怎么求星形线的面积？
计算公式如下：
[r(t)]^2=[x(t)]^2+[y(t)]^2=a^2(cost)^6+a^2(sint)^6
=a^2[(cost)^2+(sint)^2][(cost)^4+(sint)^4-(cost)^2(sint)^2]
=a^2[1-3(cost)^2(sint)^2]
所以面积
S=(1/2)∫[r(t)]^2dt
=(1/2)∫(0->2π) a^2[1-3(cost)^2(sint)^2]dt
=5πa^2/8
拓展资料：
星形线是内摆线的一种。
星形线（astroid）或称为四尖瓣线（tetracuspid），是一个有四个尖点的内摆线，也属于超椭圆的一种。
其英文名称得名自希腊文的星星，星形线几乎和椭圆的渐屈线相同。
若让一个半径为1/4的圆在一个半径为1的圆内部，延著圆的圆周旋转，小圆圆周上的任一点形成的轨迹即为星形线。
参考资料：百度百科-星形线
绛旓細鏄熷舰绾鍏充簬x杞村拰y杞村绉扮殑锛屽鍥撅紝x=a(cost)^3锛寉=a(sint)^3 鍏朵腑a>0锛宼浠0鍙樺埌蟺/2姝ｅソ鏄畠鍦ㄧ涓璞￠檺閮ㄥ垎鐨勫浘鍍忥紝鎵浠ワ細S锛4鈭(0鈫抋)ydx锛4鈭(蟺/2鈫0) a(sint)^3 d[a(cost)^3]锛12a^2鈭(0鈫捪/2) (sint)^4(cost)^2 dt锛12a^2鈭(0鈫捪/2) [(sint)^4锛(sint...
绛旓細鐢ㄦ洸绾跨Н鍒姹傛槦褰㈢嚎鐨勯潰绉鐨勬柟娉曪細鏍规嵁绗簩绫绘洸绾跨Н鍒嗗拰鏍兼灄鍏紡 鎵姹傜殑闈㈢Н:S=鈭埆dxdy=鈭獿 xdy=鈭(0->2蟺) a(cost)^3d(a(sint)^3)=(3蟺a^2)/8 渚嬶細鍒╃敤鏇茬嚎绉垎姹傛槦褰㈢嚎x=acos^3t y=asin^3t鎵鍥存垚鐨勫浘褰㈤潰绉傜敱瀵圭О鎬,S锛4鈭(0鈫抋)ydx 锛4鈭(蟺/2鈫0) a(sint)^3 d...
绛旓細杩涗竴姝璁＄畻杩欎釜绉垎锛屾垜浠彲浠ョ湅鍒拌繖鏄竴涓笁瑙掑嚱鏁扮殑绉垎锛岃В寰楋細12a^2[3/4 * (1/2 * 蟺/2) - 5/6 * (3/4 * 1/2 * 蟺/2)] = (3蟺a^2)/8 鍥犳锛屾槦褰㈢嚎鐢卞绉版у洿鎴愮殑闈㈢НS绛変簬(3蟺a^2)/8銆傝繖涓粨鏋滆〃鏄庯紝鏄熷舰绾跨殑闈㈢Н涓庡崐寰刟鐨勫钩鏂规垚姝ｆ瘮锛屽苟涓斾笌蟺鏈夊叧锛屾槸涓涓叿浣撶殑...
绛旓細鐢卞绉版э紝S锛4鈭(0鈫抋)ydx 锛4鈭(蟺/2鈫0) a(sint)^3 d[a(cost)^3]锛12a^2鈭(0鈫捪/2) (sint)^4(cost)^2 dt 锛12a^2鈭(0鈫捪/2) [(sint)^4锛(sint)^6] dt 锛12a^2[3/4*1/2*蟺/2锛5/6*3/4*1/2*蟺/2]锛(3蟺a^2)/8 ...
