线性代数简单题，为什么ab ^T的对角元之和等于a ^T b,,a, b 都是矩阵，那个T是转置。 线性代数问题，为什么c是正定阵，那A^T=A，D^T=D？还...

\u7ebf\u6027\u4ee3\u6570\uff0c\u6c42(AB)^T (A+B)^T AB\u7684\u8f6c\u7f6e,A+B\u7684\u8f6c\u7f6e

A\u548cB\u90fd\u662f\u4e8c\u9636\u65b9\u9635
\u5219\uff0cAB\u548cA\uff0bB\u4e5f\u662f\u4e8c\u9636\u65b9\u9635
\u6c42\u51fa AB\u548cA\uff0bB
\u4e3b\u5bf9\u89d2\u7ebf\u7684\u5143\u7d20\u4e0d\u52a8\uff0c\u6b21\u5bf9\u89d2\u7ebf\u7684\u5143\u7d20\u4ea4\u6362\u4f4d\u7f6e
\u5f97\u5230 AB\u548cA\uff0bB \u7684\u8f6c\u7f6e

\u8fc7\u7a0b\u5982\u4e0b\u56fe\uff1a

\u5bf9\u4e8e\u8fd9\u4e2a\u95ee\u9898\uff0c\u4f60\u9996\u5148\u5e94\u8be5\u6839\u636e\u9547\u5b9a\u9547\u7684\u610f\u4e49\u8fdb\u884c\u8bf4\u660e\u3002\u8c01\u7684\u8f6c\u7f6e\u4f60\u5e94\u8be5\u53ef\u4ee5\u6c42\u51fa\u6765\uff1f\u7403\u7403\u6765\u8fc7\u540e\uff0c\u4f60\u7528\u8c01\u7684\u8f6c\u7f6e\u6b63\u4e58\u4ee5c\u672c\u8eab\u5c31\u7b49\u4e8e\u4e00\u4e2a\u5355\u4f4d\u6b63\u3002\u5bf9\u5e94\u7684\u5c31\u80fd\u6c42\u51faa\u7684\u8f6c\u7f6e\u4e58\u4ee5a\u7b49\u4e8e\u4e00\u3002\u8bb0\u5f97\u8f6c\u7f6e\u4e58\u4ee5d\u7b49\u4e8e\u4e00\u3002\u5fc5\u5f97\u8f6c\u7f6e\u4e58\u4ee5b\u4e5f\u7b49\u4e8e\u4e00\u3002\u9547\u5b9a\u9547\u7684\u5b9a\u4e49\u5c31\u662f\u8bf4\u4e00\u4e2a\u77e9\u9635\u4e58\u4ee5\u5b83\u7684\u8f6c\u6267\u653f\u7b49\u4e8e\u5355\u4f4d\u6b63\u3002\u8fd8\u6709\u4f60\u5e94\u8be5\u8981\u5b66\u4f1a\u77e9\u9635\u5206\u5757\u8fc7\u540e\u6c42\u4ed6\u7684\u8f6c\u4e16\u6b63\u5185\u90e8\u662f\u600e\u4e48\u53d8\u6362\u7684\uff1f\u53ea\u8981\u638c\u63e1\u597d\u5b9a\u4e49\u5c31\u53ef\u4ee5\u6c42\u51fa\u6765\u4e86\u3002\u5f88\u591a\u65f6\u5019\u505a\u4f53\u529b\u65f6\u5f80\u5f80\u4f1a\u505a\u9898\uff0c\u4f46\u5fd8\u8bb0\u4e86\u5b9a\u4e49\u7684\u4e00\u4e2a\u672c\u8d28\u95ee\u9898\uff0c\u505a\u4eba\u4e0d\u80fd\u5fd8\u672c\u505a\u9898\u4e5f\u4e0d\u80fd\u5fd8\u8bb0\u672c\u8d28\u3002

依题意, a,b 应该是同维列向量
a=(a1,...,an)^T, b=(b1,...,bn)^T
ab^T=
a1b1 a1b2 ... a1bn
a2b1 a2b2 ... a2bn
...
anb1 anb2 ... anbn
所以 ab ^T的对角元之和 tr(ab^T) = a1b1+a2b2+...+anbn = a^Tb

a,b是矩阵，一个矩阵的对角线元素之和称为该矩阵的迹（trace),
第一步，(a b^t)^t =b a^t, 矩阵转置后对角线上元素是不变的；
第二步， 一般的，假设A,B 是任意的俩个同阶矩阵， 直接可以验证trace(AB)=trace(BA)

tr(ab^T)=tr(ba^T)=tr(a^Tb)，因为tr(A)=tr(A') ，tr(AB)=tr(BA)

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