收敛是不是无穷小而发散是不是无穷大 如何判断一个数列是发散还是收敛？
\u65e0\u7a77\u5c0f\u6570\u5217\u4e3a\u4ec0\u4e48\u662f\u6536\u655b\u4e8e\u96f6\u800c\u4e0d\u662f\u53d1\u6563\u4e8e\u65e0\u7a77\u5c0f\u53ea\u6709\u53d1\u6563\u4e8e\u65e0\u7a77\u5927\uff0c\u6ca1\u6709\u53d1\u6563\u4e8e\u65e0\u7a77\u5c0f\u8fd9\u79cd\u8bf4\u6cd5\uff0c\u662f\u6536\u655b\u4e8e\u65e0\u7a77\u5c0f\uff0c\u76f8\u5f53\u4e8e0\u3002
\u770bn\u8d8b\u5411\u65e0\u7a77\u5927\u65f6\uff0cXn\u662f\u5426\u8d8b\u5411\u4e00\u4e2a\u5e38\u6570\uff0c\u5373\u53ef\u4ee5\u5224\u65ad\u6536\u655b\u8fd8\u662f\u53d1\u6563\u3002
\u53ef\u662f\u6709\u65f6Xn\u6bd4\u8f83\u590d\u6742\uff0c\u5e76\u4e0d\u597d\u89c2\u5bdf,\u52a0\u51cf\u7684\u65f6\u5019\uff0c\u628a\u9ad8\u9636\u7684\u65e0\u7a77\u5c0f\u76f4\u63a5\u820d\u53bb\u5982 1 + 1/n\uff0c\u75281\u6765\u4ee3\u66ff\u4e58\u9664\u7684\u65f6\u5019\uff0c\u7528\u6bd4\u8f83\u7b80\u5355\u7684\u7b49\u4ef7\u65e0\u7a77\u5c0f\u6765\u4ee3\u66ff\u539f\u6765\u590d\u6742\u7684\u65e0\u7a77\u5c0f\u3002
\u6536\u655b\u51fd\u6570\u4e00\u5b9a\u6709\u754c\uff0c\u4f46\u662f\u6709\u754c\u51fd\u6570\u4e0d\u4e00\u5b9a\u6536\u655b\uff0c\u5982f(x)\u5728x=0\u5904f(0)=2\uff0c\u5728\u5176\u4ed6x\u5904f(x)=1\uff0c\u90a3\u4e48f(x)\u5728x=0\u5904\u5c31\u4e0d\u662f\u6536\u655b\u7684\uff0c\u90a3\u4e48f(x)\u5c31\u4e0d\u662f\u6536\u655b\u51fd\u6570\uff0c\u4f46\u662ff(x)\u662f\u6709\u754c\u7684,\u56e0\u4e3a1\u2264f(x)\u22642\u3002
\u6269\u5c55\u8d44\u6599\u57fa\u672c\u516c\u5f0f\uff1a
1\u3001\u4e00\u822c\u6570\u5217\u7684\u901a\u9879an\u4e0e\u524dn\u9879\u548cSn\u7684\u5173\u7cfb\uff1aan=Sn-Sn-1\u3002
2\u3001\u7b49\u5dee\u6570\u5217\u7684\u901a\u9879\u516c\u5f0f\uff1aan=a1+(n-1)d an=ak+(n-k)d (\u5176\u4e2da1\u4e3a\u9996\u9879\u3001ak\u4e3a\u5df2\u77e5\u7684\u7b2ck\u9879) \u5f53d\u22600\u65f6\uff0can\u662f\u5173\u4e8en\u7684\u4e00\u6b21\u5f0f\uff1b\u5f53d=0\u65f6\uff0can\u662f\u4e00\u4e2a\u5e38\u6570\u3002
