是 ,最小值是 ,周期是 ,频率是 ,相位是 ,初相是 ;其图象的对称轴是直线 ,凡是该图象与直线 的交点都是该图象的对称中心。
5、 三角函数的单调区间:
的递增区间是 ,递减区间是 ; 的递增区间是 ,递减区间是 , 的递增区间是 , 的递减区间是 。
6、
7、二倍角公式是:sin2 =
cos2 = = =
tg2 = 。
8、三倍角公式是:sin3 = cos3 =
9、半角公式是:sin = cos =
tg = = = 。
10、升幂公式是: 。
11、降幂公式是: 。
12、万能公式:sin = cos = tg =
13、sin( )sin( )= ,
cos( )cos( )= = 。
14、 = ;
= ;
= 。
15、 = 。
16、sin180= 。
17、特殊角的三角函数值:
0
sin
0
1 0
cos
1
0
0
tg
0
1
不存在 0 不存在
ctg
不存在
1
0 不存在 0
18、正弦定理是(其中R表示三角形的外接圆半径):
19、由余弦定理第一形式, =
由余弦定理第二形式,cosB=
20、△ABC的面积用S表示,外接圆半径用R表示,内切圆半径用r表示,半周长用p表示则:
① ;② ;
③ ;④ ;
⑤ ;⑥
21、三角学中的射影定理:在△ABC 中, ,…
22、在△ABC 中, ,…
23、在△ABC 中:
24、积化和差公式:
① ,
② ,
③ ,
④ 。
25、和差化积公式:
① ,
② ,
③ ,
④ 。
三、 反三角函数
1、 的定义域是[-1,1],值域是 ,奇函数,增函数;
的定义域是[-1,1],值域是 ,非奇非偶,减函数;
的定义域是R,值域是 ,奇函数,增函数;
的定义域是R,值域是 ,非奇非偶,减函数。
2、当 ;
对任意的 ,有:
当 。
3、最简三角方程的解集:
四、 不等式
1、若n为正奇数,由 可推出 吗? ( 能 )
若n为正偶数呢? ( 均为非负数时才能)
2、同向不等式能相减,相除吗 (不能)
能相加吗? ( 能 )
能相乘吗? (能,但有条件)
3、两个正数的均值不等式是:
三个正数的均值不等式是:
n个正数的均值不等式是:
4、两个正数 的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系是
6、 双向不等式是:
左边在 时取得等号,右边在 时取得等号。
五、 数列
1、等差数列的通项公式是 ,前n项和公式是: = 。
2、等比数列的通项公式是 ,
前n项和公式是:
3、当等比数列 的公比q满足 <1时, =S= 。一般地,如果无穷数列 的前n项和的极限 存在,就把这个极限称为这个数列的各项和(或所有项的和),用S表示,即S= 。
4、若m、n、p、q∈N,且 ,那么:当数列 是等差数列时,有 ;当数列 是等比数列时,有 。
5、 等差数列 中,若Sn=10,S2n=30,则S3n=60;
6、等比数列 中,若Sn=10,S2n=30,则S3n=70;
六、 复数
1、 怎样计算?(先求n被4除所得的余数, )
2、 是1的两个虚立方根,并且:
3、 复数集内的三角形不等式是: ,其中左边在复数z1、z2对应的向量共线且反向(同向)时取等号,右边在复数z1、z2对应的向量共线且同向(反向)时取等号。
4、 棣莫佛定理是:
5、 若非零复数 ,则z的n次方根有n个,即:
它们在复平面内对应的点在分布上有什么特殊关系?
都位于圆心在原点,半径为 的圆上,并且把这个圆n等分。
6、 若 ,复数z1、z2对应的点分别是A、B,则△AOB(O为坐标原点)的面积是 。
7、 = 。
8、 复平面内复数z对应的点的几个基本轨迹:
① 轨迹为一条射线。
② 轨迹为一条射线。
③ 轨迹是一个圆。
④ 轨迹是一条直线。
⑤ 轨迹有三种可能情形:a)当 时,轨迹为椭圆;b)当 时,轨迹为一条线段;c)当 时,轨迹不存在。
⑥ 轨迹有三种可能情形:a)当 时,轨迹为双曲线;b) 当 时,轨迹为两条射线;c) 当 时,轨迹不存在。
七、 排列组合、二项式定理
1、 加法原理、乘法原理各适用于什么情形?有什么特点?
