高中数学（归纳法证明） 高中数学 像这种证明题，什么时候用数学归纳法，什么时候就普通...
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自然数
n有关的命题的一种特殊方法，它主要用来研究与
正整数
有关的数学问题，在高中数学中常用来证明等式成立和数列通项公式成立。
（一）第一数学归纳法：
一般地，证明一个与自然数n有关的命题p(n)，有如下步骤：
（1）证明当n取第一个值n0时命题成立。n0对于一般数列取值为0或1，但也有特殊情况；
（2）假设当n=k（
k≥n0，k为自然数
）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。
综合（1）（2），对一切自然数n（≥n0），命题p(n)都成立。
（二）第二数学归纳法：
对于某个与自然数有关的命题p(n)，
（1）验证n=n0时p(n)成立；
（2）假设n0≤n<k时p(n)成立，并在此基础上，推出p(k+1)成立。
综合（1）（2），对一切自然数n（≥n0），命题p(n)都成立。
（三）倒推归纳法（反向归纳法）：
（1）验证对于无穷多个自然数n命题p(n)成立（无穷多个自然数可以是一个无穷数列中的数，如对于算术几何不等式的证明，可以是2^k，k≥1）；
（2）假设p(k+1)（k≥n0）成立，并在此基础上，推出p(k)成立，
综合（1）（2），对一切自然数n（≥n0），命题p(n)都成立；
（四）螺旋式归纳法
对两个与自然数有关的命题p(n)，q(n)，
（1）验证n=n0时p(n)成立；
（2）假设p(k)（k>n0）成立，能推出q(k)成立，假设
q(k)成立，能推出
p(k+1)成立；
综合（1）（2），对一切自然数n（≥n0），p(n)，q(n)都成立。
数学归纳法的变体 在应用，数学归纳法常常需要采取一些变化来适应实际的需求。下面介绍一些常见的数学归纳法变体。
从0以外的数字开始
如果我们想证明的命题并不是针对全部自然数，而只是针对所有大于等于某个数字b的自然数，那么证明的步骤需要做如下修改：
第一步，证明当n=b时命题成立。
第二步，证明如果n=m(m≥b)成立，那么可以推导出n=m+1也成立。
用这个方法可以证明诸如“当n≥3时，n2>2n”这一类命题。
只针对偶数或只针对奇数
如果我们想证明的命题并不是针对全部自然数，而只是针对所有奇数或偶数，那么证明的步骤需要做如下修改：
奇数方面：
第一步，证明当n=1时命题成立。
第二步，证明如果n=m成立，那么可以推导出n=m+2也成立。
偶数方面：
第一步，证明当n=0或2时命题成立。
第二步，证明如果n=m成立，那么可以推导出n=m+2也成立。
递降归纳法
数学归纳法并不是只能应用于形如“对任意的n”这样的命题。对于形如“对任意的n=0,1,2,...,m”这样的命题，如果对一般的n比较复杂，而n=m比较容易验证，并且我们可以实现从k到k-1的递推，k=1,...,m的话，我们就能应用归纳法得到对于任意的n=0,1,2,...,m，原命题均成立。
f（2）＝4
f（3）＝3+f（2）
f（4）＝4+f（3）
f（5）＝5+f（4）
.
.
.
f（n）＝n+f（n-1）
将上式累加得
f（n）＝3+4+5+...+n+4
＝（3+n）（n-2）÷2+4
＝（n平方+n）÷2+1
所以n条直线将平面分成（nˇ2+n+2）/2
部份
用数学归纳法证明:
①当n=1时，一条直线将平面分成两个部分，而f(1)=(1ˇ2+1+2)/2=2
∴命题成立。
②假设当n=k时，
命题成立，即k条直线把平面分成f（k）=(kˇ2+k+2)/2
则当n=k+1时，即增加一条直线,因为任何两条直线不平行，所以与k条直线都相交有k个交点；又因为任何三条不共点，所以这k个交点不同于k条直线的交点，且k个交点也互不相同。如此这k个交点把直线分成k+1段，每一段把它所在的平面区域分为两部分，故新增加的平面分为k+1.
f(k+1)=f(k)+k+1=(kˇ2+k+2)/2+k+1=[(k+1)ˇ2+(k+1)+2]/2
∴n=k+1时命题成立。
由①②知当n为正整数时命题成立。
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