一元二次方程标准式及解公式 求一元二次方程的通解公式及其推理
\u4e00\u5143\u4e8c\u6b21\u65b9\u7a0b\u4e07\u80fd\u516c\u5f0f\u591a\u5c11\u4e00\u5143\u4e8c\u6b21\u65b9\u7a0b\u516c\u5f0f\uff1ax=(-b\u00b1\u221a(b^2-4ac))/(2a)\u3002
\u89e3\uff1a\u7528\u6c42\u6839\u516c\u5f0f\u6cd5\u89e3\u4e00\u5143\u4e8c\u6b21\u65b9\u7a0b\u7684\u4e00\u822c\u6b65\u9aa4\u5982\u4e0b\u3002
1\u3001\u628a\u65b9\u7a0b\u5316\u7b80\u4e3a\u4e00\u5143\u4e8c\u6b21\u65b9\u7a0b\u7684\u4e00\u822c\u5f62\u5f0f\uff0c\u5373ax^2+bx+c=0\uff08\u5176\u4e2da\u22600\uff09\u3002
2\u3001\u6c42\u51fa\u25b3=b^2-4ac\u7684\u503c\uff0c\u5224\u65ad\u8be5\u65b9\u7a0b\u6839\u7684\u60c5\u51b5\u3002
3\u3001\u7136\u540e\u6839\u636e\u6c42\u6839\u516c\u5f0fx=(-b\u00b1\u221a(b^2-4ac))/(2a)\u8fdb\u884c\u8ba1\u7b97\uff0c\u6c42\u51fa\u8be5\u4e00\u5143\u4e8c\u65b9\u7a0b\u7684\u89e3\u3002
\u6269\u5c55\u8d44\u6599\uff1a
1\u3001\u4e00\u5143\u4e8c\u6b21\u65b9\u7a0b\u7684\u6c42\u89e3\u65b9\u6cd5
\uff081\uff09\u6c42\u6839\u516c\u5f0f\u6cd5
\u5bf9\u4e8e\u4e00\u5143\u4e8c\u6b21\u65b9\u7a0bax^2+bx+c=0(a\u22600)\uff0c\u53ef\u6839\u636e\u6c42\u6839\u516c\u5f0fx=(-b\u00b1\u221a(b^2-4ac))/(2a)\u8fdb\u884c\u6c42\u89e3\u3002
\uff082\uff09\u56e0\u5f0f\u5206\u89e3\u6cd5
\u9996\u5148\u5bf9\u65b9\u7a0b\u8fdb\u884c\u79fb\u9879\uff0c\u4f7f\u65b9\u7a0b\u7684\u53f3\u8fb9\u5316\u4e3a\u96f6\uff0c\u7136\u540e\u5c06\u65b9\u7a0b\u7684\u5de6\u8fb9\u8f6c\u5316\u4e3a\u4e24\u4e2a\u4e00\u5143\u4e00\u6b21\u65b9\u7a0b\u7684\u4e58\u79ef\uff0c\u6700\u540e\u4ee4\u6bcf\u4e2a\u56e0\u5f0f\u5206\u522b\u4e3a\u96f6\u5206\u522b\u6c42\u51fax\u7684\u503c\u3002x\u7684\u503c\u5c31\u662f\u65b9\u7a0b\u7684\u89e3\u3002
\uff083\uff09\u5f00\u5e73\u65b9\u6cd5
\u5982\u679c\u4e00\u5143\u4e8c\u6b21\u65b9\u7a0b\u662fx^2=p\u6216\u8005(mx+n)^2=p(p\u22650)\u5f62\u5f0f\uff0c\u5219\u53ef\u91c7\u7528\u76f4\u63a5\u5f00\u5e73\u65b9\u6cd5\u89e3\u4e00\u5143\u4e8c\u6b21\u65b9\u7a0b\u3002\u53ef\u5f97x=\u00b1\u221ap\uff0c\u6216\u8005mx+n=\u00b1\u221ap\u3002
