在周长相等的平面图形中，面积最大的是哪个？ 在周长相等的平面图形中，面积最大的是（ ）A．长方形B．正...
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常用的平面图形为正方形、长方形、圆形。（1）先比较正方形和圆形：设周长为C，正方形边长为a，圆半径为r
①根据正方形周长公式C=4a，则正方形边长a=C/4
根据正方形面积公式S1=边长²，则正方形面积S1=（C/4）²=C²/16=0.0625C²
②根据圆周长公式C=2πr，则圆半径r=C/2π
根据圆面积公式S2=πr²，则圆面积为S2=π×（C/2π）²=C²/4π≈0.08C²
因为0.08C²＞0.0625C²
所以S2＞S1
即周长相等的圆和正方形，圆的面积大于正方形的面积。
（2）再比较正方形和长方形：设周长为C，正方形边长为a，长方形长为b、宽为c。
①根据正方形周长公式C=4a，则正方形边长a=C/4
根据正方形面积公式S1=边长²，则正方形面积S1=（C/4）²=C²/16
②根据长方形周长公式C=（b+c）×2，则b+c=C/2
根据长方形面积公式得S3=bc
因为a=C/4，所以a=C/2×1/2=（b+c）×1/2=（b+c）/2
则S1-S3
=a²-bc
=（b+c）²/4-bc
=（b+c）²/4-4bc/4
=【（b+c）²-4bc】/4
=（b²+2bc+c²-4bc）/4
=（b²-2bc+c²）/4
=（b-c）²/4
因为b≠c，所以（b-c）²＞0
则（b-c）²/4＞0
即S1-S3＞0
所以S1＞S3
所以周长相等的长方形和正方形，正方形的面积大于长方形的面积
（3）根据以上计算可得，S2＞S1＞S3，所以在周长相等的情况下，面积最大的图形为圆形。
当边长为一定值时，圆的面积是最大。
首先证明在边数相等的情况下正多边形的面积最大；然后证明边数越大面积越大，而圆则是可以看做边数为无穷多个的正多边形。
第一步，用具体数字来证明：假设三角形、正方形、圆在周长均为12 则由
1.三角形（拿等边三角形为例）：3X=12，则边长为4，高为2倍根号3，面积为4倍根号3
2.正方形：边长为3，面积为9
3.圆：2∏R=12，则R=∏分之6，则面积为=∏分之36
故：周长相等的情况下：圆面积>正方形面积>三角形面积
第二步，将正多边形像切蛋糕那样从中心点切成一片一片三角形，每一个三角形的面积等于边长乘以中心到边的距离除以2，于是整个多边形的面积等于周长乘以中心到边的距离除以2，周长一定时，中心到边的距离越长，面积越大。可证，边长越多时中心到边的距离越大，因为中心到边的距离为cot2PI/2N * C/2N，分别代入N和N'后相除比较大小即可，当边长趋于无穷时，中心到边的距离趋近于中心到顶点的距离，这时候面积是最大的。
楼主还可以参考：http://tieba.baidu.com/f?kz=171534470
面积最大的是——圆形
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