已知三角形三边 求面积？ 已知三角形的三边长如何求面积？

\u5df2\u77e5\u4e09\u89d2\u5f62\u7684\u4e09\u8fb9\u957f\u5982\u4f55\u6c42\u9762\u79ef\uff1f

\u8fd9\u9053\u9898\u77e5\u9053\u4e09\u89d2\u5f62\u4e09\u6761\u8fb9\uff0c\u5982\u4f55\u6c42\u9762\u79ef\uff1f\u5de7\u5999\u5e94\u7528\u6d77\u4f26\u516c\u5f0f

\u5404\u7c7b\u4e09\u89d2\u5f62\u6c42\u9762\u79ef\u65b9\u5f0f\u5982\u4e0b\u6240\u793a\uff1a
1.\u5df2\u77e5\u4e09\u89d2\u5f62\u5e95a\uff0c\u9ad8h\uff0c\u5219 S=ah/2
2.\u5df2\u77e5\u4e09\u89d2\u5f62\u4e09\u8fb9a,b,c\uff0c\u5219
\uff08\u6d77\u4f26\u516c\u5f0f\uff09\uff08p=(a+b+c)/2\uff09
S=sqrt[p(p-a)(p-b)(p-c)]
=sqrt[(1/16)(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)]
=1/4sqrt[(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)]
3.\u5df2\u77e5\u4e09\u89d2\u5f62\u4e24\u8fb9a,b,\u8fd9\u4e24\u8fb9\u5939\u89d2C\uff0c\u5219S=1/2
absinC\uff0c\u5373\u4e24\u5939\u8fb9\u4e4b\u79ef\u4e58\u5939\u89d2\u7684\u6b63\u5f26\u503c\u3002
4.\u8bbe\u4e09\u89d2\u5f62\u4e09\u8fb9\u5206\u522b\u4e3aa\u3001b\u3001c\uff0c\u5185\u5207\u5706\u534a\u5f84\u4e3ar
\u5219\u4e09\u89d2\u5f62\u9762\u79ef=(a+b+c)r/2
5.\u8bbe\u4e09\u89d2\u5f62\u4e09\u8fb9\u5206\u522b\u4e3aa\u3001b\u3001c\uff0c\u5916\u63a5\u5706\u534a\u5f84\u4e3aR
\u5219\u4e09\u89d2\u5f62\u9762\u79ef=abc/4R
6.\u884c\u5217\u5f0f\u5f62\u5f0f

\u4e3a\u4e09\u9636\u884c\u5217\u5f0f\uff0c\u6b64\u4e09\u89d2\u5f62

\u5728\u5e73\u9762\u76f4\u89d2\u5750\u6807\u7cfb\u5185
\uff0c\u8fd9\u91cc
\u9009\u53d6\u6700\u597d\u6309\u9006\u65f6\u9488\u987a\u5e8f\u4ece\u53f3\u4e0a\u89d2\u5f00\u59cb\u53d6\uff0c\u56e0\u4e3a\u8fd9\u6837\u53d6\u5f97\u51fa\u7684\u7ed3\u679c\u4e00\u822c\u90fd\u4e3a\u6b63\u503c\uff0c\u5982\u679c\u4e0d\u6309\u8fd9\u4e2a\u89c4\u5219\u53d6\uff0c\u53ef\u80fd\u4f1a\u5f97\u5230\u8d1f\u503c\uff0c\u4f46\u4e0d\u8981\u7d27\uff0c\u53ea\u8981\u53d6\u7edd\u5bf9\u503c\u5c31\u53ef\u4ee5\u4e86\uff0c\u4e0d\u4f1a\u5f71\u54cd\u4e09\u89d2\u5f62\u9762\u79ef\u7684\u5927\u5c0f\u3002
\u8be5\u516c\u5f0f\u7684\u8bc1\u660e\u53ef\u4ee5\u501f\u52a9\u201c\u4e24\u5939\u8fb9\u4e4b\u79ef\u4e58\u5939\u89d2\u7684\u6b63\u5f26\u503c\u201d\u7684\u9762\u79ef\u516c\u5f0f \u3002
7.\u6d77\u4f26\u2014\u2014\u79e6\u4e5d\u97f6\u4e09\u89d2\u5f62\u4e2d\u7ebf\u9762\u79ef\u516c\u5f0f:
S=\u221a[(Ma+Mb+Mc)*(Mb+Mc-Ma)*(Mc+Ma-Mb)*(Ma+Mb-Mc)]/3
\u5176\u4e2dMa,Mb,Mc\u4e3a\u4e09\u89d2\u5f62\u7684\u4e2d\u7ebf\u957f.
8.\u6839\u636e\u4e09\u89d2\u51fd\u6570\u6c42\u9762\u79ef\uff1a
S= ½ab sinC=2R² sinAsinBsinC= a²sinBsinC/2sinA
\u6ce8:\u5176\u4e2dR\u4e3a\u5916\u5207\u5706\u534a\u5f84\u3002
9.\u6839\u636e\u5411\u91cf\u6c42\u9762\u79ef\uff1a