加法分类,类类独立;乘法分步,步步相关。
2、排列数公式是: = = ;
排列数与组合数的关系是:
组合数公式是: = = ;
组合数性质: = + =
= =
3、 二项式定理: 二项展开式的通项公式:
八、 解析几何
1、 沙尔公式:
2、 数轴上两点间距离公式:
3、 直角坐标平面内的两点间距离公式:
4、 若点P分有向线段 成定比λ,则λ=
5、 若点 ,点P分有向线段 成定比λ,则:λ= = ;
=
=
若 ,则△ABC的重心G的坐标是 。
6、求直线斜率的定义式为k= ,两点式为k= 。
7、直线方程的几种形式:
点斜式: , 斜截式:
两点式: , 截距式:
一般式:
经过两条直线 的交点的直线系方程是:
8、 直线 ,则从直线 到直线 的角θ满足:
直线 与 的夹角θ满足:
直线 ,则从直线 到直线 的角θ满足:
直线 与 的夹角θ满足:
9、 点 到直线 的距离:
10、两条平行直线 距离是
11、圆的标准方程是:
圆的一般方程是:
其中,半径是 ,圆心坐标是
思考:方程 在 和 时各表示怎样的图形?
12、若 ,则以线段AB为直径的圆的方程是
经过两个圆
,
的交点的圆系方程是:
经过直线 与圆 的交点的圆系方程是:
13、圆 为切点的切线方程是
一般地,曲线 为切点的切线方程是: 。例如,抛物线 的以点 为切点的切线方程是: ,即: 。
注意:这个结论只能用来做选择题或者填空题,若是做解答题,只能按照求切线方程的常规过程去做。
14、研究圆与直线的位置关系最常用的方法有两种,即:
①判别式法:Δ>0,=0,<0,等价于直线与圆相交、相切、相离;
②考查圆心到直线的距离与半径的大小关系:距离大于半径、等于半径、小于半径,等价于直线与圆相离、相切、相交。
15、抛物线标准方程的四种形式是:
16、抛物线 的焦点坐标是: ,准线方程是: 。
若点 是抛物线 上一点,则该点到抛物线的焦点的距离(称为焦半径)是: ,过该抛物线的焦点且垂直于抛物线对称轴的弦(称为通径)的长是: 。
17、椭圆标准方程的两种形式是: 和
。
18、椭圆 的焦点坐标是 ,准线方程是 ,离心率是 ,通径的长是 。其中 。
19、若点 是椭圆 上一点, 是其左、右焦点,则点P的焦半径的长是 和 。
20、双曲线标准方程的两种形式是: 和
。
21、双曲线 的焦点坐标是 ,准线方程是 ,离心率是 ,通径的长是 ,渐近线方程是 。其中 。
22、与双曲线 共渐近线的双曲线系方程是 。与双曲线 共焦点的双曲线系方程是 。
23、若直线 与圆锥曲线交于两点A(x1,y1),B(x2,y2),则弦长为 ;
若直线 与圆锥曲线交于两点A(x1,y1),B(x2,y2),则弦长为 。
24、圆锥曲线的焦参数p的几何意义是焦点到准线的距离,对于椭圆和双曲线都有: 。
25、平移坐标轴,使新坐标系的原点 在原坐标系下的坐标是(h,k),若点P在原坐标系下的坐标是 在新坐标系下的坐标是 ,则 = , = 。
九、 极坐标、参数方程
1、 经过点 的直线参数方程的一般形式是: 。
2、 若直线 经过点 ,则直线参数方程的标准形式是: 。其中点P对应的参数t的几何意义是:有向线段 的数量。
若点P1、P2、P是直线 上的点,它们在上述参数方程中对应的参数分别是 则: ;当点P分有向线段 时, ;当点P是线段P1P2的中点时, 。
3、圆心在点 ,半径为 的圆的参数方程是: 。
3、 若以直角坐标系的原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,点P的极坐标为 直角坐标为 ,则 , , 。
4、 经过极点,倾斜角为 的直线的极坐标方程是: ,
经过点 ,且垂直于极轴的直线的极坐标方程是: ,
经过点 且平行于极轴的直线的极坐标方程是: ,
经过点 且倾斜角为 的直线的极坐标方程是: 。
5、 圆心在极点,半径为r的圆的极坐标方程是 ;
圆心在点 的圆的极坐标方程是 ;
圆心在点 的圆的极坐标方程是 ;
圆心在点 ,半径为 的圆的极坐标方程是 。
6、 若点M 、N ,则 。
十、 立体几何
1、求二面角的射影公式是 ,其中各个符号的含义是: 是二面角的一个面内图形F的面积, 是图形F在二面角的另一个面内的射影, 是二面角的大小。
2、若直线 在平面 内的射影是直线 ,直线m是平面 内经过 的斜足的一条直线, 与 所成的角为 , 与m所成的角为 , 与m所成的角为θ,则这三个角之间的关系是 。
3、体积公式:
柱体: ,圆柱体: 。
斜棱柱体积: (其中, 是直截面面积, 是侧棱长);
锥体: ,圆锥体: 。
台体: , 圆台体:
球体: 。
4、 侧面积:
直棱柱侧面积: ,斜棱柱侧面积: ;
正棱锥侧面积: ,正棱台侧面积: ;
圆柱侧面积: ,圆锥侧面积: ,
圆台侧面积: ,球的表面积: 。
5、几个基本公式:
弧长公式: ( 是圆心角的弧度数, >0);
扇形面积公式: ;
圆锥侧面展开图(扇形)的圆心角公式: ;
圆台侧面展开图(扇环)的圆心角公式: 。
经过圆锥顶点的最大截面的面积为(圆锥的母线长为 ,轴截面顶角是θ):
十一、比例的几个性质
1、比例基本性质:
2、反比定理:
3、更比定理:
5、 合比定理;
6、 分比定理:
7、 合分比定理:
8、 分合比定理:
9、 等比定理:若 , ,则 。
十二、复合二次根式的化简
当 是一个完全平方数时,对形如 的根式使用上述公式化简比较方便。
高中数学常用公式及常用结论
1. 元素与集合的关系
, .
