向大家请教苦恼多年的数学难题 各位老师同学朋友，向大家请教一个有关概率得数学题，请多多支持
\u7f51\u53cb\u4eec\u597d\uff0c\u5411\u5927\u5bb6\u8bf7\u6559\u4e00\u4e2a\u95ee\u9898\uff1a\u6211\u505a\u6570\u5b66\u4f5c\u4e1a\u7684\u65f6\u5019\u591a\u5199\u4e86\u4e00\u9053\u9898\uff0c\u5982\u679c\u6211\u5212\u6389\u5c31\u4f1a\u4e0d\u597d\u770b\uff0c\u4e0d\u5212\u6389\u5c31\u4f1a\u5199\u9519\u5206\u6570\u624d\u662f\u786c\u9053\u7406\uff0c\u4e2d\u770b\u6709\u4ec0\u4e48\u7528\u554a
\u6b63\u786e\u7b54\u6848\u5e94\u8be5\u662f0.6^9*0.4\u3002\u56e0\u4e3a\u524d\u97629\u67aa\u90fd\u4e0d\u4e2d\u7684\u8bdd\uff0c\u90a3\u662f0.6^9\uff0c\u4f46\u662f1-0.6^9\u5e76\u4e0d\u662f\u7b2c\u5341\u67aa\u6253\u4e2d\u5341\u73af\u7684\u6982\u7387\uff0c\u800c\u662f\u524d9\u67aa\u81f3\u5c11\u547d\u4e2d\u4e00\u67aa\u7684\u6982\u7387\uff0c\u4e0e\u7b2c10\u67aa\u65e0\u5173\u3002
\u56e0\u4e3a\u6bcf\u4e00\u67aa\u4e4b\u95f4\u662f\u76f8\u4e92\u72ec\u7acb\uff0c\u4e92\u4e0d\u5f71\u54cd\u7684\uff0c\u5728\u7b2c\u4e00\u67aa\u547d\u4e2d\u5341\u73af\u7684\u60c5\u51b5\u4e0b\uff0c\u540e\u97629\u67aa\u547d\u4e2d\u4e00\u73af\uff0c\u6982\u7387\u4e3a0.4*C(1,9)0.6^8*0.4\uff0c\u53730.4*0.6^8*0.4*9 ; \u521a\u597d\u7b2c\u5341\u67aa\u547d\u4e2d\u5341\u73af\u7684\u6982\u73870.4*0.6^8*0.4
一 内积与正交多项式�
定义1 设 ， 是〔a，b〕上的权函数，记
(1)�
称为函数 上带权 的内积。�
内积具有以下性质：�
① 对称性 ；�
② 齐次性 ；�
③ 可加性 ；�
④ 非负性 ，且 当且仅当 ， �x∈〔a，b〕。
定义2 如果内积 (2)则称函数f，g在〔a，b〕上带权 正交。
例如，三角函数系 是 上带权 ≡1的正交函数系。
如果〔a，b〕上的连续函数系 满足
（3）�
则称 是〔a，b〕上带权 的正交函数系。如果 为多项式系， 且 是最高项系数 的n次多项式，则称 为区间〔a，b〕上 带权 的正交多项式系，并称 是〔a，b〕上带权 的n次正交多项式。�
利用Gram-Schmidt 方法可以构造出〔a，b〕上的带权 的正交多项式系 如下：
（4）�
这样构造出的正交多项式系 具有以下性质：�
① 是最高项系数为1的n次多项式；�
② 任意n次多项式均可表示为前n+1个 的线性组合；�
③ 对于任意i≠j， ，并且 与任一次数小于n的多项式都正交；�
④ 在区间〔a，b〕 内有n个互异的实零点。�
首项系数为1的正交多项式系 有下面递推关系：�
(5)
其中�
(6)
二 常见的正交多项式系�
1. 勒让德多项式�
在区间〔-1，1〕上权函数为 ≡1的正交多项式
（7）�
称为勒让德(Legendre)正交多项式，显然 的首项 的系数 ，故�
表示首项系数为1的勒让德多项式。
�勒让德多项式 具有以下性质：�
① 正交性�
（8）�
② 递推关系�
（9）
�由 递推可得
③ 奇偶性
即：当n为奇数时， 为奇函数；当n为偶数时， 为偶函数。�
④ 在区间〔-1，1〕内有n个互异的实零点。�
2.切比雪夫多项式�在区间〔-1，1〕上权函数为 的正交多项式�
（10）
称为切比雪夫(Chebyshev)多项式。�
切比雪夫多项式具有以下性质：�
① 正交性
（11）�
② 递推关系�
（12）�
由 递推可得�
显然， 的首项系数 (n≥1)。�
③ 奇偶性 �当n为奇数时， 为奇函数；当n为偶数时， 为偶函数。即�
④ 在区间〔-1，1〕内有n个互异的实零点 。�
三 最佳平方逼近多项式�
定义3 设f(x)∈C〔a，b〕，若有一次数不超过n(n≤m)的多项式 ，使得
（1 3）�
称满足式（13）的 为f(x)在区间〔a，b〕上的n次最佳平方逼近多项式。该问题等价于求多元函数
的最小值。由多元函数求极值的必要条件，得�
即�
（14）�
式（14）是关于 的线 性方程组，用矩阵表示为
（15） �
式（14）或式（15）称为正规方程组或法方程组。
�可以 证明，方程组（15）的系数矩阵是一个对称正定矩阵，故存在唯一解。从式（14）中解出 ，从而可得最佳平方逼近多项式
�若〔a，b〕=〔0， 1〕， ≡1，则
�方程组（15）的系数矩阵为
称为希尔伯特（Hierbert） 矩阵。以后，不特别声明，均取 ≡1。�
例1 求 在区间〔0，1〕上的二次最佳平方逼近多项式。�
解
得正规方程组�
解得 ，所以
�
用 作基，求最佳平方逼近多项式，当n 较大时，系数矩阵是病态矩阵， 求正规方程组的解，舍入误差会很大，这时选正交多项式为基，就可避免这种情况。
一般地，设
同式（14）的推导完全类似， 可得 应满足的正规方程组为
其中
�若取 ，则式（16）就是式（13）；若取 为区间〔a，b〕上的正交多项式，则式（16）的系数矩阵为对角矩阵，解为
（17） �
例4 求 在区间〔-1,1〕上的三次最佳平方逼近多项式。
解 在式（16）中，取勒让德多项式系中 为基，则�
� 得�
所以
�对于有限区间〔a，b〕，做变量替换
于是 在区间〔-1,1〕上可用勒让德多项式为基求得最佳平方逼近多项式 ，从而得到在区间〔a,b〕的最佳平方逼近多项式 ，这与用（15）求得的是一致的，但用前者计算公式比较方便，不存在病态问题。
建议你查阅《多项式最佳逼近的实现〔计算数学丛书〕》一书中第30页内容，作者：沈燮昌，上海科学技术出版社，1984．02，也许会对你的研究带来极大的帮助！
另外，问题的完整叙述和解答可以参看：
《数学分析中的问题和定理（波利亚、舍贵 著）》第二卷中的第105页，答案在339页。
只是可惜的是上述都是利用高等数学知识解决的，不符合你的要求。
凭我的直觉，这道题目应该存在初等证明方法，因为题目的叙述完全可以理解成是一个初等数学问题！
向大家请教 苦恼多年 的数学难题:
关于切比雪夫多项式的研究 .
你要问什么?问切比雪夫多项式的性质吗?�
"建议你查阅《多项式最佳逼近的实现〔计算数学丛书〕》一书中第30页内容，作者：沈燮昌，上海科学技术出版社，1984．02，也许会对你的研究带来极大的帮助！
另外，问题的完整叙述和解答可以参看：
《数学分析中的问题和定理（波利亚、舍贵 著）》第二卷中的第105页，答案在339页。
只是可惜的是上述都是利用高等数学知识解决的，不符合你的要求。
凭我的直觉，这道题目应该存在初等证明方法，因为题目的叙述完全可以理解成是一个初等数学问题！"
以上的回答者：jysyxh - 试用期 一级 5-15 22:39,答得好.
用初等数学证估计会很烦，试试复变函数中的Cauchy不等式估计导数，应为既然是多项式，那么就全纯，性质应该会比较好，你可以试试看
这象是高中的序列问题,挺难的.没代笔,改天试试.
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