3 - BLUP的基本特性及求解方法

回顾上一次的一个OLS, GLS，SI, MME的发展示意图：

MME是Henderson将混合模型的转换得到

Henderson提出，其想法是结合OLS与SI，得到了MME。
过程：
首先我们知道：OLS解出的u往往比SI的大。
这样需要在求u时，除以一个更大的值，这是加入一个正矩阵Z‘Z，假设用D代表：

即对原来的解释器进行了惩罚
使用前面求公牛的女儿产奶量的平均值的例子：采用每个奶牛的女儿数进行了一定修改， 或其可以加上一个假设值D

第二个结论：

解释：u和y的协方差，在SI中是AZ’，直观来看，D 必须与 A -1 成正比，因为整个块 ZZ' + D 是倒置.
但是真正的证明以下公式，是20年后，由Searle教授完成（书籍 《Variance components》有详细证明）：

所以最佳线性无偏估计（β，固定效应）和最佳线性无偏预测（u,随机效应）是由以下组成：

Henderson对上述式子从新编写为：

其中 R = Var(e); G = Var(u), 并且认为已知。
相当于SI（β已知）：

会有多性状模型： 其有利于具有缺少值的样本加入， 也有利于多性状的相关性分析
一样的矩阵公式：

但是两者没有非常明确的区分

固定效应：各水平的平均值： E(y) = Xβ
随机效应：随机因子的方差协方差矩阵： Var(y) = ZGZ' + R

最佳线性无偏估计=BLUE（β，固定效应）和最佳线性无偏预测=BLUP（u,随机效应）

BLUE与BLUP的区别是由SI传承得到
但是：SI中只是BLP， 缺少u， 即不是无偏

可以采用不同方法得到：

(2) 再使用SI得到u：

每个u都有预测误差，对u的评价使用Acurracy or reliability有两种方法：

X与Z往往不是全矩阵（即，内部有很多0）
X i 和Z i 与 观察者i相关联，所以：

如一个固定模型：

需要分开写：

最后求和到一起：

Integration（微积分） R -1 ， R -1 是等于R对角线取倒数（如果没有协方差）

多性状时， X‘X等元素都Kronecker product（直积）R-1

对上述的拓展到MME，随机效应的最小二乘 (LS) 部分与固定效应相同,对C加入G -1 ：

进一步简化公式：

刚才看到建立MME是基于一个个记录数*性状

所以对大数据时，加速办法：

从历史来看，SI是非常成功，目前也在综合育种中使用
但是SI在估计单个性状EBV时，会出现偏差，因为其实基于已知的偏差经验求取，但是已知的偏差经验具有偏差。
从当时来看，同代群体的基因水平可能不同
SI在奶牛中称为： contemporary comparison（CC） 1950-1960使用在奶牛育种中，用于区分好和坏的公牛，并且很快获得了成功。

CC模型： y = Xt + Za + e

但是对于已经开始育种的牛，这个表型deviation（偏差）会随着时间累积，越来越难估计，甚至会出现有的估计不到。

这就需要我们对其进行修改 ：

第一种：偏差和 EBV 的联合计算，所以没有误差
第二种： modefied CC(MCC)，迭代计算:
(1) 从偏差处计算EBV
(2) 调整当代EBV的偏差
(3) return to (1)
(4) 直到结果稳定（即收敛），收敛的结果与BLUP的相同
怎么实现：
当计算t时，对y的部分进行校正：

迭代，直到收敛：

总图：

今天无意看到一个不错的文章，介绍BLUP，这里给出网址，可以查看
https://zhuanlan.zhihu.com/p/43395772

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