离散数学中的集合论里的关系有几种？怎么判定？ 离散数学中的集合论里的关系有几种？怎么判定
\u79bb\u6563\u6570\u5b66\u4e2d\u7684\u96c6\u5408\u8bba\u91cc\u7684\u5173\u7cfb\u6709\u51e0\u79cd\uff1f\u600e\u4e48\u5224\u5b9a\uff1f1\uff0c\u81ea\u53cd\uff1aR\u4e3aA\u4e0a\u7684\u4e8c\u5143\u5173\u7cfb\uff0c\u82e5
\u5bf9\u4e8e\u4efb\u610f\u7684x\uff0cx\u5c5e\u4e8e\u96c6\u5408A\u2192\u2208R\uff0c\u5219\u79f0R\u5728A\u4e0a\u662f\u81ea\u53cd\u7684
2\uff1b\u5bf9\u79f0\uff1a\u3000\u6570\u5b66\u4e0a\uff0c\u82e5\u5bf9\u6240\u6709\u7684
a
\u548c
b
\u5c5e\u4e8e
X\uff0c\u4e0b\u8ff0\u8bed\u53e5\u4fdd\u6301\u6709\u6548\uff0c\u5219\u96c6\u5408
X
\u4e0a\u7684\u4e8c\u5143\u5173\u7cfb
R
\u662f\u5bf9\u79f0\u7684\uff1a\u300c\u82e5
a
\u5173\u7cfb\u5230
b\uff0c\u5219
b
\u5173\u7cfb\u5230
a\u3002\u300d
\u3000\u3000\u6570\u5b66\u4e0a\u8868\u793a\u4e3a\uff1a
\forall
a,
b
\in
X,\
a
R
b
\Rightarrow
\;
b
R
a
\u3000\u3000\u4f8b\u5982\uff1a\u201c\u548c\u2026\u2026\u7ed3\u5a5a\u201d\u662f\u5bf9\u79f0\u5173\u7cfb\uff1b\u201c\u5c0f\u4e8e\u201d\u4e0d\u662f\u5bf9\u79f0\u5173\u7cfb\u3002
\u3000\u3000\u5bf9\u79f0\u5173\u7cfb\u4e0d\u662f\u53cd\u5bf9\u79f0\u5173\u7cfb\uff08aRb
\u4e14
bRa
\u5f97\u5230
b
=
a\uff09\u7684\u53cd\u4e49\u3002\u6709\u4e9b\u5173\u7cfb\u65e2\u662f\u5bf9\u79f0\u7684\u53c8\u662f\u53cd\u5bf9\u79f0\u7684\uff0c\u6bd4\u5982"\u7b49\u4e8e"\uff1b\u6709\u4e9b\u5173\u7cfb\u65e2\u4e0d\u662f\u5bf9\u79f0\u7684\u4e5f\u4e0d\u662f\u53cd\u5bf9\u79f0\u7684\uff0c\u6bd4\u5982\u6574\u6570\u7684"\u6574\u9664"\uff1b\u6709\u4e9b\u5173\u7cfb\u662f\u5bf9\u79f0\u7684\u4f46\u4e0d\u662f\u53cd\u5bf9\u79f0\u7684\uff0c\u6bd4\u5982"\u6a21
n
\u540c\u4f59"\uff1b\u6709\u4e9b\u5173\u7cfb\u4e0d\u662f\u5bf9\u79f0\u7684\u4f46\u662f\u53cd\u5bf9\u79f0\u7684\uff0c\u6bd4\u5982"\u5c0f\u4e8e"\u3002
3\u4f20\u9012\uff1a\u3000\u5728\u903b\u8f91\u5b66\u548c\u6570\u5b66\u4e2d\uff0c\u82e5\u5bf9\u6240\u6709\u7684
a\uff0cb\uff0cc
\u5c5e\u4e8e
X\uff0c\u4e0b\u8ff0\u8bed\u53e5\u4fdd\u6301\u6709\u6548\uff0c\u5219\u96c6\u5408
X
\u4e0a\u7684\u4e8c\u5143\u5173\u7cfb
R