绛旓細鍏蜂綋鍥炵瓟濡傚浘锛氱洿瑙掑潗鏍囨柟绋嬶細x^2/3+y^2/3=a^2/3鍙傛暟鏂圭▼锛歺=a*(cost)^3锛寉=a*(sint)^3锛坱涓哄弬鏁帮級瀹冩墍鍖呭洿鐨勯潰绉涓3蟺a^2/8銆傚畠涓巟杞村洿鎴愮殑鍖哄煙缁晉杞存棆杞屾垚鐨勬棆杞綋琛ㄩ潰绉负12蟺a^2/5銆備綋绉负32蟺a^3/105銆
绛旓細鍒嗘瀽濡備笅 1銆佸績褰㈢嚎鍥存垚鐨勫浘褰㈤潰绉紝璁＄畻鏂规硶濡備笅锛氬績褰㈢嚎鏋佸潗鏍囨柟绋嬩负蟻=a(1-sin胃)锛岄偅涔堟墍鍥存垚鐨勯潰绉涓猴細S=2x(1/2)鈭(-蟺/2->蟺/2) 蟻²(胃)d胃=鈭(-蟺/2->蟺/2) a²(1-sin胃)²d胃=3蟺a²/2 2銆佸績褰㈢嚎锛屾槸涓涓渾涓婄殑鍥哄畾涓鐐瑰湪瀹冪粫鐫涓庡叾鐩稿垏...
绛旓細杩欏氨鏄鏄熷舰绾銆傚叾闈㈢Н姹寰楀涓嬶細鐢卞绉版э紝S锛4鈭(0鈫抋)ydx 锛4鈭(蟺/2鈫0) a(sint)^3 d[a(cost)^3]锛12a^2鈭(0鈫捪/2) (sint)^4(cost)^2 dt 锛12a^2鈭(0鈫捪/2) [(sint)^4锛(sint)^6] dt 锛12a^2[3/4*1/2*蟺/2锛5/6*3/4*1/2*蟺/2]锛(3蟺a^2)/8 ...
绛旓細0鈫捪/2)(sint)^4脳(cost)^2dt 锛12a^2脳鈭(0鈫捪/2)[(sint)^4锛(sint)^6]dt 锛12a^2脳[3/4脳1/2脳蟺/2锛5/6脳3/4脳1/2脳蟺/2]锛(3蟺a^2)/8 鑻ヨ涓涓崐寰勪负1/4鐨勫渾鍦ㄤ竴涓崐寰勪负1鐨勫渾鍐呴儴锛屽欢钁楀渾鐨勫渾鍛ㄦ棆杞紝灏忓渾鍦嗗懆涓婄殑浠讳竴鐐瑰舰鎴愮殑杞ㄨ抗鍗充负鏄熷舰绾銆
绛旓細鏄熷舰绾夸笌x杞村洿鎴愮殑鍖哄煙缁晉杞存棆杞屾垚鐨勬棆杞綋琛闈㈢Н涓12蟺a2/5銆傝В锛氭湰棰樺埄鐢ㄤ簡鏄熷舰绾跨殑鎬ц川姹傝В銆傚洜涓烘槦褰㈢嚎鐨勭洿瑙掑潗鏍囨柟绋嬶細x2/3+y2/3=a2/3 鍏跺浐瀹氱殑鍙傛暟鏂圭▼锛歺=a*(cost)3,y=a*(sint)3 锛坱涓哄弬鏁帮級瀹冧笌x杞村洿鎴愮殑鍖哄煙缁晉杞存棆杞屾垚鐨勬棆杞綋琛ㄩ潰绉负12蟺a2/5銆
绛旓細闈㈢Н=绉垎锛堟洸绾縇锛墄dy锛宒y=3a(sin)^2costdt =绉垎锛堜粠0鍒2pi锛塧(cost)^3*3a*(sint)^2*costdt =3a^2*绉垎锛堜粠0鍒2pi锛(sint)^2*(cost)^4dt =3a^2*绉垎锛堜粠0鍒2pi锛(1--cos^2t)(cost)^4dt =12a^2*銆愮Н鍒嗭紙浠0鍒皃i/2锛(cost)^4dt--绉垎锛堜粠0鍒皃i/2锛(cost)^6dt...
