MIT 线性代数 22 对角化和A的幂,差分方程的线性代数解法
假设矩阵 有 个线性无关的特征向量 ,这些特征向量按列组成特征向量矩阵则
( 称为对角特征值矩阵)
也就是
我们可以写成如下形式
这就是矩阵 的对角化方法
或
其中我们把 这是一个新的矩阵分解方法,我们之前消元的时候有 分解,以及施密特正交化的 分解
如果我们尝试对 的幂次方做计算,比如A的平方
于是同理可得有
也就是 的这种特征值对角化分解方式对于求 的幂次计算非常方便
给定差分方程
这样的问题,当 可对角化时,即存在 个 不同的特征向量以及对应的特征值的情况下,即A是满秩的,也是可逆的
那么很显然可以把 用A的特征向量进行线性组合表示,
于是
其中 是矩阵 的特征向量
,其中 表示矩阵 的各个特征向量对应的特征值
于是我们得到
这里举了一个斐波那契数列的例子
众所周知,斐波那契数列排列方式是 ,
即有
参考前面的例子我们可以这么写
追加一个等式得到方程组
如果我们令向量
于是就会有
也就是
其中特征矩阵c
令
马上可以求出特征值是
其特征向量即 的零空间 有
由前面的推论我们知道,特征向量 和 ,进行线性组合能得到
所以
而A又是可对角化的矩阵,所以
我们注意到第二项 为负数,意味着平方后这一项 整体收敛到无穷小,这意味着 数组系列的取值基本上由 决定
因为
于是可以解出
,,
于是我们甚至求出了斐波那契数列的通项公式
我们只看下面的 的展开
这就是斐波那契数列的通项公式
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