\u5176\u4e2d\uff0c(x1,y1,z1)\u4e0e(x2,y2,z2)\u5206\u522b\u4e3a\u5411\u91cfAB\u4e0eAC\u5728\u7a7a\u95f4\u76f4\u89d2\u5750\u6807\u7cfb\u4e0b\u7684\u5750\u6807\u8868\u8fbe\uff0c\u5373\uff1a
\u5411\u91cf\u4e34\u8fb9\u6784\u6210\u4e09\u89d2\u5f62\u9762\u79ef\u7b49\u4e8e\u5411\u91cf\u4e34\u8fb9\u6784\u6210\u5e73\u884c\u56db\u8fb9\u5f62\u9762\u79ef\u7684\u4e00\u534a\u3002

\u6269\u5c55\u8d44\u6599\u4e09\u89d2\u5f62\u9762\u79ef\u516c\u5f0f\u662f\u6307\u4f7f\u7528\u7b97\u5f0f\u8ba1\u7b97\u51fa\u4e09\u89d2\u5f62\u7684\u9762\u79ef\uff0c\u540c\u4e00\u5e73\u9762\u5185\uff0c\u4e14\u4e0d\u5728\u540c\u4e00\u76f4\u7ebf\u7684\u4e09\u6761\u7ebf\u6bb5\u9996\u5c3e\u987a\u6b21\u76f8\u63a5\u6240\u7ec4\u6210\u7684\u5c01\u95ed\u56fe\u5f62\u53eb\u505a\u4e09\u89d2\u5f62\uff0c\u7b26\u53f7\u4e3a\u25b3\u3002
\u5e38\u89c1\u7684\u4e09\u89d2\u5f62\u6309\u8fb9\u5206\u6709\u7b49\u8170\u4e09\u89d2\u5f62\uff08\u8170\u4e0e\u5e95\u4e0d\u7b49\u7684\u7b49\u8170\u4e09\u89d2\u5f62\u3001\u8170\u4e0e\u5e95\u76f8\u7b49\u7684\u7b49\u8170\u4e09\u89d2\u5f62\u5373\u7b49\u8fb9\u4e09\u89d2\u5f62\uff09\u3001\u4e0d\u7b49\u8170\u4e09\u89d2\u5f62\uff1b\u6309\u89d2\u5206\u6709\u76f4\u89d2\u4e09\u89d2\u5f62\u3001\u9510\u89d2\u4e09\u89d2\u5f62\u3001\u949d\u89d2\u4e09\u89d2\u5f62\u7b49\uff0c\u5176\u4e2d\u9510\u89d2\u4e09\u89d2\u5f62\u548c\u949d\u89d2\u4e09\u89d2\u5f62\u7edf\u79f0\u659c\u4e09\u89d2\u5f62\u3002
\u8d44\u6599\u6765\u6e90\uff1a\u4e09\u89d2\u5f62\u9762\u79ef\u516c\u5f0f_\u767e\u5ea6\u767e\u79d1

根据海伦公式求：

已知三角形的三边分别是a、b、c，求面积。

先算出周长的一半p=1/2(a+b+c)，然后根据公式，代入数值即可。

扩展资料：

用四边长无法表达某个四边形面积（某些特例除外），必须添加某些条件，比如角、对角线等。

婆罗摩笈多(Brahmagupta)在公元7世纪初的一部论及天文的著作中，给出了用四边长a、b、c、d表达圆内接四边形面积的婆罗摩笈多公式： 

解：令三角形ABC的三个边长分别为a，b，c。且三条边对于的角度分别为角A、角B、角C。

那么三角形中cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)

那么由(sinC)^2+(cosC)^2=1，可得

sinC=√(1-(cosC)^2)=√(4*b^2*c^2-(a^2+b^2-c^2)^2)/(2ab)

