若点P是曲线y=x^2-lnx上任意一点，怎样求该点到直线y=x-2的最小距离？ 若点P是曲线y=x^2-lnx上任意一点，则点P到直线y=x...

\u5df2\u77e5\u4e00\u6761\u66f2\u7ebf\u8fc7\uff081\uff0c2\uff09\u70b9\uff0c\u4e14\u8be5\u66f2\u7ebf\u4e0a\u4efb\u610f\u4e00\u70b9p\uff08x,y\uff09\u5904\u7684\u659c\u7ebf\u7387\u4e3a2x+1\uff0c\u66f2\u7ebf\u4e3a\u4ec0\u4e48\u3002\u6c42\u5927\u795e

\u66f2\u7ebf\u4e3ay=x^2+x\u3002
\u89e3\uff1a\u4ee4\u66f2\u7ebf\u4e3ay=f(x)\u3002
\u56e0\u4e3a\u8be5\u66f2\u7ebf\u4e0a\u4efb\u610f\u4e00\u70b9p\uff08x,y\uff09\u5904\u7684\u659c\u7ebf\u7387\u4e3a2x+1\uff0c
\u6240\u4ee5\u53ef\u77e5y=f(x)\u7684\u5bfc\u6570\u4e3a2x+1\u3002
\u5373y'=2x+1\u3002
\u90a3\u4e48y=f(x)=\u222b(2x+1)dx=x^2+x+C\u3002
\u53c8\u66f2\u7ebf\u8fc7\uff081\uff0c2\uff09\u70b9\uff0c\u53ef\u5f97C=0\uff0c
\u6240\u4ee5\u8be5\u66f2\u7ebf\u4e3ay=x^2+x\u3002
\u6269\u5c55\u8d44\u6599\uff1a
1\u3001\u5bfc\u6570\u7684\u51e0\u4f55\u610f\u4e49
\u51fd\u6570y=f\uff08x\uff09\u5728x0\u70b9\u7684\u5bfc\u6570f'\uff08x0\uff09\u7684\u51e0\u4f55\u610f\u4e49\u4e3a\uff0c
\u8868\u793a\u51fd\u6570\u66f2\u7ebf\u5728\u70b9P0\uff08x0,f\uff08x0\uff09\uff09\u5904\u7684\u5207\u7ebf\u7684\u659c\u7387\uff08\u5bfc\u6570\u7684\u51e0\u4f55\u610f\u4e49\u662f\u8be5\u51fd\u6570\u66f2\u7ebf\u5728\u8fd9\u4e00\u70b9\u4e0a\u7684\u5207\u7ebf\u659c\u7387\uff09\u3002
2\u3001\u66f2\u7ebf\u659c\u7387
\uff081\uff09\u66f2\u7ebf\u7684\u4e0a\u67d0\u70b9\u7684\u659c\u7387\u5219\u53cd\u6620\u4e86\u6b64\u66f2\u7ebf\u7684\u53d8\u91cf\u5728\u6b64\u70b9\u5904\u7684\u53d8\u5316\u7684\u5feb\u6162\u7a0b\u5ea6\u3002
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\u8bbe\u4e00\u6761\u5e73\u884c\u76f4\u7ebf y=x+k
\u4e0e\u66f2\u7ebf\u8054\u7acb\u5f97\u5230 x+k=x^2-lnx
\u7b97\u51fa k \u7684\u6700\u5c0f\u503c\u662f 0
\u518d\u7b97\u4e24\u6761\u5e73\u884c\u7ebf\u95f4\u7684\u8ddd\u79bb\u4e3a1
\u5982\u679c\u60f3\u77e5\u9053\u600e\u4e48\u5206\u6790\u7684\uff0c\u53ef\u4ee5\u8ffd\u95ee\u6211\uff0c\u8fd9\u4e2a\u7b54\u9898\u6709\u5b57\u6570\u9650\u5236\uff08\u624b\u673a\uff09

首先我先给你分析下，曲线y=x平方-lnx（x大于0）是恒大于o的，为什么你自己想。然后画在直角坐标系上基本上是y=x^2的形状。而y=x-2与x轴是有交点的，且直线是在曲线下方的，那么曲线上到直线上距离最近的点，在该点做曲线切线，该切线应和y=x-2平行，即斜率为1，如果你会导数，则对曲线的方程求一阶导数，然后另其为1，求x，然后求y，最后求距离（点到直线距离公式你应该是知道的吧）。如果你不会导数，但是仍然知道点到直线距离公式，只能设p点为（x,x^2-lnx),带入距离d=|y-x+2|/（根号2），其中y=x^2-lnx,而求最值也是用导数比较简便，若你不会，我也想不出暂时还有什么方法（以前的知识确实记不清楚了。。）

解：这个容易，求导，则：y'＝2x-1/x（x＞0）。令y'＝1，得：x＝1。将x＝1代入原函数则y＝1。所以点（1，1）到直线的距离最近。由点到直线的距离公式得：d＝2/√2＝√2/2。不懂的请追问。

曲线上p(x,y)点的切线斜率是
k=y'=2x-1/x
它应与直线y=x-2平行,(k1=1)
就是
2x-1/x=1
可解得
x1=-1/2,
x2=1
(负值舍去)
y=1
曲线与直线y=x-2距离最短的点是
p(1,
1)
p到直线的距离可用公式
|1-1-2|/√2=√2

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