极坐标求解二重积分 极坐标下的二重积分计算？？？？？
\u6781\u5750\u6807\u7cfb\u91cc\u7684\u4e8c\u91cd\u79ef\u5206r\u662f\u6307\u4ec0\u4e48\u53ef\u4ee5\u7528\u6781\u5750\u6807\u4ee3\u66ff\u76f4\u89d2\u5750\u6807\u3002\u79ef\u5206\u7ed3\u679c\u51e0\u4f55\u4e0a\u4e3a\u79ef\u5206\u51fd\u6570\u548c\u79ef\u5206\u533a\u57df\u6240\u56f4\u6210\u7684\u4f53\u79ef\u3002\u79ef\u5206\u533a\u57df\u53ef\u4ee5\u65e0\u9650\u5212\u5206\u4e3a\u66f4\u5c0f\u7684\u533a\u57df\u3002
\u6781\u5750\u6807\u4e0b\uff0c\u4e8c\u5143\u51fd\u6570\u7684\u51e0\u4f55\u610f\u4e49\u662f\u76f8\u540c\u7684\uff0c\u5373\u4e8c\u5143\u51fd\u6570\u4e0e\u5b9a\u4e49\u57df\u56f4\u6210\u7684\u4f53\u79ef\u3002\u79ef\u5206\u533a\u57df\u4e0d\u786e\u5b9a\uff0c\u5927\u90e8\u5206\u60c5\u51b5\u4e0b\uff0c\u9996\u5148\u7ed9\u5b9a\u89d2\u5ea6\uff0c\u5bf9r\u505a\u79ef\u5206\u3002\u79ef\u5206\u5bf9\u8c61\u53d8\u590d\u6742\uff0c\u56e0\u4e3a\u5f15\u5165\u4e86\u4e09\u89d2\u51fd\u6570\u3002
\u5f53\u5316\u4e3a\u4e8c\u6b21\u79ef\u5206\u65f6\u901a\u5e38\u5148\u5bf9r\u79ef\u5206\u540e\u5bf9\u03b8\u79ef\u5206\u3002\u5076\u5c14\u60c5\u51b5\u6709\u53d8\u3002
\u6269\u5c55\u8d44\u6599
1\u3001\u5f53\u533a\u57dfD\u662f\u5706\u5f62\u3001\u6247\u5f62\u3001\u73af\u5f62\u6216\u8005\u5b83\u4eec\u7684\u4e00\u90e8\u5206\u65f6\uff0c\u800c\u88ab\u79ef\u51fd\u6570\u4e3af\uff08x²+y²\uff09\u3001f\uff08x/y\uff09\u3001f\uff08y/x\uff09\u65f6\u53ef\u5728\u6781\u5750\u6807\u7cfb\u4e2d\u8ba1\u7b97\u4e8c\u91cd\u79ef\u5206\u3002
2\u3001\u4e8c\u91cd\u79ef\u5206\u7684\u8ba1\u7b97\u8fc7\u7a0b\u4e2d\uff0c\u5982\u4f55\u9009\u62e9\u6240\u5316\u7684\u4e8c\u6b21\u79ef\u5206\u7684\u6b21\u5e8f\u662f\u4e00\u4e2a\u8981\u70b9\u3002\u901a\u5e38\u53ef\u6839\u636e\u56fe\u5f62\u7ed3\u6784\u7279\u70b9\u9009\u62e9\u80fd\u4f7f\u6240\u5316\u7684\u4e8c\u6b21\u79ef\u5206\u8f83\u4e3a\u7b80\u5355\u7684\u90a3\u79cd\u6b21\u5e8f\u3002
3\u3001\u5728\u8ba1\u7b97\u4e8c\u6b21\u79ef\u5206\u65f6\uff0c\u5bf9\u7b2c\u4e00\u4e2a\u79ef\u5206\u53d8\u91cf\u79ef\u5206\u65f6\uff0c\u7b2c\u4e8c\u4e2a\u53d8\u91cf\u5e94\u89c6\u4e3a\u4e0e\u5176\u65e0\u5173\u7684\u5e38\u6570\u3002
\u53c2\u8003\u8d44\u6599\u6765\u6e90\uff1a\u767e\u5ea6\u767e\u79d1-\u4e8c\u91cd\u79ef\u5206
很明显，积分区域为y=x^2与y=1所围成的区域
另x=rcosθ，y=rsinθ，其中0≤θ≤π
0≤θ≤π/4，或3π/4≤θ≤π过原点，倾角为θ的直线方程为y=xtanθ，与y=x^2联立，得到交点的坐标为[tanθ，(tanθ)^2]，则边界曲线上的点到原点的距离为|tanθ|·√[1+(tanθ)^2]=|tanθ·secθ|=sinθ/(cosθ)^2
所以此时转换为极坐标的积分为
π/4<θ<3π/4时，边界曲线上的点，纵坐标恒为1，则到原点的距离为1/sinθ
所以此时转换为极坐标的积分为
先确定积分区域，为y=x^2，y取值范围为0~1.对积分区域进行极坐标表示。由原点引一条射线可知积分区域边界有两个。分为两个区域。即0~pi/4和pi/4~pi/2。（由于对称性考虑半个区域）。ρ的上下限根据θ的取值决定。pi/4~pi/2时取0~1/sinθ。当0~pi/4时边界为y=x^2可用以下方法球上下限。原函数为y=x^2，y=ρsinθ，x=pcosθ，代入。则有ρsinθ=（pcosθ）^2。求得ρ=0；ρ=sinθ/cosθ^2即为其上下限。最后得：
绛旓細瑙ｏ細锛5锛夊師寮=鈭<0,2蟺>d胃鈭<蟺,2蟺>r*sinrdr (浣鏋佸潗鏍鍙樻崲)=2蟺(-3蟺) (搴旂敤鍒嗛儴绉垎娉)=-6蟺^2锛涳紙6锛夊師寮=鈭<0,蟺/2>d胃鈭<1,2>胃*rdr (浣滄瀬鍧愭爣鍙樻崲)=鈭<0,蟺/2>胃d胃鈭<1,2>rdr =((蟺^2/8)(2-1/2)=3蟺^2/16銆
绛旓細鈭玿鈭(3-2x) dx =-(1/2)鈭(3-2x)鈭(3-2x) dx + (3/2)鈭垰(3-2x) dx =-(1/2)鈭(3-2x)^(3/2) dx + (3/2)鈭垰(3-2x) dx =(1/4)鈭(3-2x)^(3/2) d(3-2x) - (3/4)鈭垰(3-2x) d(3-2x)=(1/10)(3-2x)^(5/2) - (1/8)(3-2x)^(3/2) + ...
