求助二次型的标准型和规范型的问题 线性代数（二次型化为规范型问题）如何解决？
\u5173\u4e8e\u4e8c\u6b21\u578b\u6807\u51c6\u578b\u548c\u89c4\u8303\u578b\u6c42\u4e8c\u6b21\u578b\u7684\u6807\u51c6\u5f62\u53ef\u901a\u8fc7:
1. \u914d\u65b9\u6cd5 (\u8fd9\u4e2a\u5e38\u7528), X=PY, P\u53ef\u9006
2. \u7279\u5f81\u503c\u7279\u5f81\u5411\u91cf\u6cd5 (\u8fd9\u79cd\u65b9\u6cd5\u6bd4\u8f83\u9ebb\u70e6. \u9664\u975e\u9898\u76ee\u8981\u6c42\u6b63\u4ea4\u53d8\u6362\u65f6\u7528\u6b64\u65b9\u6cd5), X=QY, Q\u662f\u6b63\u4ea4\u77e9\u9635
3. \u521d\u7b49\u884c\u5217\u53d8\u6362 (\u8fd9\u4e2a\u540c1\u662f\u53ef\u9006\u53d8\u6362)
\u82e5\u9898\u76ee\u53ea\u8981\u6c42\u51fa\u89c4\u8303\u578b, \u7528\u914d\u65b9\u6cd5\u6bd4\u8f83\u7b80\u5355.
\u53e6, \u89c4\u8303\u578b\u4e0d\u662f\u5bf9\u5e94\u77e9\u9635\u7684\u7b49\u4ef7\u6807\u51c6\u5f62, \u89c4\u8303\u578b\u4e2d\u67091\u548c-1.
\u4f8b: f= y1^2+3y2^2-5y3^2
\u4ee4 z1=y1,
z2=\u221a3y2,
z3=\u221a5y3.
\u5219 f = z1^2+z2^2 - z3^2.
1\u3001\u662f\u7684\uff0c\u4e00\u822c\u662f\u5148\u5316\u4e3a\u6807\u51c6\u578b\uff1b
\u5982\u679c\u9898\u76ee\u4e0d\u6307\u660e\u7528\u4ec0\u4e48\u53d8\u6362, \u4e00\u822c\u60c5\u51b5\u914d\u65b9\u6cd5\u6bd4\u8f83\u7b80\u5355\uff1b
\u82e5\u9898\u76ee\u6307\u660e\u7528\u6b63\u4ea4\u53d8\u6362, \u5c31\u53ea\u80fd\u901a\u8fc7\u7279\u5f81\u503c\u7279\u5f81\u5411\u91cf\u4e86\uff1b
2\u3001\u5df2\u77e5\u6807\u51c6\u5f62\u540e, \u5e73\u65b9\u9879\u7684\u7cfb\u6570\u7684\u6b63\u8d1f\u4e2a\u6570\u5373\u6b63\u8d1f\u60ef\u6027\u6307\u6570\uff1b
\u914d\u65b9\u6cd5\u5f97\u5230\u7684\u6807\u51c6\u5f62, \u7cfb\u6570\u4e0d\u4e00\u5b9a\u662f\u7279\u5f81\u503c\u3002
\u4f8b\u9898\u4e2d\u5e73\u65b9\u9879\u7684\u7cfb\u6570 -2,3,4, \u4e24\u6b63\u4e00\u8d1f, \u6545\u6b63\u8d1f\u60ef\u6027\u6307\u6570\u5206\u522b\u4e3a2, 1\uff1b
\u6240\u4ee5\u89c4\u8303\u578b\u4e2d\u5e73\u65b9\u9879\u7684\u7cfb\u6570\u4e3a 1,1,-1 (\u4e24\u6b63\u4e00\u8d1f)\u3002
