不等式求证, a≥0,b≥0,c≥0且a+b+c=1,求证a/(1+a^2）+b/（1+b^2）+c/(1+c^2)≤9/10 已知a,b,c≥0,且a+b+c=1,求证1/(a^2+a+...
\u5df2\u77e5a\u22650\uff0cb\u22650\uff0cc\u22650\uff0ca+b+c=1\u3002\u6c42\u8bc1a/(1+a^2)+b/(1+b^2)+c/(1+c^2)\u22649/10\u8bbe f(x)= x/(1+x^2), 0<=x<=1.
\u53ef\u4ee5\u9a8c\u8bc1 f\u7684\u4e8c\u6b21\u5bfc\u6570 <= 0, \u5373 f\u662f\u51f9\u51fd\u6570\u3002
\u6240\u4ee5 (f(a)+f(b)+f(c))/3 <= f((a+b+c)/3)= f(1/3) = 3/10
\u5373\uff1a a/(1+a^2)+b/(1+b^2)+c/(1+c^2)\u22649/10
\u5df2\u77e5a\u3001b\u3001c\u662f\u975e\u96f6\u5b9e\u6570,\u4e14a^2+b^2+c^2=1,a(1/b+1/c)+b(1/c+1/a)+c(1/a+1/b)=-3,\u6c42a+b+c\u7684\u503c
a(1/b+1/c)+b(1/c+1/a)+c(1/a+1/b)=-3
a(1/b+1/c)+1+b(1/c+1/a)+1+c(1/a+1/b)+1=-3+3
a(1/a+1/b+1/c)+b(1/a+1/b+1/c)+c(1/a+1/b+1/c)=0
(a+b+c)*(1/a+1/b+1/c)=0
a+b+c=0
\u62161/a+1/b+1/c=0
(bc+ac+ab)/(abc)=0
ab+ac+bc=0
a^2+b^2+c^2=1
a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc=1+0
(a+b+c)^2=1
a+b+c=1\u6216-1
\u7efc\u4e0a\u6240\u8ff0a+b+c=0\u62161\u6216-1
例如a+b+c = 1条件下, ab+bc+ca+(1/a+1/b+1/c)/1000, 在a = b = c = 1/3取得(局部)极大值.
但是a → 0时取值趋于无穷, 因此a = b = c = 1/3处的取值既不是最小值也不是最大值.
由均值不等式, 1+a² = 8/9+1/9+a² ≥ 8/9+2a/3 ≥ 0, 故a/(1+a²) ≤ a/(8/9+2a/3) = 9/2·a/(3a+4).
同理b/(1+b²) ≤ 9/2·b/(3b+4), c/(1+c²) ≤ 9/2·c/(3c+4).
只需证明a/(3a+4)+b/(3b+4)+c/(3c+4) ≤ 1/5, 即3a/(3a+4)+3b/(3b+4)+3c/(3c+4) ≤ 3/5,
只要证明4/(3a+4)+4/(3b+4)+4/(3c+4) ≥ 3-(3/5) = 12/5, 即5/(3a+4)+5/(3b+4)+5/(3c+4) ≥ 3.
而由均值不等式有5/(3a+4)+(3a+4)/5 ≥ 2, 即5/(3a+4) ≥ 2-(3a+4)/5 = 3(2-a)/5.
同理5/(3b+4) ≥ 3(2-b)/5, 5/(3c+4) ≥ 3(2-c)/5.
相加即得5/(3a+4)+5/(3b+4)+5/(3c+4) ≥ 3(6-(a+b+c))/5 = 3.
证毕.
上面过程将顺推和逆推混在一起, 所以逻辑上可能不够清晰.
可以把这个证明顺过来写(不过思路就看不出来了):
证明: 由均值不等式, 有5/(3a+4)+(3a+4)/5 ≥ 2, 即5/(3a+4) ≥ 2-(3a+4)/5 = 3(2-a)/5.
同理5/(3b+4) ≥ 3(2-b)/5, 5/(3c+4) ≥ 3(2-c)/5.
相加得5/(3a+4)+5/(3b+4)+5/(3c+4) ≥ 3(6-(a+b+c))/5 = 3.
而a/(3a+4) = 1/3·((3a+4)-4)/(3a+4) = 1/3-4/3·(1/(3a+4)) = 1/3-4/15·(5/(3a+4)).
同理b/(3b+4) = 1/3-4/15·(5/(3b+4)), c/(3c+4) = 1/3-4/15·(5/(3c+4)).
∴a/(3a+4)+b/(3b+4)+c/(3c+4) = 1-4/15·(5/(3a+4)+5/(3b+4)+5/(3c+4)) ≤ 1/5.
又由均值不等式, 1+a² = 8/9+1/9+a² ≥ 8/9+2a/3 ≥ 0,
∴a/(1+a²) ≤ a/(8/9+2a/3) = 9/2·a/(3a+4),
同理b/(1+b²) ≤ 9/2·b/(3b+4), c/(1+c²) ≤ 9/2·c/(3c+4).
∴a/(1+a²)+b/(1+b²)+c/(1+c²) ≤ 9/2·(a/(3a+4)+b/(3b+4)+c/(3c+4)) ≤ 9/10.
证毕.
另外如果能用Jensen不等式, 可以用函数x/(1+x²)在[0,1]的凸性证明.
此时可以很直接的说明a = b = c时取得最大值.
因为 a≥0,b≥0,c≥0 且 a+b+c=1, a,b,c为轮次对换式，所以，
设 a = 1 / 4 b = 1 / 4 c = 2 / 4
代入 a/(1+a^2）+b/（1+b^2）+c/(1+c^2) = 74 / 85 ＜ 9/10
设 a = b = c = 1 / 3 这时取最大值，
代入 a/(1+a^2）+b/（1+b^2）+c/(1+c^2) = 9/10
所以a/(1+a^2）+b/（1+b^2）+c/(1+c^2)≤9/10
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