数学空间两条直线的公垂线怎么求？ 如何求两条空间之间的公垂线段?
\u7a7a\u95f4\u76f4\u7ebf\u65b9\u7a0b\uff0c\u6c42\u516c\u5782\u7ebf\uff0c\u6c42\u52a9\uff01L1 \u7684\u65b9\u5411\u5411\u91cf\u4e3a v1 =\uff084\uff0c-3\uff0c1\uff09\uff0cL2 \u7684\u65b9\u5411\u5411\u91cf\u4e3a v2 =\uff08-2\uff0c9\uff0c2\uff09\uff0c
\u56e0\u4e3a v1\u00d7v2 =\uff08-15\uff0c-10\uff0c30\uff09\uff0c\u6240\u4ee5 L1\u3001L2 \u7684\u516c\u5782\u7ebf\u7684\u65b9\u5411\u5411\u91cf\u53d6 v =\uff083\uff0c2\uff0c-6\uff09\uff0c
\u7531\u4e8e v1\u00d7v =\uff0816\uff0c27\uff0c17\uff09\uff0c\u4e14\u76f4\u7ebf L1 \u8fc7\u70b9\uff089\uff0c-2\uff0c0\uff09\uff0c
\u56e0\u6b64\u7531 L1 \u53ca\u516c\u5782\u7ebf\u786e\u5b9a\u7684\u5e73\u9762\u65b9\u7a0b\u4e3a 16(x-9)+27(y+2)+17(z-0) = 0 \uff1b
\u540c\u7406\uff0c\u7531\u4e8e v2\u00d7v =\uff08-58\uff0c-6\uff0c-31\uff09\uff0c\u4e14\u76f4\u7ebf L2 \u8fc7\u70b9\uff080\uff0c-7\uff0c2\uff09\uff0c
\u56e0\u6b64\u7531 L2 \u53ca\u516c\u5782\u7ebf\u786e\u5b9a\u7684\u5e73\u9762\u65b9\u7a0b\u4e3a -58(x-0)-6(y+7)-31(z-2) = 0 \uff0c
\u6240\u4ee5\u6240\u6c42\u516c\u5782\u7ebf\u7684\u65b9\u7a0b\u4e3a \uff5b16(x-9)+27(y+2)+17(z-0) = 0 \uff1b-58(x-0)-6(y+7)-31(z-2) = 0\uff08\u4e24\u884c\uff09\u3002
\u6216\u8005\uff0c\u5316\u7b80\u4e3a (x+5)/3 = (y-0)/2 = (z-10)/(-6) \u3002
\u4f5c\u56fe:\u627e\u548c\u8fd9\u4e24\u6761\u7ebf\u5e73\u884c\u7684\u5e73\u9762,\u4f5c\u8fd9\u4e2a\u5e73\u9762\u7684\u5782\u7ebf\u6bb5,\u628a\u5782\u7ebf\u6bb5\u5e73\u79fb\u5230\u548c\u4e24\u4e2a\u539f\u4e24\u76f4\u7ebf\u90fd\u76f8\u4ea4.
\u4ee3\u6570:\u8fd9\u4e24\u6761\u7ebf\u7684\u65b9\u5411\u5411\u91cf\u53c9\u4e58(\u9ad8\u4e2d\u6570\u5b66\u6216\u5927\u5b66\u7269\u7406,\u6570\u5b66),\u53c9\u4e58\u6240\u5f97\u5c31\u662f\u6240\u6c42\u7ebf\u7684\u65b9\u5411\u5411\u91cf,\u5e73\u79fb\u5230\u548c\u4e24\u4e2a\u539f\u4e24\u76f4\u7ebf\u90fd\u76f8\u4ea4\u5373\u53ef.