在三角形ABC中，底边b对应的高h=a*sinC=a*√(4*b^2*c^2-(a^2+b^2-c^2)^2)/(2ab)

=√(4*b^2*c^2-(a^2+b^2-c^2)^2)/(2b)

那么三角形ABC的面积S=1/2*b*h

=1/2*b*√(4*b^2*c^2-(a^2+b^2-c^2)^2)/(2b)

=√(4*b^2*c^2-(a^2+b^2-c^2)^2)/4

即三角形的面积等于√(4*b^2*c^2-(a^2+b^2-c^2)^2)/4。

扩展资料：

1、余弦定理表达式

对于任意三角形，任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。

若三边为a，b，c 三角为A、B、C，则余弦定理的表达式如下。

（1）c^2=a^2+b^2-2abcosC

（2）b^2=a^2+c^2-2accosB

（3）a^2=b^2+c^2-2bccosA

2、三角形面积公式

（1）三角形面积=底x高÷2。（其中，a是三角形的底，h是底所对应的高）。

（2）三角形的面积S=1/2*ab*sinC=1/2*ac*sinB=1/2*bc*sinA

3、三角形的性质

（1）三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。

（2） 在同一个三角形内，大边对大角，大角对大边。

（3）在三角形中至少有一个角大于等于60度，也至少有一个角小于等于60度。

参考资料来源：百度百科-余弦定理

参考资料来源：百度百科-三角形

图：阿基米德在思考着什么——为什么不让他做完那个最后的题目呢

阿基米德，究竟是何许牛人也？

阿基米德(Archimedes，约公元前287～212)，是古希腊物理学家、数学家，静力学和流体静力学的奠基人。罗马时代的科学史家普利尼把阿基米德誉为“数学之神”。阿基米德有惊人的创造力。他不但能将高超的计算技巧和严格的论证溶为一体，而且还还善于将抽象的理论和工程技术的具体应用紧密的组合起来。他是“理论天才与实验天才合于一人的理想化身”。

阿基米德有许多令人难以置信的功绩，这些功绩使他在他那个时代就成了一个传奇式人物。公元前212年，罗马将军马塞卢斯围困了西西里的叙拉古港，该城之王希伦请求阿基米德驱逐60艘敌舰，正好，阿基米德不久前发明了杠杆（这也是他的名言：“给我一个支点，我会搬动整个地球。”的来源），他将杠杆和滑轮结合在一起制成巨大的吊车，这些吊车将那些入侵的战船吊出了港口。在战斗中，吊车还得到弩石弹射器和凸面镜的协助，凸面镜把阳光聚焦到船上使船着火。结果，罗马舰队遭到了毁灭。马塞卢斯说：“我们不要和这个几何怪物进行战斗了，他拿我们的船当杯子，从海中舀水。”

阿基米德使敌人3年不敢接近。后来，有一个晚上，当叙拉古人忙于宗教庆典时，罗马士兵攀上城墙并打开城门。当马塞卢斯的军队蜂拥而入时，他告诉部下说：“任何人都不得斗胆对阿基米德妄动一个手指头，这人是我们的座上宾。”

马塞卢斯的一个士兵在庭院中找到阿基米德，其时，阿基米德正在沙地上画几何图形，一个三角形，这位士兵违抗指令而拔出了剑。阿基米德请求说：“我的朋友，在你杀死我之前，请告诉我怎样根据三条边的长度，将三角形的面积求出来好吗？”这位士兵没有等待就把剑刺向阿基米德，阿基米德躺倒在地，喃喃地说：“他们夺走了我的躯体，但我将取走我的灵魂。”说完安然死去。

阿基米德去了，一个千年的难题也就丢下了：如何根据一个三角形的三条边求它的面积呢？我们要做的还有一个简单的令人不屑的问题，如何求它的周长呢？

五步树梯法解题：

第一步：树梯子

这是最简陋一个图形（如图1），也是最基本的一步。

图1 图2

第二步：做头尾

上面的三部分，先分析开头和结尾部分，开头是什么呢？题中的已知可输入条件，也就是三条边的边长a，b，c。结尾是什么呢？处理完成后的两个结果，即周长l和面积s。

图3 图4

第三步：连头尾

如何将开头和结尾连接起来呢？也就是a，b，c和s与l的关系，分成两部分，即求周长l和求面积s（图3），怎样求呢？周长最简单，简单到不象题目似的，将三边a,b,c的值加起来就行了。面积呢，很难。如果我们就这样求下去，基本是解决不了问题的。怎么办呢？多亏在阿基米德去世大约三百年后，在希腊出来了另一位奇人，他就是海伦。

