初三竞赛：三角形中，最大角A=2倍的角C AC=8 AB=7 求BC长
\u521d\u4e09\u6570\u5b66 \u5728\u4e09\u89d2\u5f62ABC\u4e2d\uff0c\u89d2C=90\u5ea6\uff0cAC=8,BC=6.P\u662fAB\u8fb9\u4e0a\u7684\u4e00\u4e2a\u52a8\u70b9\uff08\u5f02\u4e8eA\u3001B\u4e24\u70b9),\u7b2c\u4e00\u9898\u5f88\u7b80\u5355
\u5f53x=5\u65f6\uff0c\u77e9\u5f62PMCN\u7684\u5468\u957f\u662f14
\u4e09\u89d2\u5f62ABC\u76f8\u4f3c\u4e8e\u4e09\u89d2\u5f62APM
AP/AB=MP/BC
X/10=MP/6
MP=3X/5
MC=7-3X/5
AM=AC-MC=8-(7-3X/5)=3X/5+1
AP^2=AM^2+MP^2
X^2=(3X/5+1)^2+(3X/5)^2
X^2=9X^2/25+6X/5+1+9X/25
X^2=18X^2/25+6X/5+1
7X^2/25-6X/5-1=0
7X^2-30X-25=0
(7X+5)(X-5)=0
X=5\u6216X=-5/7(\u820d\u53bb\uff09
\u7b2c\u4e8c\u9898\u5982\u56fe
1\u3001\u76f8\u7b49\u3002\u8bc1\u660e\u5982\u4e0b\uff1a
\u8bbeAB\u4e0e\u5706\u53e6\u4e00\u4ea4\u70b9\u4e3aH\uff0c\u8fdeDH\u3002
\u6613\u5f97\u2220DHF=\u2220A\uff0b\u2220ADH\uff0c\u2220DHF+\u2220DFH=90\u00b0\uff0c
\u53c8\u2235AD\u5207\u5706\uff0c\u2234\u2220ADH=\u2220DFH\uff0c\u53c8\u56e0\u2220A=45\u00b0\uff0c
\u53ef\u5f97\u2220DFH=22.5\u00b0\uff0c\u89d2BFG=22.5\u00b0\uff0c\u89d2BGF=\u2220ABC-\u89d2BFG=22.5\u00b0\uff0c
\u76f8\u7b49\u3002
2\u3001AB=6\u6839\u53f72\uff0cOB=3\u6839\u53f72\uff0cBG=FB=3\u6839\u53f72-3\uff0c
\u8fdeDE\u3001DB\uff0c\u77e5S\u25b3EDB=S\u25b3DEO\uff0c
\u5219S\u9634\u5f71=S\u6247\u5f62OBD+S\u25b3BGD=1/4*OE^2*pi+1/2*BG*CD=9/4*pi-9/2+9/2*\u6839\u53f72.
第一种方法:
由正弦定理得a/c=sinA/sinC=sin2C/sinC=2sinCcosC/sinC=2cosC(二倍角公式)
所以a=c*2cosC=14cosC>c=7,所以cosC>0.5
由余弦定理得b²+c²-2bc*cosA=a².其中cosA=cos2C=2cos²C-1(二倍角公式)
代入得8²+7²-2*8*7(2cos²C-1)=(14cosC)²,解得cos²C=15/28
因为cosC>0.5,所以cosC=根号(15/28)
所以BC=a=14cosC=根号105
第二种方法:
作角BAC的角平分线AD交BC于D.所以角BAD=角DAC=0.5角BAC
因为角BAC=2倍角C,所以角BAD=角DAC=角C,所以DA=DC
所以三角形BDA相似于三角形BAC,所以BA/BC=BD/BA=DA/AC
所以BA/BC=BD/BA=DC/AC
由等比性质知7/BC=BD/BA=DC/AC=(BD+DC)/(BA+AC)=BC/15
所以BC²=105,所以BC=根号105
绛旓細瑙ｏ細鍙紡b+c=8t,c+a=10t,a+b=12t.(t>0).涓夊紡鐩稿姞寰楋細a+b+c=15t.鏁卆=7t,b=5t,c=3t.鏁呪垹A鏈澶銆傜敱浣欏鸡瀹氱悊鐭ワ紝cos鈭A=(b²+c²-a²)/(2bc)=-1/2.===>鈭燗=120º.
绛旓細cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)=bc/2bc=1/2 鏁瑙扐=60搴︺俢osC=鏍瑰彿3/3锛屽垯鏈塻inC=鏍瑰彿锛1-1/3锛=鏍瑰彿锛2/3锛=鏍瑰彿6/3 姝ｅ鸡瀹氱悊寰楋細a/sinA=c/sinC c=asinC/sinA=鏍瑰彿3*锛堟牴鍙6/3锛/锛堟牴鍙3/2锛=2鏍瑰彿6/3
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绛旓細璁鏈澶ц涓篈 鍒欏叾浠栬涓 A-a A-b 鍥犱负鏄涓夎褰 鎵浠ュ唴瑙掑拰涓180 鎵浠 A+(A-a)+锛圓-b锛=180 3A-a-b=180 3A=180+锛坅+b锛A=60+ 锛坅+b)/3 鍥犱负鏈澶ц涓篈 鎵浠b鍧囦负澶т簬绛変簬0鐨勬暟 鎵浠ワ紙a+b)/3 蹇呭ぇ浜庣瓑浜0 鎵浠涓嶅皬浜60 ...
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