\u53c2\u8003\u8d44\u6599\uff1a\u767e\u5ea6\u767e\u79d1-\u4e00\u5143\u4e8c\u6b21\u65b9\u7a0b
\u3000\u3000\u4e00\u822c\u6765\u8bf4\uff0c\u4e00\u5143\u4e8c\u6b21\u65b9\u7a0b\u7684\u89e3\u6cd5\u6709\uff1a(\u6ce8\uff1a\u4ee5\u4e0b ^ \u662f\u5e73\u65b9\u7684\u610f\u601d\u3002\uff09\u4e00\u3001\u76f4\u63a5\u5f00\u5e73\u65b9\u6cd5\u3002\u5982\uff1ax^2-4=0 \u89e3\uff1ax^2=4 x=\u00b12(\u56e0\u4e3ax\u662f4\u7684\u5e73\u65b9\u6839\uff09 \u2234x1=2,x2=-2\u4e8c\u3001\u914d\u65b9\u6cd5\u3002\u5982\uff1ax^2-4x+3=0 \u89e3\uff1ax^2-4x=-3 \u914d\u65b9\uff0c\u5f97(\u914d\u4e00\u6b21\u9879\u7cfb\u6570\u4e00\u534a\u7684\u5e73\u65b9\uff09 x^2-2*2*x+2^2=-3+2^2(\u65b9\u7a0b\u4e24\u8fb9\u540c\u65f6\u52a0\u4e0a2^2\uff0c\u539f\u5f0f\u7684\u503c\u4e0d\u53d8\uff09 \uff08x-2)^2=1\u3010\u65b9\u7a0b\u5de6\u8fb9\u5b8c\u5168\u5e73\u65b9\u516c\u5f0f\u5f97\u5230\uff08x-2)^2\u3011 x-2=\u00b11 x=\u00b11+2 \u2234x1=1,x2=3\u4e09\u3001\u516c\u5f0f\u6cd5\u3002\uff08\u516c\u5f0f\u6cd5\u7684\u516c\u5f0f\u662f\u7531\u914d\u65b9\u6cd5\u63a8\u5bfc\u6765\u7684\uff09 -b\u00b1\u222bb^2-4ac(-b\u52a0\u51cf\u540e\u9762\u662f \u6839\u53f7\u4e0bb^2-4ac)\u516c\u5f0f\u4e3a\uff1ax=-------------------------------------------\uff08\u7528\u4e2d 2a\u6587\u5427\uff0c\u5e0c\u671b\u4f60\u80fd\u7406\u89e3\uff1a2a\u5206\u4e4b-b\u00b1\u6839\u53f7\u4e0bb^2-4ac)\u5229\u7528\u516c\u5f0f\u6cd5\u9996\u5148\u8981\u660e\u786e\u4ec0\u4e48\u662fa\u3001b\u3001c\u3002\u5176\u5b9e\u5b83\u4eec\u5c31\u662f\u6700\u6807\u51c6\u7684\u4e8c\u5143\u4e00\u6b21\u65b9\u7a0b\u7684\u5f62\u5f0f\uff1aax^2+bx+c=0\u25b3=b2-4ac\u79f0\u4e3a\u8be5\u65b9\u7a0b\u7684\u6839\u7684\u5224\u522b\u5f0f\u3002\u5f53b2-4ac>0\u65f6\uff0c\u65b9\u7a0b\u6709\u4e24\u4e2a\u4e0d\u76f8\u7b49\u7684\u5b9e\u6570\u6839\uff1b\u5f53b2-4ac=\u65f6\uff0c\u65b9\u7a0b\u6709\u4e24\u4e2a\u76f8