线性代数 用三角行列式求解 1+x,2,3 1,2+y,3 1,2,3+Z 用化成三角行列式的方法,计算三阶行列式,其中XYZ≠0 1+...

\u7ebf\u6027\u4ee3\u6570 \u7528\u4e09\u89d2\u884c\u5217\u5f0f\u6c42\u89e3 1+x,2,3 1,2+y,3 1,2,3+Z

1+x
2
3
1
2+y
3
1
2
3+Z
\u5f53xyz\u22600\u65f6
r2-r1,r3-r1
1+x
2
3
-x
y
0
-x
0
z
--\u6b64\u4e3a"\u7bad\u5f62"\u884c\u5217\u5f0f
c1+(x/y)c2+(x/z)c3
1+x+2x/y+3x/z
2
3
0
y
0
0
0
z
=
(1+x+2x/y+3x/z)*yz
=
xyz+yz+2xz+3xy.
\u5f53xyz=0\u65f6,
\u53ef\u9a8c\u8bc1\u4e0a\u5f0f\u4ecd\u6210\u7acb.
\u6545\u6709
D
=
xyz+yz+2xz+3xy.
------------------------------
\u4e5f\u53ef\u4ee5\u7528\u884c\u5217\u5f0f\u7684\u5206\u62c6\u6027\u8d28\u5c06\u884c\u5217\u5f0f\u5206\u62c6\u4e3a8\u4e2a\u884c\u5217\u5f0f\u7684\u548c
D=
x
0
0
1
0
0
x
2
0
x
0
3
0
y
0
+
1
y
0
+
0
2
0
+
0
y
3
+
(\u7b49\u4e8e0\u7684\u7701\u7565)
0
0
z
1
0
z
0
2
z
0
0
3
=
xyz+yz+2xz+3xy.

1+x 2 3
1 2+y 3
1 2 3
\u7b2c1\u30012\u884c\uff0c\u90fd\u51cf\u53bb\u7b2c3\u884c\uff0c\u5f97\u5230
x 0 0
0 y 0
1 2 3
\u5f97\u5230\u4e0b\u4e09\u89d2\u884c\u5217\u5f0f\uff0c\u4e3b\u5bf9\u89d2\u7ebf\u5143\u7d20\u76f8\u4e58\uff0c\u5f97\u5230
3xy

1+x 2 3
1 2+y 3
1 2 3+Z

当xyz≠0时
r2-r1,r3-r1
1+x 2 3
-x y 0
-x 0 z
--此为"箭形"行列式

c1+(x/y)c2+(x/z)c3
1+x+2x/y+3x/z 2 3
0 y 0
0 0 z

= (1+x+2x/y+3x/z)*yz
= xyz+yz+2xz+3xy.

当xyz=0时, 可验证上式仍成立.
故有 D = xyz+yz+2xz+3xy.
------------------------------
也可以用行列式的分拆性质将行列式分拆为8个行列式的和
D=
x 0 0 1 0 0 x 2 0 x 0 3
0 y 0 + 1 y 0 + 0 2 0 + 0 y 3 + (等于0的省略)
0 0 z 1 0 z 0 2 z 0 0 3
= xyz+yz+2xz+3xy.

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