3\u3001\u7b49\u5dee\u6570\u5217\u7684\u524dn\u9879\u548c\u516c\u5f0f\uff1aSn=An^2+Bn Sn=na1+[n(n-1)]d/2 Sn=(a1+an)n/2\u3002
\u5f53d\u22600\u65f6\uff0cSn\u662f\u5173\u4e8en\u7684\u4e8c\u6b21\u5f0f\u4e14\u5e38\u6570\u9879\u4e3a0\uff1b\u5f53d=0\u65f6\uff08a1\u22600\uff09\uff0cSn=na1\u662f\u5173\u4e8en\u7684\u6b63\u6bd4\u4f8b\u5f0f\u3002
4\u3001\u7b49\u6bd4\u6570\u5217\u7684\u901a\u9879\u516c\u5f0f\uff1a an= a1 qn-1 an= ak qn-k (\u5176\u4e2da1\u4e3a\u9996\u9879\u3001ak\u4e3a\u5df2\u77e5\u7684\u7b2ck\u9879\uff0can\u22600)\u3002
5\u3001\u7b49\u6bd4\u6570\u5217\u7684\u524dn\u9879\u548c\u516c\u5f0f\uff1a\u5f53q=1\u65f6\uff0cSn=n a1 (\u662f\u5173\u4e8en\u7684\u6b63\u6bd4\u4f8b\u5f0f)\u3002
发散是说极限不存在，极限不存在有两种情况，一种是无穷大，一种就是极限不存在但也不是无穷大，比如正弦函数。
数列发散和数列收敛是相对的.收敛的意思是这样的：当数列an满足n→无穷,an→一定值.严格定义用到了ε-n语言,如果一个数列不满足这个条件,就是发散.用数学语言描述数列发散就是这样的：。
绛旓細鏀舵暃鍑芥暟灏辨槸瓒嬩簬鏃犵┓鐨勶紙鍖呮嫭鏃犵┓灏鎴栬呮棤绌峰ぇ锛夛紝璇ュ嚱鏁版绘槸閫艰繎浜庢煇涓涓硷紝杩欏氨鍙嚱鏁扮殑鏀舵暃鎬с備粠瀛楅潰鍙互鍚箟锛屽氨鍙悊瑙ｄ负锛屽嚱鏁扮殑鍊兼昏鏌愪釜鍊肩害鏉熺潃锛屽氨鏄敹鏁 鏀舵暃鍑芥暟鐨勬ц川锛氬嚱鏁鏀舵暃鏄鐢卞鍑芥暟鍦ㄦ煇鐐规敹鏁涘畾涔夊紩鐢冲嚭鏉ョ殑 鍑芥暟鍦ㄦ煇鐐规敹鏁涳紝鏄寚褰撹嚜鍙橀噺瓒嬪悜杩欎竴鐐规椂锛屽叾鍑芥暟鍊肩殑鏋侀檺灏辩瓑浜...
绛旓細楂樻暟鍑芥暟鏀舵暃鍜鍙戞暎鍒ゆ柇鏂规硶鏈夛細鏋侀檺鍒ゅ埆娉曘佹瘮杈冨垽鍒硶銆佹煰瑗挎敹鏁涘噯鍒欍佺憰鐐瑰垎鏋愩1銆佹瀬闄愬垽鍒硶锛氬浜庝竴涓嚱鏁癴(x)锛屽鏋滃瓨鍦ㄦ瀬闄恖im[x鈫掆垶] f(x)鎴杔im[x鈫抋] f(x)锛屽叾涓璦鍙互鏄湁闄愭暟銆佹棤绌峰ぇ鎴鏃犵┓灏锛屼笖鏋侀檺瀛樺湪涓旀湁闄愶紝鍒欏嚱鏁版敹鏁涳紱濡傛灉鏋侀檺涓嶅瓨鍦ㄦ垨涓烘棤绌峰ぇ锛屽垯鍑芥暟鍙戞暎銆2銆佹瘮杈冨垽鍒硶...
绛旓細鏀舵暃涓鍙戞暎鍒ゆ柇鏂规硶锛氬綋n鏃犵┓澶ф椂,鍒ゆ柇Xn鏄惁鏄甯告暟锛屾槸甯告暟鍒欐敹鏁涳紝鍔犲噺鐨勬椂鍊欙紝鎶婇珮闃剁殑鏃犵┓灏鐩存帴鑸嶅幓锛屼箻闄ょ殑鏃跺欙紝鐢ㄦ瘮杈冪畝鍗曠殑绛変环鏃犵┓灏忔潵浠ｆ浛鍘熸潵澶嶆潅鐨勬棤绌峰皬鏉ヤ唬銆1銆佽鏁板垪锝沊n}锛屽鏋滃瓨鍦ㄥ父鏁癮锛屽浜庝换鎰忕粰瀹氱殑姝ｆ暟q锛堟棤璁哄灏忥級锛屾诲瓨鍦ㄦ鏁存暟N锛屼娇寰梟>N鏃讹紝鎭掓湁锝淴n-a|...
绛旓細鏄鍙戞暎鐨 瑙ｉ杩囩▼濡備笅锛氱敱Leibniz鍒ゅ埆娉曪紝鍙煡绾ф暟鈭(-1)^n/鈭歯鏀舵暃 涓ょ骇鏁扮浉鍑忓彲寰楋細鈭(-1)^n路(1/鈭歯-1/(鈭歯+(-1)^n))= 鈭1/(鈭歯(鈭歯+(-1)^n))鈭 閫氶」涓1/n鏄瓑浠鏃犵┓灏 鈭存瘮杈冨垽鍒硶鐭ョ骇鏁板彂鏁 鈭粹垜(-1)^n/(鈭歯+(-1)^n))浣滀负涓涓敹鏁涚骇鏁颁笌涓涓彂鏁ｇ骇鏁颁箣宸槸...
