二重积分曲面面积例题
dz/dx=3,dz/dy=4y.所以,dS=√(1+(dz/dx)²+(dz/dy)²) dxdy=√(1+9+16y²) dxdy=√(10+16y²) dxdy
可以看出,dS与x无关,在三角形上积分x方向长度为2y,而且y的积分域是[0,1].
所以
S=∫ [0,1] 2y√(10+16y²)dy = 1/24 (10+16y²)^(3/2) | [0 1]=1/24 (26^(3/2)-10^(3/2)).
绛旓細鈭埆xydxdy=鈭玿dx鈭珁dy =鈭玿(x²/2-x^4/2)dx =鈭(x³/2-x^5/2)dx =(x^4/8-x^6/12)鈹 =1/8-1/12 =1/24
绛旓細杩欎釜鏄鏇查潰绉垎 鎶曞奖鍒皒oy闈 鍏堟眰鍑簔瀵箈鍜寉鐨勫亸瀵兼暟 dS锛濃垰[(z瀵箈鍋忓鏁)鐨勫钩鏂癸紜(z瀵箉鍋忓鏁)鐨勫钩鏂筣dxdy 杩囩▼濡備笅锛
绛旓細浜岄噸绉垎鐨勬ц川锛氫簩閲嶇Н鍒嗘槸浜屽厓鍑芥暟鍦ㄧ┖闂翠笂鐨勭Н鍒嗭紝鍚屽畾绉垎绫讳技锛屾槸鏌愮鐗瑰畾褰㈠紡鐨勫拰鐨勬瀬闄愩傛湰璐ㄦ槸姹傛洸椤舵煴浣撲綋绉傞噸绉垎鏈夌潃骞挎硾鐨勫簲鐢紝鍙互鐢ㄦ潵璁＄畻鏇查潰鐨闈㈢Н锛屽钩闈㈣杽鐗囬噸蹇冪瓑銆傚钩闈㈠尯鍩熺殑浜岄噸绉垎鍙互鎺ㄥ箍涓哄湪楂樼淮绌洪棿涓殑锛堟湁鍚戯級鏇查潰涓婅繘琛岀Н鍒嗭紝绉颁负鏇查潰绉垎銆傚悓鏃朵簩閲嶇Н鍒嗘湁鐫骞挎硾鐨勫簲鐢紝鍙互...
绛旓細鎴緱鐨鏇查潰S鐨勬柟绋嬫槸鍦嗛敟闈㈢殑鏂圭▼z=鈭歺x+yy锛屾埅寰楃殑鏇查潰S鍦▁oy闈㈢殑鎶曞奖鍖哄煙鏄疍锛歺x+yy銆2ax锛屽z=鈭歺x+yy杩愮敤鍏紡dS=鈭1+(Z ' x)^2 +(Z ' y)^2 dxdy寰楀埌鈽 鍒欏埄鐢ㄥ闈㈢Н鐨勬洸闈㈢Н鍒嗙殑璁＄畻鍏紡锛屽寲鎴浜岄噸绉垎璁＄畻锛屽緱鍒板師寮=鈭埆锛圖涓婏級 锛坸y+y鈭歺x+yy +x鈭歺x+yy锛* ...
绛旓細杩欓亾棰樿鐢浜岄噸绉垎鍋氾紝鏄釜鍗婃き鐞冿紝涔熸湁鐨勬暀鏉愬彨浠鏇查潰鍦嗘煴銆2*鈭埆(0锛2)(x鈭2锛媦鈭2)dxdy =2*鈭(0锛2)dx鈭(0锛2)(x鈭2锛媦鈭2)dy= 2*鈭(0锛2)((x鈭2*y锛媦鈭3/3)鈪(0锛2))dx =2*鈭(0锛2)(2x鈭2锛8/3)dx =2*(2/3*x鈭3锛8x/3)鈪(0锛2)=64/3銆傚嫆璐濇牸...
绛旓細鍖栦负浜屾绉垎銆傗埆鈭(x+y)dxdy锛濃埆(0锝1)dx鈭(1锝2) (x+y)dy锛濃埆(0锝1) (x锛3/2)dx 锛1/2锛3/2锛2 浜岄噸绉垎鏄簩鍏冨嚱鏁板湪绌洪棿涓婄殑绉垎锛屽悓瀹氱Н鍒嗙被浼硷紝鏄煇绉嶇壒瀹氬舰寮忕殑鍜岀殑鏋侀檺銆傛湰璐ㄦ槸姹傛洸椤舵煴浣撲綋绉傞噸绉垎鏈夌潃骞挎硾鐨勫簲鐢紝鍙互鐢ㄦ潵璁＄畻鏇查潰鐨闈㈢Н锛屽钩闈㈣杽鐗囬噸蹇冪瓑銆傚钩闈㈠尯鍩熺殑...
绛旓細鏂规硶濡備笅锛岃浣滃弬鑰冿細鑻ユ湁甯姪锛岃閲囩撼銆
绛旓細涓婄殑浜岄噸绉垎锛岃涓 锛屽嵆 銆傝繖鏃讹紝绉 鍦 涓婂彲绉紝鍏朵腑 绉拌绉嚱鏁帮紝绉颁负琚Н琛ㄨ揪寮忥紝绉颁负闈㈢Н鍏冪礌锛岀О涓虹Н鍒嗗尯鍩燂紝绉颁负浜岄噸绉垎鍙枫傚悓鏃朵簩閲嶇Н鍒嗘湁鐫骞挎硾鐨勫簲鐢紝鍙互鐢ㄦ潵璁＄畻鏇查潰鐨勯潰绉紝骞抽潰钖勭墖閲嶅績锛屽钩闈㈣杽鐗囪浆鍔ㄦ儻閲忥紝骞抽潰钖勭墖瀵硅川鐐圭殑寮曞姏绛夌瓑銆傛澶栦簩閲嶇Н鍒嗗湪瀹為檯鐢熸椿锛屾瘮濡傛棤绾跨數涓篃琚箍娉涘簲鐢...
绛旓細琚Н鍑芥暟涓湁 x² 锛屸垰x²+y²涔嬬被鐨勶紝绉垎鍖哄煙涓哄渾锛屾き鍦嗭紝鐞冿紝鐢ㄦ瀬鍧愭爣绠鍗
绛旓細鏇查潰闈㈢Н涓 鈭埆dS = 鈭埆鈭歔1+(z'x)²+(z'y)²]dxdy,绛夊彿鍚庨潰鏄浜岄噸绉垎,绉垎鍖哄煙鏄墍姹傛洸闈㈠湪骞抽潰xoy涓婄殑鎶曞奖 z=鈭(x²+y²)涓巟+2z=3鐨勪氦绾垮湪xoy涓婄殑鎶曞奖鏄(3-x)² = 4(x²+y²)鍗3(x+1)²+4y² = 12 瑙ｅ緱y = 鈭歔3...