2.德摩根公式
.
3.包含关系
4.容斥原理
.
5.集合 的子集个数共有 个;真子集有 –1个;非空子集有 –1个;非空的真子集有 –2个.
6.二次函数的解析式的三种形式
(1)一般式 ;(2)顶点式 ;
(3)零点式 .
7.解连不等式 常有以下转化形式
.
8.方程 在 上有且只有一个实根,与 不等价,前者是后者的一个必要而不是充分条件.特别地, 方程 有且只有一个实根在 内,等价于 ,或 且 ,或 且 .
9.闭区间上的二次函数的最值
二次函数 在闭区间 上的最值只能在 处及区间的两端点处取得,具体如下:
(1)当a>0时,若 ,则 ;
, , .
(2)当a<0时,若 ,则 ,若 ,则 , .
10.一元二次方程的实根分布
依据:若 ,则方程 在区间 内至少有一个实根 .
设 ,则
(1)方程 在区间 内有根的充要条件为 或 ;
(2)方程 在区间 内有根的充要条件为 或 或 或 ;
(3)方程 在区间 内有根的充要条件为 或 .
11.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据
(1)在给定区间 的子区间 (形如 , , 不同)上含参数的二次不等式 ( 为参数)恒成立的充要条件是 .
(2)在给定区间 的子区间上含参数的二次不等式 ( 为参数)恒成立的充要条件是 .
(3) 恒成立的充要条件是 或 .
14.四种命题的相互关系
原命题 互逆 逆命题
若p则q 若q则p
互 互
互 为 为 互
否 否
逆 逆
否 否
否命题 逆否命题
若非p则非q 互逆 若非q则非p
15.充要条件
(1)充分条件:若 ,则 是 充分条件.
(2)必要条件:若 ,则 是 必要条件.
(3)充要条件:若 ,且 ,则 是 充要条件.
注:如果甲是乙的充分条件,则乙是甲的必要条件;反之亦然.
16.函数的单调性
(1)设 那么
上是增函数;
上是减函数.
(2)设函数 在某个区间内可导,如果 ,则 为增函数;如果 ,则 为减函数.
17.如果函数 和 都是减函数,则在公共定义域内,和函数 也是减函数; 如果函数 和 在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数 是增函数.
18.奇偶函数的图象特征
奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称;反过来,如果一个函数的图象关于原点对称,那么这个函数是奇函数;如果一个函数的图象关于y轴对称,那么这个函数是偶函数.
19.若函数 是偶函数,则 ;若函数 是偶函数,则 .
20.对于函数 ( ), 恒成立,则函数 的对称轴是函数 ;两个函数 与 的图象关于直线 对称.
21.若 ,则函数 的图象关于点 对称; 若 ,则函数 为周期为 的周期函数.
22.多项式函数 的奇偶性
多项式函数 是奇函数 的偶次项(即奇数项)的系数全为零.
多项式函数 是偶函数 的奇次项(即偶数项)的系数全为零.
23.函数 的图象的对称性
(1)函数 的图象关于直线 对称
.
(2)函数 的图象关于直线 对称
.
24.两个函数图象的对称性
(1)函数 与函数 的图象关于直线 (即 轴)对称.
(2)函数 与函数 的图象关于直线 对称.
