设函数f（x）在x=0处连续，f（0）=0，且对任意的x、y都有f（x+y)=f(x)+f(y), ) (
\u7528\u5b9a\u4e49\u8bc1\u660e\uff1a\u8bbeF(x,y)=f(x),f(x)\u5728x0\u5904\u8fde\u7eed,\u8bc1\u660e:\u5bf9\u4efb\u610fy0\u5c5e\u4e8eR,F(x,y)\u5728
\u671b\u91c7\u7eb3
1.\u8fd9\u91ccc\u5c5e\u4e8e\uff080,1\uff09\uff0c\u9009D\u662f\u5bf9\u7684
2.\u5728\u5b9a\u4e49\u4e2d\u222b\uff08a~b\uff09\u4e2d\u7684a\u5fc5\u987b\u5c0f\u4e8eb\uff0c\u4f46\u5f15\u5165\u4ea4\u6362\u4e0a\u4e0b\u9650\u6216\uff0ca\u53ef\u80fd\u5927\u4e8eb\u3002\u4f46\u5728\u4e0a\u8ff0\u4e0d\u7b49\u5f0f\u4e2d\uff0ca\u5fc5\u987b\u5c0f\u4e8eb
对任意的x，考虑当dx趋于0时，f(x+dx)的极限是否是f(x)即可。
因为lim f(x+dx)
=lim f(x)+f(dx)
=lim f(x)+lim f(dx) （*）
=f(x)+f(0)
=f(x)
其中(*)式是因为f(x)在x=0连续，于是lim f(dx)=f(0)=0
绛旓細鍦▁=0澶勮繛缁紝鍒欐剰鍛崇潃x瓒嬩簬0鐨勬瀬闄愬艰绛変簬f(0)=a 鐢辨礇蹇呰揪娉曞垯锛屾眰寰楁瀬闄愪负1/8 锛屾墍浠=1/8
绛旓細lim(x鈫0-)f(x)=lim(x鈫0-)sin2x/x =lim(x鈫0-)2sin2x/2x =2 lim(x鈫0+)f(x)=lim(x鈫0+)ln(1+2x)/x =lim(x鈫0+)2x/x =2 鎵浠im(x鈫0)f(x)=2 鎵浠ヨ浣垮緱鍑芥暟鍦▁=0澶勮繛缁紝閭ｄ箞lim(x鈫0)f(x)=f(0)=k=2 鎵浠=2 濡傛灉涓嶆噦锛岃杩介棶锛岀瀛︿範鎰夊揩锛
绛旓細褰X<0鏃讹紝鍑芥暟鏄噺鍑芥暟锛屽綋x>0鏃讹紝鍑芥暟鏄鍑芥暟锛屼笖鍦▁=0澶勮繛缁紝搴旇鏄瀬灏忓
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