高中数学三角函数教案 高一三角函数教案
三角函数知识梳理§1.1任意角和弧度制
⎧正角:逆时针方向旋转
⎪
1. . 任意角⎨负角:顺时针防线旋转
⎪零角⎩
2. 象限角:在直角坐标系中,使角的顶点与原点重合,角的始边与x 轴的非负半轴重合,角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何象限。
3.. ①与α(0°≤α<360°)终边相同的角的集合:β|β=k ⨯360 +α, k ∈Z ②终边在x 轴上的角的集合: β|β=k ⨯180 , k ∈Z ③终边在y 轴上的角的集合:β|β=k ⨯180 +90 , k ∈Z ④终边在坐标轴上的角的集合:β|β=k ⨯90 , k ∈Z ⑤终边在y =x 轴上的角的集合:
{}
{}
{}
{}
{β|β=k ⨯180+45, k ∈Z }
⑥终边在y =-x 轴上的角的集合:β|β=k ⨯180 -45 , k ∈Z
⑦若角α与角β的终边关于x 轴对称,则角α与角β的关系:α=360k -β,k ∈Z ⑧若角α与角β的终边关于y 轴对称,则α与角β的关系:α=360 k +180 -β,k ∈Z ⑨若角α与角β的终边在一条直线上,则α与角β的关系:α=180k +β,k ∈Z ⑩角α与角β的终边互相垂直,则α与角β的关系:α=180k +β+90,k ∈Z 4. 弧度制:把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。360度=2π弧度。若圆心角所对
的弧长为l ,则其弧度数的绝对值|=
{}
l
, 其中r 是圆的半径。 r
180
5. 弧度与角度互换公式: 1rad =(180)°≈57.30° 1°=π
π
注意:正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的弧度数为零. 6.. 第一象限的角:⎨α|2k π
⎧⎩
π
⎫
+2k π, k ∈Z ⎬ 2⎭
o
锐角:⎨α|0
⎧
⎩
π⎫
2⎭
⎬ ; 小于90的角:⎨α|α
⎧⎩
π⎫
⎬(包括负角和零角) 2⎭
2
7. 弧长公式:l =|α|R 扇形面积公式:S =lR =|α|R
§1.2任意角的三角函数
1. 任意角的三角函数的定义:设α是任意一个角,P (x , y ) 是α的终边上
的任意一点(异于原点)
,它与原点的距离是r =
>0,那么
y x sin α=,cos α=
r r
2.. 三角函数线
y
tan α=, (x ≠0) ,
x
三角函数值只与角的大小有关,而与终边上点P
正弦线:MP; 余弦线:OM; 正切线:3. 三角函数在各象限的符号:
+ + - + - - - + α cos α tan α
4. 同角三角函数的基本关系式:
(1)平方关系:sin α+cos α=1,1+tan α=(2)商数关系:tan α=
2
2
2
1
cos 2α
sin α
(用于切化弦) cos α
※平方关系一般为隐含条件,直接运用。注意“1”的代换
§1.3三角函数的诱导公式
k π
±α形式,利用口诀:奇变偶不变,符号看象限) 1. 诱导公式(把角写成2
⎧sin(-x ) =-sin x ⎧sin(2k π+x ) =sin x ⎧sin(π+x ) =-sin x ⎪⎪⎪Ⅰ)⎨cos(2k π+x ) =cos x Ⅱ)⎨cos(-x ) =cos x Ⅲ) ⎨cos(π+x ) =-cos x ⎪tan(-x ) =-tan x ⎪tan(2k π+x ) =tan x ⎪tan(π+x ) =tan x ⎩⎩⎩
π⎧π⎧⎧sin(π-x ) =sin x sin(-α) =cos α+α) =cos α⎪⎪⎪⎪2⎪2Ⅳ)⎨cos(π-x ) =-cos x Ⅴ)⎨ Ⅵ)⎨
⎪tan(⎪cos(π-α) =sin α⎪π+α) =-sin απ-x ) =-tan x ⎩⎪⎪2⎩2⎩
§1.4三角函数的图像与性质
1. 周期函数定义:对于函数f (x ) ,如果存在一个不为零的常数T ,使得当x 取定义域内的每一个值时,f (x +T ) =f (x ) 都成立,那么就把函数f (x ) 叫做周期函数,不为零的常数T 叫做这个函数的周期。(并非所有函数都有最小正周期) ①
y =sin x 与y =cos x 的周期是π.
②
y =sin(ωx +ϕ) 或y =cos(ωx +ϕ) (ω≠0)的周期T
π
ω
=
2π
.