\u7b49\u7684\u5b9e\u6570\u6839\uff1b\u5f53b2-4ac<0\u65f6\uff0c\u65b9\u7a0b\u6ca1\u6709\u5b9e\u6570\u6839\u3002\u6709\u4e9b\u65f6\u5019\uff0c\u505a\u5230b2-4ac<0\u65f6\uff0c\u9700\u8981\u8ba8\u8bba\u25b3\uff0c\u56e0\u4e3a\u6839\u53f7\u4e0b\u7684\u6570\u5b57\u662f\u975e\u8d1f\u6570\uff0c<0\u4e5f\u5c31\u6ca1\u6709\u5b9e\u6570\u6839\uff0c\u4e5f\u5c31\u6ca1\u6709\u505a\u7684\u610f\u4e49\u4e86\u3002a\u4ee3\u8868\u4e8c\u6b21\u9879\u7684\u7cfb\u6570\uff0cb\u4ee3\u8868\u7740\u4e00\u6b21\u9879\u7cfb\u6570\uff0cc\u662f\u5e38\u6570\u9879\u6ce8\u610f\uff1a\u7528\u516c\u5f0f\u6cd5\u89e3\u4e00\u5143\u4e8c\u6b21\u65b9\u7a0b\u65f6\u9996\u5148\u8981\u5316\u6210\u4e00\u822c\u5f62\u5f0f\uff0c\u4e5f\u5c31\u662fax^2+bx+c=0\u7684\u5f62\u5f0f\uff0c\u7136\u540e\u624d\u80fd\u505a\u3002\u89e3\u9898\u65f6\u6309\u7167\u4e0a\u9762\u7684\u516c\u5f0f\uff0c\u628a\u6570\u5b57\u5e26\u5165\u8ba1\u7b97\u5c31OK\u4e86\u3002\u8fd9\u5bf9\u4efb\u4f55\u4e00\u5143\u4e8c\u6b21\u65b9\u7a0b\u90fd\u53ef\u4ee5\u64cd\u4f5c\u3002
一般来说,一元二次方程的解法有:(注:以下 ^ 是平方的意思。)
一、直接开平方法。如:x^2-4=0
解:x^2=4
x=±2(因为x是4的平方根)
∴x1=2,x2=-2
二、配方法。如:x^2-4x+3=0
解:x^2-4x=-3
配方,得(配一次项系数一半的平方)
x^2-2*2*x+2^2=-3+2^2(方程两边同时加上2^2,原式的值不变)
(x-2)^2=1【方程左边完全平方公式得到(x-2)^2】
x-2=±1
x=±1+2
∴x1=1,x2=3
三、公式法。(公式法的公式是由配方法推导来的)
-b±∫b^2-4ac(-b加减后面是 根号下b^2-4ac)
公式为:x=-------------------------------------------(用中
2a
文吧,希望你能理解:2a分之-b±根号下b^2-4ac)
利用公式法首先要明确什么是a、b、c。
其实它们就是最标准的二元一次方程的形式:ax^2+bx+c=0
△=b2-4ac称为该方程的根的判别式。
当b2-4ac>0时,方程有两个不相等的实数根;
当b2-4ac=时,方程有两个相等的实数根;
当b2-4ac<0时,方程没有实数根。
有些时候,做到b2-4ac<0时,需要讨论△,因为根号下的数字是非负数,<0也就没有实数根,也就没有做的意义了。
a代表二次项的系数,b代表着一次项系数,c是常数项
注意:用公式法解一元二次方程时首先要化成一般形式,也就是ax^2+bx+c=0的形式,然后才能做。
解题时按照上面的公式,把数字带入计算就OK了。这对任何一元二次方程都可以操作。
绛旓細涓鍏冧簩娆℃柟绋鐨勬眰瑙f柟娉 1銆鍏紡娉 鍦ㄤ竴鍏冧簩娆℃柟绋媦=ax²+bx+c锛坅銆乥銆乧鏄父鏁帮級涓紝褰撯柍锛漛²-4ac锛0鏃讹紝鏂圭▼鏈変袱涓В锛屾牴鎹眰鏍瑰叕寮弜=锛堬紞b卤鈭氾紙b²-4ac锛夛級锛2a鍗冲埢姹傚嚭缁撴灉锛涒柍锛漛²-4ac=0鏃讹紝鏂圭▼鍙湁涓涓Вx=-b/2a锛涒柍锛漛²-4ac锛0鏃讹紝鏂圭▼鏃...