3\u3001\u6709\u7684\u4e8c\u6b21\u578b\u53ef\u4ee5\u76f4\u63a5\u5316\u4e3a\u89c4\u8303\u5f62\uff0c\u53ef\u7701\u53bb\u5316\u6807\u51c6\u5f62\u7684\u8fc7\u7a0b\uff0c\u6bd4\u5982f(x,y,z)=5x^2+2xy+y^2-4z^2\uff0c\u914d\u65b94x^2+(x+y)^2-4z^2\u3002\u82e5\u4ee4u=x,v=x+y,w=z\uff0c\u5373x=u,y=u-v,z=w\uff0c\u5219f=4u^2+v^2-4w^2\uff0c\u8fd9\u662f\u6807\u51c6\u5f62\u3002\u5982\u679c\u4ee4u=2x,v=x+y,w=2z\uff0c\u5219\u76f4\u63a5\u5f97\u89c4\u8303\u5f62f=u^2+v^2-w^2\u3002
\u6269\u5c55\u8d44\u6599\uff1a
\u7ebf\u6027\u4ee3\u6570\u662f\u4ee3\u6570\u5b66\u7684\u4e00\u4e2a\u5206\u652f\uff0c\u4e3b\u8981\u5904\u7406\u7ebf\u6027\u5173\u7cfb\u95ee\u9898\u3002\u7ebf\u6027\u5173\u7cfb\u610f\u5373\u6570\u5b66\u5bf9\u8c61\u4e4b\u95f4\u7684\u5173\u7cfb\u662f\u4ee5\u4e00\u6b21\u5f62\u5f0f\u6765\u8868\u8fbe\u7684\u3002
\u4f8b\u5982\uff0c\u5728\u89e3\u6790\u51e0\u4f55\u91cc\uff0c\u5e73\u9762\u4e0a\u76f4\u7ebf\u7684\u65b9\u7a0b\u662f\u4e8c\u5143\u4e00\u6b21\u65b9\u7a0b\uff1b\u7a7a\u95f4\u5e73\u9762\u7684\u65b9\u7a0b\u662f\u4e09\u5143\u4e00\u6b21\u65b9\u7a0b\uff0c\u800c\u7a7a\u95f4\u76f4\u7ebf\u89c6\u4e3a\u4e24\u4e2a\u5e73\u9762\u76f8\u4ea4\uff0c\u7531\u4e24\u4e2a\u4e09\u5143\u4e00\u6b21\u65b9\u7a0b\u6240\u7ec4\u6210\u7684\u65b9\u7a0b\u7ec4\u6765\u8868\u793a\u3002
\u542b\u6709n\u4e2a\u672a\u77e5\u91cf\u7684\u4e00\u6b21\u65b9\u7a0b\u79f0\u4e3a\u7ebf\u6027\u65b9\u7a0b\u3002\u5173\u4e8e\u53d8\u91cf\u662f\u4e00\u6b21\u7684\u51fd\u6570\u79f0\u4e3a\u7ebf\u6027\u51fd\u6570\u3002\u7ebf\u6027\u5173\u7cfb\u95ee\u9898\u7b80\u79f0\u7ebf\u6027\u95ee\u9898\u3002\u89e3\u7ebf\u6027\u65b9\u7a0b\u7ec4\u7684\u95ee\u9898\u662f\u6700\u7b80\u5355\u7684\u7ebf\u6027\u95ee\u9898\u3002
\u53c2\u8003\u8d44\u6599\u6765\u6e90\uff1a\u767e\u5ea6\u767e\u79d1-\u7ebf\u6027\u4ee3\u6570
1 0 0
的时候，再另你的Z=CX 其中 C等于（ 0 0 1） 再对那个式子进行一次变换，你就会发现结果等
0 1 0
于x1的平方减去 x2的平方 加上x3的平方了，其实就是一个式子，这个是从你这个例子来说明，从理论上来证明就是，既然A和B合同，则必存在可逆矩阵C使得C转置AC=B 那么令X=CY就必能使得x转置Ax=y转置By。即通过坐标变换，两个合同的二次型必可以转化为同一个二次型（随意一个二次型，其中规范型就是一个特殊二次型）。所以，只要正负惯性指数一样，则合同，则规范型一样。
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