设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)= e的-y次方，0<x<y 0, 其他 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)= e的-y...
\u6025\u6025\u6025\uff01\u8bbe\u4e8c\u7ef4\u968f\u673a\u53d8\u91cf(X,Y)\u7684\u8054\u5408\u6982\u7387\u5bc6\u5ea6\u4e3af(x,y)={e\u7684-y\u6b21\u65b9 \uff0c0<x<y { 0,\u5176\u4ed6(1)
Z=X+Y
F(z)=P(Z<z)=P(X+Y<z)=\u222b(0,z/2)\u222b(x,z-x) f(x,y) dydx
=-2e^(-z/2)+1+e^(-z)
fz(z)=F'(z)=e^(-z/2)-e^(-z)
(2)
fX|Y(x|y)=f(x,y)/fY(y)
Y\u7684\u8fb9\u7f18\u5bc6\u5ea6\u662ffY(y)=\u222b(0,y) e^(-y)dx=ye^(-y)
\u6240\u4ee5fX|Y(x|y)=1/y
(3)
P{X>3|Y3 Y<5)/P(Y<5)
P(X>3 Y<5)=\u222b(3,5)\u222b(x,5) e^(-y)dydx=e^(-3)-3e^(-5)
P(Y<5)=\u222b(0,5) ye^(-y)dy=1-6e^(-5)
\u6240\u4ee5P{X>3|Y<5)=(e^2-3)/(e^5-6)
(4)
(2)\u5df2\u6c42\u51fafX|Y(x|y)=1/y
\u6240\u4ee5fX|5(x|5)=1/5
P{X>3\ufe31Y=5}=\u222b(3,5) 1/5dx=2/5
1\uff0c\u6c42\u968f\u673a\u53d8\u91cfX\u7684\u5bc6\u5ea6fX(x),\u8fb9\u6cbf\u5206\u5e03\uff0c\u79ef\u5206\u4e0d\u597d\u5199\uff0c\u7ed3\u679c\u662f
fX(x)={e^(-y)
0<x<y
{0
\u5176\u4ed6
2.\u6982\u7387\u5bc6\u5ea6\u51fd\u6570f(x,y)\u5728\u76f4\u7ebfx=0,y=x,y=-x+1\u6240\u56f4\u7684\u4e09\u89d2\u5f62\u533a\u57df\u7684\u4e8c\u91cd\u79ef\u5206\uff0c\u7ed3\u679c\u662f1+e^(-1)-2e^(-1/2)
3.\u6761\u4ef6\u5206\u5e03\uff0c\u5e94\u8be5\u5199\u6210
fX(x|Y=y)\u800c\u975ef\u03be(x|\u03b7=y)\uff0c\u8868\u793aY=y\u7684\u6761\u4ef6\u5206\u5e03\uff0c\u6309\u9898\u76ee\u610f\u601d\uff0c\u6b64\u5904y\u7406\u89e3\u4e3a\u67d0\u4e00\u5e38\u6570\uff0c\u5219
fX(x|Y=y)=f(x,y)/fY(y)=e^(-y)/ye^(-y)=1/y
fY(y)=ye^(-y)\u968f\u673a\u53d8\u91cfY\u7684\u8fb9\u6cbf\u5206\u5e03
4.\u6761\u4ef6\u6982\u7387\uff0c\u4f3c\u5e94\u5199\u6210P\uff08X<2|Y<1)\uff0c\u4e5f\u662f\u79ef\u5206\u8ba1\u7b97
P\uff08X<2|Y<1)\uff0c=P{X<2,Y<1}/P(Y<1)
P{X<2,Y<1}\u4e3af(x,y)\u5728\u76f4\u7ebfx=2,y=1,y=x\u6240\u56f4\u533a\u57df\u79ef\u5206\uff0cP(Y<1)\u4e3af(x,y)\u5728\u76f4\u7ebfy=x,y=1\u6240\u56f4\u533a\u57df\u79ef\u5206\uff0c\u5728\u672c\u9898\u60c5\u51b5\uff0c\u4e24\u4e2a\u533a\u57df\u7684\u6709\u6548\u90e8\u5206\uff08\u5373\u4e0d\u4e3a\u96f6\u90e8\u5206\uff09\u6070\u597d\u76f8\u7b49\uff0c\u6545\u79ef\u5206\u503c\u4e3a1\u3002\u6982\u7387\u610f\u4e49\u662f\uff0c\u968f\u673a\u70b9\u5206\u5e03\u533a\u57df\u4e3a0<x<y\uff0c\u6709Y<1\uff0c\u5219\u5fc5\u6709X<2\u77e3\u3002
