设fx在01上连续在01内可导,且fo=f1=0，f1/2=1，试证存在ξ，使fξ的导数=1 设fx在[0,1]上连续在(0,1)内可导且f（0）=f(1...
\u8bbefx\u572801\u4e0a\u8fde\u7eed\u572801\u5185\u53ef\u5bfc\u4e14\u6ee1\u8db3f1=2\u222b(0\u21921/2)xfxdx\u6c42\u8bc1\u5b58\u5728\u03be,f'\u03be=-f\u03be\u7531\u79ef\u5206\u4e2d\u503c\u5b9a\u7406\uff0c
\u5b58\u5728 \u03b7\u2208(0,1/2)\u4f7f\u5f97
> f(1) = 2\u222bxf(x)dx
> = 2 \u00b7 1/2 \u00b7 \u03b7f(\u03b7)
> = \u03b7f(\u03b7)
\u6784\u9020\u51fd\u6570 g(x) = xf(x)\uff0c
\u5219 g(x)\u5728[0,1]\u4e0a\u8fde\u7eed\u53ef\u5bfc\uff0c
\u7531 g(\u03b7) = g(1)\u53ef\u77e5\u5b58\u5728\u03be\u2208(\u03b7,1)\uff0c\u4f7f\u5f97g'(\u03be) = 0
\u5373 f(\u03be) + \u03bef'(\u03be) = 0
\u6784\u9020\u51fd\u6570F(x)=x²f(x)\uff0c\u5219F(x)\u5728[0,1]\u4e0a\u8fde\u7eed\uff0c\u5728(0,1)\u5185\u53ef\u5bfc\uff0cF(0)=F(1)=0\uff0c\u7531\u7f57\u5c14\u5b9a\u7406\uff0c\u5b58\u5728\u4e00\u70b9\u03be\u2208(0,1)\uff0c\u4f7fF'(\u03be)=0\u3002
F'(x)=2xf(x)+x²f'(x)\u3002
\u6240\u4ee5\uff0c2\u03bef(\u03be)+\u03be²f'(\u03be)=0\uff0c\u6240\u4ee52f(\u03be)+\u03bef'(\u03be)=0\u3002
构造函数F(x)=(1-x) * ∫0到x f(t)dt，则F(x)在0,1上连续，在0,1内可导，F(0)=F(1)=0，由罗尔中值定理，在0,1内至少存在一点ξ，使得F'ξ=0。
F'(x)=- ∫0到x f(t)dt+(1-x) * f(x)所以F'ξ=- ∫0到ξ f(t)dt+(1-ξ) * fξ=0，即∫0到ξf(x)dx=(1-ξ)fξ。
当函数y=f（x）的自变量x在一点x0上产生一个增量Δx时，函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限a如果存在，a即为在x0处的导数，记作f'（x0）或df（x0）/dx。
扩展资料：
不是所有的函数都有导数，一个函数也不一定在所有的点上都有导数。若某函数在某一点导数存在，则称其在这一点可导，否则称为不可导。然而，可导的函数一定连续；不连续的函数一定不可导。
如果函数y=f（x）在开区间内每一点都可导，就称函数f（x）在区间内可导。这时函数y=f（x）对于区间内的每一个确定的x值，都对应着一个确定的导数值，这就构成一个新的函数。
构造函数F(x)=(1-x) * ∫0到x f(t)dt，则F(x)在0,1上连续，在0,1内可导，F(0)=F(1)=0，由罗尔中值定理，在0,1内至少存在一点ξ，使得F'ξ=0。
F'(x)=- ∫0到x f(t)dt+(1-x) * f(x)所以F'ξ=- ∫0到ξ f(t)dt+(1-ξ) * fξ=0，即∫0到ξf(x)dx=(1-ξ)fξ。
当函数y=f（x）的自变量x在一点x0上产生一个增量Δx时，函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限a如果存在，a即为在x0处的导数，记作f'（x0）或df（x0）/dx。
主要特点
1、构造函数的命名必须和类名完全相同。在java中普通函数可以和构造函数同名，但是必须带有返回值。
2、构造函数的功能主要用于在类的对象创建时定义初始化的状态。它没有返回值，也不能用void来修饰。这就保证了它不仅什么也不用自动返回，而且根本不能有任何选择。
3、构造函数不能被直接调用，必须通过new运算符在创建对象时才会自动调用；而一般的方法是在程序执行到它的时候被调用的。
拉格朗日中值定理和零点存在定理
望采纳^_^
这个是罗尔定理中运用零点定理，另F(X)＝f(x)＋x,F(X)在0到1闭区间连续，开区间可导，则F(0)＝0，又因为F(1)＝负1,F(1/2)＝1/2，根据零点定理可知，存在一点ξ属于1/2到1，使得F(ξ)＝0，根据罗尔定理可知，存在ξ，使得F(ξ)＝0，则fξ的导数＝1
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