绛旓細涓鍏冧簩娆℃柟绋嬪叕寮锛歺=(-b卤鈭(b^2-4ac))/(2a)銆傝В锛氱敤姹傛牴鍏紡娉曡В涓鍏冧簩娆℃柟绋嬬殑涓鑸楠ゅ涓嬨1銆佹妸鏂圭▼鍖栫畝涓轰竴鍏冧簩娆℃柟绋嬬殑涓鑸舰寮忥紝鍗砤x^2+bx+c=0锛堝叾涓璦鈮0锛夊煁姹2銆佹眰鍑衡柍=b^2-4ac鐨勫硷紝鍒ゆ柇璇ユ柟绋嬫牴鐨勬儏鍐点3銆佺劧鍚庢牴鎹眰鏍瑰叕寮弜=(-b卤鈭(b^2-4ac))/(2a)杩涜璁$畻...
绛旓細涓鍏冧簩娆℃柟绋鏄暟瀛︿腑甯歌鐨勪竴绉嶆柟绋嬪舰寮忥紝鍏朵竴鑸舰寮忓彲浠ヨ〃绀轰负锛歛x^2+bx+c=0銆傚叾涓紝a銆乥銆乧涓哄凡鐭ョ殑瀹炴暟绯绘暟锛屼笖a鈮0銆傛牴鎹柟绋嬬殑涓鑸舰寮忥紝灏嗘墍鏈夌殑椤圭Щ鍒扮瓑鍙峰彸杈癸紝浣挎柟绋嬪彉涓鏍囧噯褰㈠紡锛歛x^2+bx+c=0銆備娇鐢ㄦ眰鏍鍏紡锛堜篃绉颁负浜屾鍏紡锛夋潵姹傝В鏂圭▼鐨勬牴銆傛眰鏍瑰叕寮忎负 x=(-b卤鈭(b^2-4ac...
绛旓細瑙涓鍏冧簩娆℃柟绋嬪叕寮濡備笅锛氫竴鍏冧簩娆℃柟绋嬬殑涓鑸舰寮忎负锛歛x² + bx + c = 0锛屽叾涓璦銆乥銆乧涓哄父鏁帮紝涓攁鈮0銆傝В涓鍏冧簩娆℃柟绋嬬殑鍏紡涓猴細x = (-b 卤 鈭(b² - 4ac)) / 2a 鍏朵腑锛屄辫〃绀轰袱涓牴锛屽嵆姝f牴鍜岃礋鏍癸紱鈭氳〃绀哄钩鏂规牴锛沚² - 4ac琚О涓衡滃垽鍒紡鈥濓紝鏍规嵁鍒ゅ埆寮忕殑...
绛旓細涓鍏冧簩娆℃柟绋鐨勮В娉曚富瑕佸寘鎷鍏紡娉曘侀厤鏂规硶銆佸畬鍏ㄥ钩鏂规硶绛夈傝В閲婂涓嬶細鍏紡娉 鍏紡娉曟槸涓鍏冧簩娆℃柟绋嬫渶閫氱敤鐨勮В娉曪紝鍏跺熀纭鏄凡鐭ヤ竴鍏冧簩娆℃柟绋嬬殑鏍囧噯褰㈠紡涓篴x²+bx+c=0銆傚彧瑕佺‘瀹歛銆乥銆乧鐨勫硷紝灏卞彲浠ュ埄鐢ㄥ叕寮弜=)/2a姹傝В銆傚叾涓紝鏍瑰彿鍐呯殑閮ㄥ垎绉颁负鍒ゅ埆寮忥紝鍏跺煎喅瀹氫簡鏂圭▼鐨勬牴鐨勬ц川銆傝嫢鍒ゅ埆寮...