\u662f\u4f20\u9012\u7684\uff1a\u300c\u82e5a
\u5173\u7cfb\u5230
b
\u4e14
b
\u5173\u7cfb\u5230
c\uff0c
\u5219
a
\u5173\u7cfb\u5230
c\u3002\u300d
\u3000\u3000\u6570\u5b66\u4e0a\u8868\u793a\u4e3a\uff1a
\u3000\u3000\forall
a,
b,
c
\in
X,\
a
R
b
\and
b
R
c
\;
\Rightarrow
a
R
c
4\u53cd\u81ea\u53cd\uff1a
5\u53cd\u5bf9\u79f0\uff1a\u3000\u6570\u5b66\u4e0a\uff0c\u82e5\u5bf9\u6240\u6709\u7684
a
\u548c
b
\u5c5e\u4e8e
X\uff0c\u4e0b\u8ff0\u8bed\u53e5\u4fdd\u6301\u6709\u6548\uff0c\u5219\u96c6\u5408
X
\u4e0a\u7684\u4e8c\u5143\u5173\u7cfb
R
\u662f\u53cd\u5bf9\u79f0\u7684\uff1a\u300c\u82e5\u5bf9\u6240\u6709\u7684
a
\u548c
b
\u5c5e\u4e8e
X\uff0c\u82e5
a
\u5173\u7cfb\u5230
b
\u4e14
b
\u5173\u7cfb\u5230
a\uff0c\u5219
a
=
b\u3002\u300d
\u3000\u3000\u6570\u5b66\u4e0a\u8868\u793a\u4e3a\uff1a
\u3000\u3000\forall
a,
b
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X,\
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b
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b
R
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\;
\Rightarrow
\;
a
=
b
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a
<
b
\u4e14
b
<
a
\u662f\u4e0d\u53ef\u80fd\u7684\uff0c\u56e0\u6b64\u4e25\u683c\u4e0d\u7b49\u7684\u53cd\u5bf9\u79f0\u6027\u662f\u4e00\u79cd\u7a7a\u865a\u7684\u771f(vacuously
true)\u3002
\u3000\u3000\u6ce8\u610f\uff0c\u53cd\u5bf9\u79f0\u5173\u7cfb\u4e0d\u662f\u5bf9\u79f0\u5173\u7cfb\uff08aRb
\u5f97\u5230
bRa\uff09\u7684\u53cd\u4e49\u3002\u6709\u4e9b\u5173\u7cfb\u65e2\u662f\u5bf9\u79f0\u7684\u53c8\u662f\u53cd\u5bf9\u79f0\u7684\uff0c\u6bd4\u5982"\u7b49\u4e8e"\uff1b\u6709\u4e9b\u5173\u7cfb\u65e2\u4e0d\u662f\u5bf9\u79f0\u7684\u4e5f\u4e0d\u662f\u53cd\u5bf9\u79f0\u7684\uff0c\u6bd4\u5982\u6574\u6570\u7684"\u6574\u9664"\uff1b\u6709\u4e9b\u5173\u7cfb\u662f\u5bf9\u79f0\u7684\u4f46\u4e0d\u662f\u53cd\u5bf9\u79f0\u7684\uff0c\u6bd4\u5982"\u6a21
n
\u540c\u4f59"\uff1b\u6709\u4e9b\u5173\u7cfb\u4e0d\u662f\u5bf9\u79f0\u7684\u4f46\u662f\u53cd\u5bf9\u79f0\u7684\uff0c\u6bd4\u5982"\u5c0f\u4e8e"\u3002