(3)函数 和 的图象关于直线y=x对称.
25.若将函数 的图象右移 、上移 个单位,得到函数 的图象;若将曲线 的图象右移 、上移 个单位,得到曲线 的图象.
26.互为反函数的两个函数的关系
.
27.若函数 存在反函数,则其反函数为 ,并不是 ,而函数 是 的反函数.
28.几个常见的函数方程
(1)正比例函数 , .
(2)指数函数 , .
(3)对数函数 , .
(4)幂函数 , .
(5)余弦函数 ,正弦函数 , ,
.
29.几个函数方程的周期(约定a>0)
(1) ,则 的周期T=a;
(2) ,
或 ,
或 ,
或 ,则 的周期T=2a;
(3) ,则 的周期T=3a;
(4) 且 ,则 的周期T=4a;
(5)
,则 的周期T=5a;
(6) ,则 的周期T=6a.
30.分数指数幂
(1) ( ,且 ).(2) ( ,且 ).
31.根式的性质
(1) .(2)当 为奇数时, ;
当 为偶数时, .
32.有理指数幂的运算性质
(1 .(2) .
(3) .
注: 若a>0,p是一个无理数,则ap表示一个确定的实数.上述有理指数幂的运算性质,对于无理数指数幂都适用.
33.指数式与对数式的互化式
.
34.对数的换底公式
( ,且 , ,且 , ).
推论 ( ,且 , ,且 , , ).
35.对数的四则运算法则
若a>0,a≠1,M>0,N>0,则
(1) ;(2) ;
(3) .
36.设函数 ,记 .若 的定义域为 ,则 ,且 ;若 的值域为 ,则 ,且 .对于 的情形,需要单独检验.
37. 对数换底不等式及其推广
若 , , , ,则函数
(1)当 时,在 和 上 为增函数.
, (2)当 时,在 和 上 为减函数.
推论:设 , , ,且 ,则
(1) .
(2) .
38. 平均增长率的问题
如果原来产值的基础数为N,平均增长率为 ,则对于时间 的总产值 ,有 .
39.数列的同项公式与前n项的和的关系
( 数列 的前n项的和为 ).
40.等差数列的通项公式
;
其前n项和公式为
.
41.等比数列的通项公式
;
其前n项的和公式为
或 .
42.等比差数列 : 的通项公式为
;
其前n项和公式为
.
43.分期付款(按揭贷款)
每次还款 元(贷款 元, 次还清,每期利率为 ).
44.常见三角不等式
(1)若 ,则 .
(2) 若 ,则 .(3) .
45.同角三角函数的基本关系式
, = , .
46.正弦、余弦的诱导公式
47.和角与差角公式
; ; .
(平方正弦公式);
.
= (辅助角 所在象限由点 的象限决定, ).
48.二倍角公式
.
.
.
49. 三倍角公式
.
. .
50.三角函数的周期公式
函数 ,x∈R及函数 ,x∈R(A,ω, 为常数,且A≠0,ω>0)的周期 ;函数 , (A,ω, 为常数,且A≠0,ω>0)的周期 .
51.正弦定理
.
52.余弦定理
(1) ;(2) ; (2) .
53.面积定理
(1) ( 分别表示a、b、c边上的高).
(2) .
(3) .
54.三角形内角和定理
在△ABC中,有
.
55. 简单的三角方程的通解
.
.
.
特别地,有
.
. .
56.最简单的三角不等式及其解集
.
.
.
.
.
.
57.实数与向量的积的运算律
设λ、μ为实数,那么
(1) 结合律:λ(μa)=(λμ)a;(2)第一分配律:(λ+μ)a=λa+μa;
(3)第二分配律:λ(a+b)=λa+λb.
58.向量的数量积的运算律:
(1) a•b= b•a (交换律);
(2)( a)•b= (a•b)= a•b= a•( b);(3)(a+b)•c= a •c +b•c.
59.平面向量基本定理
如果e1、e 2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量,有且只有一对实数λ1、λ2,使得a=λ1e1+λ2e2.
不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.
60.向量平行的坐标表示
设a= ,b= ,且b 0,则a b(b 0) .
53. a与b的数量积(或内积) a•b=|a||b|cosθ.
61. a•b的几何意义
数量积a•b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积.
62.平面向量的坐标运算
(1)设a= ,b= ,则a+b= .
(2)设a= ,b= ,则a-b= .
(3)设A ,B ,则 .
(4)设a= ,则 a= .
(5)设a= ,b= ,则a•b= .
63.两向量的夹角公式
(a= ,b= ).