海伦（Heron of Alexandria）是希腊数学家。 约公元62年活跃于亚历山大， 他多才多艺，善于博采众长。在论证中大胆使 用某些经验性的近似公式，注重数学的实际应用。主要贡献是《度量论》一书。该书共3卷，分别论述平面图形的面积，立体图形的体积和将图形分成比例的问题。其中卷I第8题给出著名的海伦公式 的证明，设三角形边长分别是a、b、c，s是半周长（即s=(a+b+c)/2），则有Δ= 是三角形的面积。海伦用文字叙述了这一公式的证明，并举例加以 说明。（其实还有种说法说海伦公式是阿基米德发现的，但这个名称已成为习惯用法。）

正是海伦的贡献，使得阿基米德的难题可以轻易被我们攻破，轻易到什么程序呢？象做边长的那个题目一样地简单。

用上了海伦老先生的发明一切OK。用海伦公式（如图4），这也是本题的一大特色，如果没有这个公式，真不知如何解题是好，数学公式的妙处就在这里，有着化腐朽为神奇的力量，有着一种简洁的美感。在用的时候，为了更加方便，可先将二分之一周长通过k求出来。

第四步：贴语法

各个语句和具体语言的语法还有一定的差距，根据相应语言，还要再行将相应语句转化（如图5示）。

图5

第五步：写代码

下面可以很简单地写代码了。

input a,b,c

l=a+b+c

k=l/2

s=sqr(k*(k-a)*(k-b)*(k-c))

print s,l

阿兰开讲

阿基米德给我们的最大启示是：生子当如米德“牛”。连死的时候都是这么洒脱！这在历史上绝无仅有的。而对于编程，其意义更牛。给我们的另一启示是，解题要善于利用前人已有的东西。发明创造的素质是必有的，但是，现有的数学物理上的方法及公式，有时用一下，并不能泯灭我们的个性，相反地，会给我们的解题带来巨大的方便。

后面，我们将回到古老的中国大地，去继续探索编程故事。欲知后事如何，且听下回分解。

小测验：阿基米德的牛群

阿基米德牛群究竟是怎么回事呢？它真是由阿基米德提出来的吗，但不管是不是阿基米德，这是个非常牛的问题，至少有2，200年的历史了。

这个问题开始是这样的：“啊！朋友，如果你智慧过人，那就专心致志算出那天那群公牛的数目吧。它们曾在西西里岛的大平原上吃草，按毛色它们被分成4组：乳白牛、黑牛、黄牛和花斑牛。每组中的公牛数占大多数，它们之间的关系为：

1、白公牛=黄公牛＋（1/2＋1/3）黑公牛

2、黑公牛=黄公牛＋（1/4＋1/5）花斑

3、花斑公牛=黄公牛＋（1/6＋1/7）白公牛

4、白公牛=（1/3＋1/4）黑牛

5、黑公牛=（1/4＋1/5）花斑公牛

6、花斑公牛=（1/5＋1/6）黄牛

7、黄公牛=（1/6＋1/7）白牛

该问题继续说：“啊！朋友，如果你能算出每群中公牛和母牛的数目，你还是称不上无所不知或精通数字，也不能被列入智者之列。”

然而，阿基米德并未就此停止。他对公牛数目另外又提出了两项限制条件，从而使这问题变得难多了：

8．白公牛＋黑公牛＝一个平方数。

9．花斑公牛＋黄公牛＝一个三角数。

问题最后说：“如果你已算出这群牛的总数，噢！朋友，你俨然就是一个征服者了，不消说，你就是数字科学方面的专家了。”

假设有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面积S可由以下公式求得：
S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
而公式里的p为半周长：
p=(a+b+c)/2
设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C，则余弦定理为
cosC = (a^2+b^2-c^2)/2ab

S=1/2*ab*sinC
=1/2*ab*√(1-cos^2 C)
=1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2]
=1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2]
=1/4*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)]
=1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]
=1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]

设p=(a+b+c)/2
则p=(a+b+c)/2, p-a=(-a+b+c)/2, p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2,

上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16]
=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
所以，三角形ABC面积S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]

这道题知道三角形三条边，如何求面积？巧妙应用海伦公式

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