1、求随机变量X的密度fX(x)，边沿分布
fX(x)={e^(-y)；0<x<y；{0
2、概率密度函数f(x,y)在直线x=0,y=x,y=-x+1所围的三角形区域的二重度积分，结果是1+e^(-1)-2e^(-1/2)
3、条件分布，应该写成 fX(x|Y=y)而非fξ(x|η=y)，表示Y=y的条件分布，按题目意思，此处y理解为某一常数，则fX(x|Y=y)=f(x,y)/fY(y)=e^(-y)/ye^(-y)=1/y；fY(y)=ye^(-y)随机变量Y的边沿分布。
4、条件概率，似应写成P（X<2|Y<1)，也是积分计算：P（X<2|Y<1)，=P{X<2,Y<1}/P(Y<1)
P{X<2,Y<1}为f(x,y)在直权线x=2,y=1,y=x所围区域积分，P(Y<1)为f(x,y)在直线y=x,y=1所围区域积分，在本题情况，两个区域的有效部分（即不为零部分）恰好相等，故积分值为1。概率意义是，随机点分布区域为0<x<y，有Y<1，则必有X<2矣。
例如：
∵P(X>2丨Y<4)=P(X>2,Y<4)/P(Y<4)，内∴分别求出P(X>2,Y<4)、P(Y<4)即可得。
而，P(X>2,Y<4)=∫(2,4)dy∫(2,y)f(x,y)dx=∫(2,4)(y-2)e^(-y)dy=-(y-1)e^(-y)丨(y=2,4)=e^(-2)-3e^(-4)。
对P(Y<4)，先求出Y的边缘分布容的密度函数，由定义，fY(y)=∫(0,y)f(x,y)dx=ye^(-y)，y>0、fY(y)=0,y为其它。∴P(Y<4)=∫(0,4)fY(y)dy=∫(0,4)ye^(-y)dy=-(y+1)e^(-y)丨(y=0,4)=1-5e^(-4)。
∴P(X>2丨Y<4)=P(X>2,Y<4)/P(Y<4)=[e^(-2)-3e^(-4)]/[1-5e^(-4)]。
扩展资料：
二维随机变量( X,Y)的性质不仅与X 、Y 有关，而且还依赖于这两个随机变量的相互关系。因此，逐个地来研究X或Y的性质是不够的，还需将（X，Y）作为一个整体来研究。
一般，设E是一个随机试验，它的样本空间是S={e}，设X=X（e）和Y=Y(e)S是定义在S上的随机变量，由它们构成的一个向量（X，Y），叫做二维随机变量或二维随机向量。
有一个班（即样本空间）体检指标是身高和体重，从中任取一人（即样本点），一旦取定,都有唯一的身高和体重（即二维平面上的一个点）与之对应，这就构造了一个二维随机变量。由于抽样是随机的,相应的身高和体重也是随机的,所以要研究其对应的分布。
参考资料来源：百度百科-二维随机变量
1，求随机变量X的密度fX(x),边沿分布，积分不好写，结果是
fX(x)={e^(-y)
0<x<y
{0
其他
2.概率密度函数f(x,y)在直线x=0,y=x,y=-x+1所围的三角形区域的二重积分，结果是1+e^(-1)-2e^(-1/2)
3.条件分布，应该写成 fX(x|Y=y)而非fξ(x|η=y)，表示Y=y的条件分布，按题目意思，此处y理解为某一常数，则
fX(x|Y=y)=f(x,y)/fY(y)=e^(-y)/ye^(-y)=1/y
fY(y)=ye^(-y)随机变量Y的边沿分布
4.条件概率，似应写成P（X<2|Y<1)，也是积分计算
P（X<2|Y<1)，=P{X<2,Y<1}/P(Y<1)
P{X<2,Y<1}为f(x,y)在直线x=2,y=1,y=x所围区域积分，P(Y<1)为f(x,y)在直线y=x,y=1所围区域积分，在本题情况，两个区域的有效部分（即不为零部分）恰好相等，故积分值为1。概率意义是，随机点分布区域为0<x<y，有Y<1，则必有X<2矣。
1.f(X,Y)关于X的边缘概率密度fX(x)=f(x,y)对y积分，下限x，上限无穷，结果fX(x)=e^(-x)
2.f(X,Y)关于Y的边缘概率密度fY(y)=f(x,y)对x积分，下限0，上限y，结果fY(y)=ye^(-y)
3.f(x,y)=e^(-y)不等于fX(x)*fY(y),故X和Y不独立
4。概率密度函数f(x,y)在直线x=0,y=x,y=-x+1所围的三角形区域的二重积分，结果是1+e^(-1)-2e^(-1/2）
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绛旓細P(Z=0)=P(x=0,y=0)=0.25 P(Z=1)=P(x=0,y=1)+P(x=1,y=0)=0.1+0.15=0.25 P(Z=2)=P(x=0,y=2)+P(x=1,y=1)=0.3+0.15=0.45 P(Z=3)=P(x=1,y=2)=0.05