绛旓細涓ゆ牴涔嬬Н鍏紡锛毼蔽 = c/a銆傛帴涓嬫潵锛屾垜浠缁嗚В閲婅繖涓や釜鍏紡鐨勬帹瀵艰繃绋嬪強鎰忎箟锛涓鍏冧簩娆℃柟绋鐨鏍囧噯褰㈠紡涓篴x² + bx + c = 0銆傚湪姝ゆ柟绋嬩腑锛屛卞拰尾鏄柟绋嬬殑瑙o紝鍗宠鏂圭▼鐨勪袱涓牴銆傛牴鎹煢杈惧畾鐞嗭紝鎴戜滑鍙互鎺ㄥ鍑轰笂杩颁袱涓叕寮忋傚叿浣撴潵璇达紝褰撴垜浠皢鏂圭▼鐨勪袱杈瑰垎鍒涓轰袱涓洜寮忕殑涔樼Н鏃讹紝鍙互...
绛旓細涓鍏冧簩娆℃柟绋嬪叕寮锛歺=(-b卤鈭(b^2-4ac))/(2a)銆傝В锛氱敤姹傛牴鍏紡娉曡В涓鍏冧簩娆℃柟绋嬬殑涓鑸楠ゅ涓嬨1銆佹妸鏂圭▼鍖栫畝涓轰竴鍏冧簩娆℃柟绋嬬殑涓鑸舰寮忥紝鍗砤x^2+bx+c=0锛堝叾涓璦鈮0锛夈2銆佹眰鍑衡柍=b^2-4ac鐨勫硷紝鍒ゆ柇璇ユ柟绋嬫牴鐨勬儏鍐点3銆佺劧鍚庢牴鎹眰鏍瑰叕寮弜=(-b卤鈭(b^2-4ac))/(2a)杩涜璁$畻锛屾眰...
绛旓細b鏄竴娆¢」绯绘暟锛沜鏄父鏁伴」銆備娇鏂圭▼宸﹀彸涓よ竟鐩哥瓑鐨勬湭鐭ユ暟鐨勫煎氨鏄繖涓涓鍏冧簩娆℃柟绋鐨勮В锛屼竴鍏冧簩娆℃柟绋嬬殑瑙d篃鍙仛涓鍏冧簩娆℃柟绋嬬殑鏍广俒2]鈶″彉褰㈠紡 ax²+bx=0(a銆乥鏄疄鏁帮紝a鈮0);ax²+c=0(a銆乧鏄疄鏁帮紝a鈮0);ax²=0(a鏄疄鏁帮紝a鈮0)銆傗憿閰嶆柟寮 鈶d袱鏍瑰紡 ...
绛旓細涓鍏冧簩娆℃柟绋姹傛牴鍏紡璁$畻鍏紡濡備笅锛氫竴鍏冧簩娆℃柟绋嬫眰鏍瑰叕寮忔槸x=[-b卤鈭(b^2-4ac)]/2a锛鏍囧噯褰㈠紡涓:ax²+bx+c=0锛坅鈮0锛夈備竴鍏冧簩娆℃柟绋嬫眰鏍瑰叕寮忥細褰撐=b^2-4ac鈮0鏃,x=[-b卤(b^2-4ac)^(1/2)]/2a銆傚綋螖=b^2-4ac锛0鏃,x={-b卤[(4ac-b^2)^(1/2)]i}/2a銆傚彧鍚湁...
绛旓細褰撳鐞涓鍏冧簩娆℃柟绋鏃讹紝棣栬姝ラ鏄皢鍏惰浆鎹负鏍囧噯褰㈠紡 ax² + bx + c = 0锛屽叾涓 a銆乥 鍜 c 涓哄父鏁般傛帴鐫锛岃绠楀垽鍒紡 螖 = b² - 4ac 鐨勫笺傚鏋 螖 鈮 0锛屾垜浠氨鍙互鐩存帴搴旂敤姹傛牴鍏紡鏉ユ眰瑙c傚叿浣撴楠ゅ涓嬶細浠ヤ緥3涓轰緥锛瑙f柟绋 2x² - 8x = -5锛岄鍏堝皢鍏跺寲绠涓...