③y =A t an(ωx +ϕ) 的周期为T =
y =tan
x π
的周期为2π(T =⇒T =2π,如图)
2(1)几个物理量:A ―振幅;f =
1
―频率(周期的倒数);ωx +ϕ—相位;ϕ―初相;
T
(2)函数y =A sin(ωx +ϕ) 表达式的确定:A 期确定;ϕ由图象上的特殊点
确f (x ) =A sin(ωx +ϕ)(A >0, ω>0,|ϕ|
π
2
) 15π
f (x ) =_____(答:f (x ) =2sin(x +) );
23
(3)函数y =A sin(ωx +ϕ) 图象的画法:
①“五点法”――设X =ωx +ϕ,令X =0,
π
2
, π,
3π
, 2π求出相应的x 值,计算得出五2
点的坐标,描点后得出图象; ②图象变换法:这是作函数简图常用方法。
(4)函数y =A sin(ωx +ϕ) +k 的图象与y =sin x 图象间的关系:①函数y =sin x 的图象纵坐标不变,横坐标向左(ϕ>0)或向右(ϕ
1
ω
,得到函数
y =sin (ωx +ϕ)的图象;
③函数y =sin (ωx +ϕ)图象的横坐标不变,纵坐标变为原来的A 倍,得到函数
y =A sin(ωx +ϕ) 的图象;
④函数y =A sin(ωx +ϕ) 图象的横坐标不变,纵坐标向上(k >0)或向下(k
要特别注意,若由y =sin (ωx )得到y =sin (ωx +ϕ)的图象,则向左或向右平移应平移
|
ϕ
|个单位 ω
例:以y =sin x 变换到y =4sin(3x +π) 为例
3
y =sin x 向左平移
π
个单位 (左加右减)
π⎫⎛
y =s i n x + ⎪
3⎝⎭
横坐标变为原来的
1π⎫⎛
倍(纵坐标不变) y =sin 3x +⎪ 33⎭⎝
π⎫
纵坐标变为原来的4倍(横坐标不变) y =4sin ⎛3x + ⎪
3⎭⎝
1
y =sin x 横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)y =sin (3x )
向左平移
ππ⎫π⎫⎛⎛
个单位 (左加右减) y =sin 3 x +⎪=sin 3x +⎪ 9⎭3⎭⎝⎝
π⎫
纵坐标变为原来的4倍(横坐标不变)y =4sin ⎛3x + ⎪
3⎭⎝
注意:在变换中改变的始终是x 。
(5)函数性质(潜在换元思想):求对称中心、对称轴、单调区间的方法(特别注意先ω>0)
sin x cos x ”的内存联系――“知一求二” 9. 正余弦“三兄妹—sin x ±cos x 、
三角函数测试卷一
一、选择题:
1.若-
π
B .第二象限
C .第三象限
( )
D .第四象限
A .第一象限
2. “sin A =
1
2
”“A=30º”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件 3.已知∆ABC 中,三内角A .B .C 成等差数列,则sin B =
( A .
12
B
C
D
4.设角α的终边经过点P (3x ,-4x )(x <0),则sin α-cos α
的
A .
71
15
B .
1C .7或-75
5
5
D .5或-
5
5.sin 15
sin 30
sin 75
的值是( )、 A
B
11 C .8 D .4
6.已知sin x tan x
0 )
A .2cos x
B x C .2sin x D .-2sin x 7.在 ABC 中,已知a 2tan B =b 2tan A ,则该 ABC 的形状为( ) A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 正三角形
D. 等腰或直角三角形
8.下列函数中,以π为周期的偶函数是
( )
A .y =sin x
B .y =sin x
C .y =sin(2x +
π
3
) D .y =sin(x +
π
2
) 9
.函数y =x 2+cos x
2
的最小值和最小正周期是( ) A .2,2π B .-2,2π C .-2,π D .-2,4π 10.已知cos α=
13,α是锐角,cos(α+β) =-1
7
,则cos β=( ) A
.
1 B
.-1C
.
-1-1±2121 21 D
.21
11.已知cos x +sin x =
1
5
,0
)
(
A . -
43或-34 B .-34 C .-4
433
D .-3或4
12.在∆ABC 中,若a=4,
b=∠A =30 , 则∠B 等于
( )
A.120
B.120 或30 C.60 D.60 或120
二、填空题
13.若sin(α+300
) =
3
5
,α∈(900, 1800) ,则sin α= 14.已知圆锥高为4, 底面半径为3, 则它的侧面展开图的圆心角为15.已知sin α=
1παα
3,且0
2
=。 16.已知sin α=2cos α,则sin 2
α+2sin αcos α=________
17.已知在△ABC 中,A=60°,
BC AB =5
2
,则sin C = 18.s in α、cos α是方程4x 2
+26x+m=0的两根, 则m 的值为 三、解答题
19.(本题满分8分)已知函数f (x ) =2cos 2
x +2sin(π-x ) sin(π
2
+x )
(1)求f (x ) 的最小正周期;
(2)若x ∈R ,求当函数f (x ) 取得最大值时自变量x 的集合.
20.在⊿ABC 中,BC =a , AC =b , a 、b 是方
程x 2
-+2=0
的两个根,2cos (A +B )=1,求(1)角C 的度数 (2)AB 的长 (3) ⊿ABC 的面积
且
21.已知 ABC 中, 满足sin A :sinB :sinC =2:3:4. 试判断 ABC 是什么形状?
22.已知α为锐角,且点(cosα,sin α) 在曲线6x 2+y 2=5上。
(1)求cos 2α的值
π
(2)求tan(2α-) 的值
4
23.已知点A (3,0),B (0,3),C(cosα,sin α)
(1) 若AC ∙BC =-1,求sin2α的值;
(2)
若OA +OC =O 是原点,且α∈(0,π) ,求OB 与OC 的夹角。
24.(1)求函数y =sin (2x +θ)的周期;(2)若θ=(1)中的函数取得最大值、最小值?
π
⎡ππ⎤
,x 在⎢-, ⎥上取何值时,3⎣22⎦
⎛π⎫⎛π⎫
(3)求证:2sin +x ⎪cos -x ⎪cos θ+2cos 2x -1sin θ=sin (2x +θ)。
⎝2⎭⎝2⎭
()
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