绛旓細鍒ゆ柇鏀舵暃鍜鍙戞暎鏂规硶濡備笅锛氬綋n鏃犵┓澶ф椂锛屽垽鏂璛n鏄惁鏄甯告暟锛屾槸甯告暟鍒欐敹鏁涳紝鍔犲噺鐨勬椂鍊欙紝鎶婇珮闃剁殑鏃犵┓灏鐩存帴鑸嶅幓锛屼箻闄ょ殑鏃跺欙紝鐢ㄦ瘮杈冪畝鍗曠殑绛変环鏃犵┓灏忔潵浠ｆ浛鍘熸潵澶嶆潅鐨勬棤绌峰皬鏉ヤ唬銆傝鏁板垪{Xn}锛屽鏋滃瓨鍦ㄥ父鏁癮锛屽浜庝换鎰忕粰瀹氱殑姝ｆ暟q锛堟棤璁哄灏忥級锛屾诲瓨鍦ㄦ鏁存暟N锛屼娇寰梟>N鏃讹紝鎭掓湁|Xn-a|...
绛旓細姝ｇ‘锛鏀舵暃鍑芥暟灏辨槸瓒嬩簬鏃犵┓鐨勶紙鍖呮嫭鏃犵┓灏鎴栬呮棤绌峰ぇ锛夛紝璇ュ嚱鏁版绘槸閫艰繎浜庢煇涓涓硷紝杩欏氨鍙嚱鏁扮殑鏀舵暃鎬с備粠瀛楅潰鍙互鍚箟锛屽氨鍙悊瑙ｄ负锛屽嚱鏁扮殑鍊兼昏鏌愪釜鍊肩害鏉熺潃锛屽氨鏄敹鏁涳紝鎵浠ユ敹鏁涘繀瀹氭湁鐣岋紝浣嗘槸涓嶄竴瀹氫笂涓嬬晫閮芥湁銆傛暟鍒楁敹鏁涗笌鏈夌晫鎬х殑鍏崇郴锛氭暟鍒楁敹鏁涘垯鏁板垪蹇呯劧鏈夌晫锛屼絾鏄弽杩囨潵涓嶄竴瀹氭垚绔嬨傚鏋滄暟鍒...
绛旓細濡傛灉鎵句笉鍒板疄鏁癮锛岄偅涔堝氨鏄鍙戞暎鐨勩2銆鏀舵暃锛氫竴涓棤绌锋暟鍒楁敹鏁涘氨鏄暟鍒楅」鏁板緢澶ф椂锛岃椤圭殑鍊艰繕鏄竴涓湁闄愬硷紝瀹冨彲琚湀鍦ㄤ竴涓湁闄愰暱鐨勫尯闂淬傚 1 + 1/n,鐢1鏉ヤ唬鏇匡紝涔橀櫎鐨勬椂鍊,鐢ㄦ瘮杈冪畝鍗曠殑绛変环鏃犵┓灏鏉ヤ唬鏇垮師鏉ュ鏉傜殑鏃犵┓灏忔潵锛涘 1/n * sin(1/n) 鐢1/n^2 鏉ヤ唬鏇裤
绛旓細鏀舵暃鍑芥暟涓瀹氭湁鐣屻傛敹鏁涘嚱鏁板氨鏄秼浜庢棤绌风殑锛堝寘鎷鏃犵┓灏鎴栬呮棤绌峰ぇ锛夛紝璇ュ嚱鏁版绘槸閫艰繎浜庢煇涓涓硷紝杩欏氨鍙嚱鏁扮殑鏀舵暃鎬с備粠瀛楅潰鍙互鍚箟锛屽氨鍙悊瑙ｄ负锛屽嚱鏁扮殑鍊兼昏鏌愪釜鍊肩害鏉熺潃锛屽氨鏄敹鏁涳紝鎵浠ユ敹鏁涘繀瀹氭湁鐣岋紝浣嗘槸涓嶄竴瀹氫笂涓嬬晫閮芥湁銆倅=1/x鏀舵暃锛屽畠鍦ㄦ棤绌锋椂涓0锛屾墍浠ユ湁涓婄晫銆傛敞鎰忎簨椤癸細瀵逛簬姣忎竴涓...
绛旓細鏁板垪鏄惁鏀舵暃鎴栬鍙戞暎锛1銆佽鏁板垪{Xn}锛屽鏋滃瓨鍦ㄥ父鏁帮紝瀵逛簬浠绘剰缁欏畾鐨勬鏁皅锛堟棤璁哄灏忥級锛屾诲瓨鍦ㄦ鏁存暟N锛屼娇寰梟>N鏃讹紝鎭掓湁|Xn-a|
绛旓細鍏充簬鏁板垪鍙戞暎鏄浠涔堟剰鎬濈殑鍥炵瓟濡備笅锛氭暟鍒楀彂鏁ｆ槸鎸囦竴缁勬暟瀛椾互鏃犻檺澧為暱鎴栨棤闄愬噺灏戠殑瓒嬪娍鍙樺寲锛屾渶缁鏀舵暃浜庢煇涓鏃犵┓澶х殑鏁板笺傚鏋滀竴涓暟鍒椾笉鏀舵暃浜庢煇涓硷紝鑰屾槸浠ユ棤闄愬闀挎垨鏃犻檺鍑忓皯锛屽垯绉板叾涓哄彂鏁ｆф暟鍒椼