\u3000\u3000\u6ee1\u8db3\u4f20\u9012\u6027\u548c\u81ea\u53cd\u6027\u7684\u53cd\u5bf9\u79f0\u5173\u7cfb\u79f0\u4e3a\u504f\u5e8f\u5173\u7cfb\u3002
\u65b9\u5dee\u8d8a\u5c0f\uff0c\u79bb\u6563\u7a0b\u5ea6\u8d8a\u5c0f\uff0c\u6ce2\u52a8\u8d8a\u5c0f\u3002
1，自反：R为A上的二元关系，若 对于任意的x，x属于集合A→<x,x>∈R，则称R在A上是自反的2；对称： 数学上，若对所有的 a 和 b 属于 X，下述语句保持有效，则集合 X 上的二元关系 R 是对称的：「若 a 关系到 b，则 b 关系到 a。」
数学上表示为： <math>\forall a, b \in X,\ a R b \Rightarrow \; b R a</math>
例如：“和……结婚”是对称关系；“小于”不是对称关系。
对称关系不是反对称关系（aRb 且 bRa 得到 b = a）的反义。有些关系既是对称的又是反对称的，比如"等于"；有些关系既不是对称的也不是反对称的，比如整数的"整除"；有些关系是对称的但不是反对称的，比如"模 n 同余"；有些关系不是对称的但是反对称的，比如"小于"。
3传递： 在逻辑学和数学中，若对所有的 a，b，c 属于 X，下述语句保持有效，则集合 X 上的二元关系 R 是传递的：「若a 关系到 b 且 b 关系到 c， 则 a 关系到 c。」
数学上表示为：
<math>\forall a, b, c \in X,\ a R b \and b R c \; \Rightarrow a R c</math>
4反自反：
5反对称： 数学上，若对所有的 a 和 b 属于 X，下述语句保持有效，则集合 X 上的二元关系 R 是反对称的：「若对所有的 a 和 b 属于 X，若 a 关系到 b 且 b 关系到 a，则 a = b。」
数学上表示为：
<math>\forall a, b \in X,\ a R b \and b R a \; \Rightarrow \; a = b</math>
严格不等是反对称的；实际上 a < b 且 b < a 是不可能的，因此严格不等的反对称性是一种空虚的真(vacuously true)。
注意，反对称关系不是对称关系（aRb 得到 bRa）的反义。有些关系既是对称的又是反对称的，比如"等于"；有些关系既不是对称的也不是反对称的，比如整数的"整除"；有些关系是对称的但不是反对称的，比如"模 n 同余"；有些关系不是对称的但是反对称的，比如"小于"。
满足传递性和自反性的反对称关系称为偏序关系。
[二元关系的知识点]
1、关系、关系矩阵与关系图
2、复合关系与逆关系
3、关系的性质（自反性、对称性、反对称性、传递性）
4、关系的闭包（自反闭包、对称闭包、传递闭包）
5、等价关系与等价类
6、偏序关系与哈斯图（Hasse）、极大/小元、最大/小元、上/下界、最小上界、最大下界
7、函数及其性质（单射、满射、双射）
8、复合函数与反函数
二元关系疑难解析
2．关系的性质及其判定
关系的性质既是对关系概念的加深理解与掌握，又是关系的闭包、等价关系、半序关系的基础。对于四种性质的判定，可以依据教材中P49上总结的规律。这其中对传递性的判定，难度稍大一点，这里要提及两点：一是不破坏传递性定义，可认为具有传递性。如空关系具有传递性，同时空关系具有对称性与反对称性，但是不具有自反性。另一点是介绍一种判定传递性的“跟踪法”，即若 ，则 。如若 ，则有 ，且 。
3．关系的闭包
在理解掌握关系闭包概念的基础上，主要掌握闭包的求法。关键是熟记三个定理的结论：定理2 ；定理3 ；定理4的推论 。
4．半序关系及半序集中特殊元素的确定
理解与掌握半序关系与半序集概念的关键是哈斯图。哈斯图画法掌握了，对于确定任一子集的最大（小）元，极大（小）元也就容易了。这里要注意，最大（小）元与极大（小）元只能在子集内确定，而上界与下界可在子集之外的全集中确定，最小上界为所有上界中最小者，最小上界再小也不小于子集中的任一元素，可以与某一元素相等，最大下界也同样。
5．映射的概念与映射种类的判定
映射的种类主要指单射、满射、双射与非单非满射。判定的方法除定义外，可借助于关系图，而实数集的子集上的映射也可以利用直角坐标系表示进行，尤其是对各种初等函数。
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