64.平面两点间的距离公式
=
(A ,B ).
65.向量的平行与垂直
设a= ,b= ,且b 0,则
A||b b=λa . a b(a 0) a•b=0 .
66.线段的定比分公式
设 , , 是线段 的分点, 是实数,且 ,则
( ).
67.三角形的重心坐标公式
△ABC三个顶点的坐标分别为 、 、 ,则△ABC的重心的坐标是 .
68.点的平移公式
.
注:图形F上的任意一点P(x,y)在平移后图形 上的对应点为 ,且 的坐标为 .
69.“按向量平移”的几个结论
(1)点 按向量a= 平移后得到点 .
(2) 函数 的图象 按向量a= 平移后得到图象 ,则 的函数解析式为 .
(3) 图象 按向量a= 平移后得到图象 ,若 的解析式 ,则 的函数解析式为 .
(4)曲线 : 按向量a= 平移后得到图象 ,则 的方程为 .
(5) 向量m= 按向量a= 平移后得到的向量仍然为m= .
70. 三角形五“心”向量形式的充要条件
设 为 所在平面上一点,角 所对边长分别为 ,则
(1) 为 的外心 .
(2) 为 的重心 .
(3) 为 的垂心 .
(4) 为 的内心 .
(5) 为 的 的旁心 .
71.常用不等式:
(1) (当且仅当a=b时取“=”号).
(2) (当且仅当a=b时取“=”号).
(3)
(4)柯西不等式
(5) .
72.极值定理
已知 都是正数,则有
(1)若积 是定值 ,则当 时和 有最小值 ;
(2)若和 是定值 ,则当 时积 有最大值 .
推广 已知 ,则有
(1)若积 是定值,则当 最大时, 最大;
当 最小时, 最小.
(2)若和 是定值,则当 最大时, 最小;
当 最小时, 最大.
73.一元二次不等式 ,如果 与 同号,则其解集在两根之外;如果 与 异号,则其解集在两根之间.简言之:同号两根之外,异号两根之间.
;
.
74.含有绝对值的不等式
当a> 0时,有
. 或 .
75.无理不等式
(1) .
(2) .
(3) .
76.指数不等式与对数不等式
(1)当 时,
;
.
(2)当 时,
;
77.斜率公式
( 、 ).
78.直线的五种方程
(1)点斜式 (直线 过点 ,且斜率为 ).
(2)斜截式 (b为直线 在y轴上的截距).
(3)两点式 ( )( 、 ( )).
(4)截距式 ( 分别为直线的横、纵截距, )
(5)一般式 (其中A、B不同时为0).
79.两条直线的平行和垂直
(1)若 ,
① ;
② .
(2)若 , ,且A1、A2、B1、B2都不为零,
① ;② ;
80.夹角公式
(1) .
( , , )
(2) .
( , , ).
直线 时,直线l1与l2的夹角是 .
81. 到 的角公式
(1) .
( , , )
(2) .
( , , ).
直线 时,直线l1到l2的角是 .
82.四种常用直线系方程
(1)定点直线系方程:经过定点 的直线系方程为 (除直线 ),其中 是待定的系数; 经过定点 的直线系方程为 ,其中 是待定的系数.
(2)共点直线系方程:经过两直线 , 的交点的直线系方程为 (除 ),其中λ是待定的系数.
(3)平行直线系方程:直线 中当斜率k一定而b变动时,表示平行直线系方程.与直线 平行的直线系方程是 ( ),λ是参变量.
(4)垂直直线系方程:与直线 (A≠0,B≠0)垂直的直线系方程是 ,λ是参变量.
83.点到直线的距离
(点 ,直线 : ).
84. 或 所表示的平面区域
设直线 ,则 或 所表示的平面区域是:
若 ,当 与 同号时,表示直线 的上方的区域;当 与 异号时,表示直线 的下方的区域.简言之,同号在上,异号在下.
若 ,当 与 同号时,表示直线 的右方的区域;当 与 异号时,表示直线 的左方的区域. 简言之,同号在右,异号在左.
85. 或 所表示的平面区域
设曲线 ( ),则
或 所表示的平面区域是:
所表示的平面区域上下两部分;
所表示的平面区域上下两部分.
86. 圆的四种方程
(1)圆的标准方程 .
(2)圆的一般方程 ( >0).
(3)圆的参数方程 .
(4)圆的直径式方程 (圆的直径的端点是 、 ).
87. 圆系方程
(1)过点 , 的圆系方程是
,其中 是直线 的方程,λ是待定的系数.
(2)过直线 : 与圆 : 的交点的圆系方程是 ,λ是待定的系数.
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