设m、n是两条异面直线，过m上一点P作直线a∥n，则m和a确定一个平面α。
过P作直线b⊥α，则b⊥m，b⊥a，且b和m确定一个平面β。
n和β相交，设这个交点为Q。
在平面β内，经过Q点作直线l⊥m，直线l就是m、n是两条异面直线的公垂线。
例:L1:(x-1)/2=(y-1)/(-1)=(z-1)/(-1).L2:(x-1)/1=(y-5)/(-3)=z/2
解:设二直线的公垂线与L1、L2交于A(2m+1,-m+1,-m+1)、B(n+1,-3n+5,2n)
向量BA=(2m-n,-m+3n-4,-m-2n+1)是公垂线的一个方向向量。
L1的方向向量是(2,-1,-1),L2的方向向量是(1,-3,2)
有2(2m-n)-(-m+3n-4)-(-m-2n+1)=0
即 2m-n+1=0 (1)
(2m-n)-3(-m+3n-4)+2(-m-2n+1)=0
即 3m-14n+14=0 (2)
由(1)(2) 解得 m=0 且 n=1
A(1,1,1),B(2,2,2),向量AB=(1,1,1)
所以 直线AB的公垂线方程是(x-1)/1=(y-1)/1=(z-1)/1
即x=y=z
拓展内容
公垂线
一条直线同时垂直于两条或两条以上线段或直线，这条直线就是被垂直的线段或直线的公垂线。然而，如同两条异面直线的公垂线夹在异面直线间的部分，这才被叫做公垂线段。
概念
例如线段a垂直于线段b，同时也垂直于线c，甚至更多的d、e、f……那么线段a就是线b、c的或者是d、e、f的公垂线。
引申含义
两条直线不在公垂线上经过同一点，这两条直线必不交叉。
两条直线经过公垂线上的同一点，这两条直线所在的平面，必定垂直于公垂线，并且这个平面必垂直于他们和公垂线组成的平面。
公垂线可以和被垂直的线段或者直线在一个平面内，也可以不在一个平面内。公垂线可以和被垂直对象交叉，也可以不交叉。
异面直线的公垂线
同时和两条异面直线垂直相交的直线，叫做异面直线的公垂线。两个交点之间的线段长度，叫做异面直线的距离。
资料来源：百度百科-公垂线
设m、n是两条异面直线，过m上一点P作直线a∥n，则m和a确定一个平面α。
过P作直线b⊥α，则b⊥m，b⊥a，且b和m确定一个平面β。
n和β相交，设这个交点为Q。
在平面β内，经过Q点作直线l⊥m，直线l就是m、n是两条异面直线的公垂线。
要求数学空间中两条直线的公垂线，需要确定两条直线的方向向量，并找到它们的交点。公垂线是与两条直线都垂直，并通过它们的交点的直线。
下面是求解公垂线的步骤：
1. 确定两条直线的方向向量：假设两条直线分别为L1和L2。为了求解公垂线，我们首先需要找到它们的方向向量。如果直线已经表示为参数方程的形式，那么直线的参数方程可以提供直线的方向向量。如果直线表示为一般方程的形式（即Ax + By + Cz + D = 0），我们可以从一般方程中提取出方向向量。对于一般方程形式的直线，方向向量可以选择与一般方程中的A、B和C的系数成比例的值。
2. 求解直线的交点：接下来，我们需要找到两条直线的交点。为了找到交点，我们可以解两条直线的参数方程或一般方程的方程组。如果直线表示为参数方程形式，我们可以将两个参数方程的方程组表示为一个关于参数的方程组，并解这个方程组以找到参数的值。如果直线表示为一般方程形式，我们可以将两个一般方程的方程组表示为一个关于x、y和z的方程组，并解这个方程组以找到x、y和z的值。
3. 构造公垂线：一旦找到两条直线的交点，我们可以使用该交点作为公垂线上的一点。此外，我们可以使用两条直线的方向向量的向量积作为公垂线的方向向量，因为向量积的结果是垂直于两个方向向量的向量。使用交点和方向向量，我们可以找到通过交点，并与两条直线都垂直的直线，即公垂线。
通过这些步骤，我们可以求解数学空间中两条直线的公垂线。公垂线的存在性取决于两条直线是否相交，如果两条直线平行或重合，则它们没有公垂线。
作图:找和这两条线平行的平面,作这个平面的垂线段,把垂线段平移到和两个原两直线都相交.
代数:这两条线的方向向量叉乘(高中数学或大学物理,数学),叉乘所得就是所求线的方向向量,平移到和两个原两直线都相交即可.
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