求lim （tanx-sinx）/x³ （x→0） 高数题 lim（x趋于0）（tanx-sinx)/x^3的极...

lim tanx-x/x-sinx x\u21920

\u5177\u4f53\u56de\u7b54\u5982\u56fe\uff1a

\u67d0\u4e00\u4e2a\u51fd\u6570\u4e2d\u7684\u67d0\u4e00\u4e2a\u53d8\u91cf\uff0c\u6b64\u53d8\u91cf\u5728\u53d8\u5927\uff08\u6216\u8005\u53d8\u5c0f\uff09\u7684\u6c38\u8fdc\u53d8\u5316\u7684\u8fc7\u7a0b\u4e2d\uff0c\u9010\u6e10\u5411\u67d0\u4e00\u4e2a\u786e\u5b9a\u7684\u6570\u503cA\u4e0d\u65ad\u5730\u903c\u8fd1\u800c\u201c\u6c38\u8fdc\u4e0d\u80fd\u591f\u91cd\u5408\u5230A\u201d\uff08\u201c\u6c38\u8fdc\u4e0d\u80fd\u591f\u7b49\u4e8eA\uff0c\u4f46\u662f\u53d6\u7b49\u4e8eA\u2018\u5df2\u7ecf\u8db3\u591f\u53d6\u5f97\u9ad8\u7cbe\u5ea6\u8ba1\u7b97\u7ed3\u679c\uff09\u7684\u8fc7\u7a0b\u4e2d\u3002
\u6b64\u53d8\u91cf\u7684\u53d8\u5316\uff0c\u88ab\u4eba\u4e3a\u89c4\u5b9a\u4e3a\u201c\u6c38\u8fdc\u9760\u8fd1\u800c\u4e0d\u505c\u6b62\u201d\u3001\u5176\u6709\u4e00\u4e2a\u201c\u4e0d\u65ad\u5730\u6781\u4e3a\u9760\u8fd1A\u70b9\u7684\u8d8b\u52bf\u201d\u3002\u6781\u9650\u662f\u4e00\u79cd\u201c\u53d8\u5316\u72b6\u6001\u201d\u7684\u63cf\u8ff0\u3002\u6b64\u53d8\u91cf\u6c38\u8fdc\u8d8b\u8fd1\u7684\u503cA\u53eb\u505a\u201c\u6781\u9650\u503c\u201d\uff08\u5f53\u7136\u4e5f\u53ef\u4ee5\u7528\u5176\u4ed6\u7b26\u53f7\u8868\u793a\uff09\u3002
\u6269\u5c55\u8d44\u6599\uff1a
N\u968f\u03b5\u7684\u53d8\u5c0f\u800c\u53d8\u5927\uff0c\u56e0\u6b64\u5e38\u628aN\u5199\u4f5cN(\u03b5)\uff0c\u4ee5\u5f3a\u8c03N\u5bf9\u03b5\u7684\u53d8\u5316\u800c\u53d8\u5316\u7684\u4f9d\u8d56\u6027\u3002\u4f46\u8fd9\u5e76\u4e0d\u610f\u5473\u7740N\u662f\u7531\u03b5\u552f\u4e00\u786e\u5b9a\u7684\uff1a\uff08\u6bd4\u5982\u82e5n>N\u4f7f|xn-a|N+1\u3001n>2N\u7b49\u4e5f\u4f7f|xn-a|<\u03b5\u6210\u7acb\uff09\u3002\u91cd\u8981\u7684\u662fN\u7684\u5b58\u5728\u6027\uff0c\u800c\u4e0d\u5728\u4e8e\u5176\u503c\u7684\u5927\u5c0f\u3002
xn\u2192x\uff0c\u5c31\u662f\u6307\uff1a\u201c\u5982\u679c\u5bf9\u4efb\u4f55\u03b5>0\uff0c\u603b\u5b58\u5728\u81ea\u7136\u6570N\uff0c\u4f7f\u5f97\u5f53n>N\u65f6\uff0c\u4e0d\u7b49\u5f0f|xn-x|<\u03b5\u6052\u6210\u7acb\u201d\u3002
\u5982\u679c\u4e24\u4e2a\u6570\u5217{xn} \uff0c{yn} \u90fd\u6536\u655b\uff0c\u90a3\u4e48\u6570\u5217{xn+yn}\u4e5f\u6536\u655b\uff0c\u800c\u4e14\u5b83\u7684\u6781\u9650\u7b49\u4e8e{xn} \u7684\u6781\u9650\u548c{yn} \u7684\u6781\u9650\u7684\u548c\u3002
\u4e0e\u5b50\u5217\u7684\u5173\u7cfb\uff1a\u6570\u5217{xn} \u4e0e\u5b83\u7684\u4efb\u4e00\u5e73\u51e1\u5b50\u5217\u540c\u4e3a\u6536\u655b\u6216\u53d1\u6563\uff0c\u4e14\u5728\u6536\u655b\u65f6\u6709\u76f8\u540c\u7684\u6781\u9650\uff1b\u6570\u5217{xn} \u6536\u655b\u7684\u5145\u8981\u6761\u4ef6\u662f\uff1a\u6570\u5217{xn} \u7684\u4efb\u4f55\u975e\u5e73\u51e1\u5b50\u5217\u90fd\u6536\u655b\u3002
\u53c2\u8003\u8d44\u6599\u6765\u6e90\uff1a\u767e\u5ea6\u767e\u79d1\u2014\u2014\u6781\u9650

LIM(X\u8d8b\u54110\uff09tanx-sinx/x3\u6b21\u65b9=lim(x->0)tanx(1-cosx)/x³=lim(x->0)(x\u00b7x²/2)/x³=1/2

上式可变为lim【sin x*(cos x-1)】/x3；
又因为 sin x~x,(cos x-1)~1/2 X2
所以答案为1/2.
你的解答是步骤2错了，步骤1得出的式子不符合洛必达法则条件，当x趋近于0时，分子不趋近于0，不能像你那样再用罗比达法则

0/0型 分子分母同时分别求导
=lim(sinx/x)*lim(secx-1)/x^2
=1*lim(secxtanx)/2x

=1*lim(sinx/2x*cos^2x)
=lim(1/2cos^2x)
=1/2

　　用洛比达法则：
　 　lim(x→0)(tanx-sinx)/x³ (0/0)
　　= lim(x→0)[(secx)^2-cosx]/3x^2
　　= lim(x→0)[1-(cosx)^3]]/[3(x^2)(cosx)^2] （化简）

　　= lim(x→0){[1+cosx+(cosx)^2]/[3(cosx)^2]}{(1-cosx)/x^2}

　　= (3/3)(1/2)
　　= 1/2。
　　还可用Taylor公式，……

扩展阅读：sin x-y ... sinnπ x ... arctansinx ... sin α π ... cosαcosβ sinαsinβ ... tanx t sin2x ... limx趋近于0tanx-sinx ... sinx<x<tanx适用范围 ... sin诱导公式表 ...