绛旓細骞夸箟鏋佸潗鏍鍙樻崲锛歺=a rcost锛寉=b rsint锛岀洿瑙掑潗鏍(x锛寉) 鏋佸潗鏍囷紙r锛宼锛夛紝闈㈢Н鍏冪礌dxdy= a b r drdt锛岄潰绉= t锛0-->2pi锛宺锛0-->1 琚Н鍑芥暟鏄痑br 鐨浜岄噸绉=鈭0,2蟺銆慸t鈭0,1銆慳brdr=2蟺*ab*(1/2)=蟺ab 鏍规嵁鏋佸潗鏍囧拰鐩磋鍧愭爣鐨勮浆鍖栧叕寮忥紝浠ｄ汉D鐨勪笉绛夊紡涓嵆鍙紝鏋佸潗鏍...
绛旓細浜岄噸绉垎缁忓父鎶婄洿瑙掑潗鏍囪浆鍖栦负鏋佸潗鏍囧舰寮忎富瑕佸叕寮忔湁x=蟻cos胃 y=蟻sin胃 x^2+y^2=蟻^2 dxdy=蟻d蟻d胃锛涙瀬鐐规槸鍘熸潵鐩磋鍧愭爣鐨勫師鐐逛互涓嬫槸姹傁佸拰胃鑼冨洿鐨勬柟娉曪細涓鑸浆鎹㈡瀬鍧愭爣鏄洜涓烘湁x^2+y^2瀛樺湪,杞崲鍚庤绠楁柟渚块鐩腑浼氱粰涓涓獂,y鐨勯檺瀹氳寖鍥达紝涓鑸槸涓渾灏唜=蟻cos胃 y=蟻sin胃浠ｈ繘鍘诲彲浠...
绛旓細瑙ｏ細鍧囧彲浠ョ洿瑙掑潗鏍囩郴鐨勫師鐐逛负鏋佺偣銆亁杞存鍚戜负鏋佽酱鏂瑰悜锛屽缓绔鏋佸潗鏍绯伙紝璁緓=rcos胃锛寉=rsin胃鍙樻崲姹傝В銆傘愯鍦嗙殑鍗婂緞涓篴銆戜粠宸﹀埌鍙筹紝绗1鍥撅紝绉垎鍖哄煙D={(r,胃)涓0鈮鈮2asin胃锛0鈮の糕墹蟺}銆傜2鍥撅紝绉垎鍖哄煙D={(r,胃)涓0鈮鈮2acos胃锛-蟺/2鈮の糕墹蟺/2}銆傜3鍥撅紝鏋佽酱鍜屾瀬瑙掑彇鍐...
绛旓細浜岄噸绉垎鏋佸潗鏍杞崲鍏紡濡備笅锛氳D鏄钩闈笂鐨勪竴涓尯鍩燂紝鍏惰竟鐣屾槸鐢辨洸绾肯侊紙胃锛夊拰鐩寸嚎蟻+a缁勬垚锛屽叾涓璦鏄父鏁般傚鏋淒鐨勮竟鐣屾洸绾垮湪鏋佸潗鏍囩郴涓〃绀轰负蟻锛埼革級锛屽垯鍦ㄧ洿瑙掑潗鏍囩郴涓紝D鐨勮竟鐣屾洸绾胯〃绀轰负x=蟻cos胃锛寉=蟻sin胃銆傚洜姝わ紝浜岄噸绉垎鍙互鍐欐垚锛氣埆鈭紙D锛塮锛坸锛寉锛塪xdy=鈭埆锛圖锛塮锛埾乧os胃...
绛旓細鏋佸潗鏍涓嬬殑浜岄噸绉垎鍏紡鎺ㄧ悊杩囩▼濡備笅锛氫竴銆佽繃绋 1銆佸亣璁惧钩闈笂鐨勫尯鍩熺敱涓や釜鍑芥暟f锛坸锛寉锛夊拰g锛坸锛寉锛夋墍纭畾锛屽叾涓璮锛坸锛寉锛夎〃绀鸿鍖哄煙鍐呯殑瀵嗗害鍒嗗竷鍑芥暟锛実锛坸锛寉锛夎〃绀鸿鍖哄煙鍐呯殑楂樺害鍒嗗竷鍑芥暟銆2銆佸垯璇ュ尯鍩熺殑闈㈢Н鎴栦綋绉彲浠ラ氳繃浠ヤ笅鍏紡璁＄畻锛氣埆Df锛坸锛寉锛塯锛坸锛寉锛塪xdy=鈭紙0锛2蟺锛塪胃鈭...
绛旓細鐢鏋佸潗鏍囨眰浜岄噸绉垎锛岄渶瑕佽繘琛屼互涓嬫楠わ細鑰冭檻绉垎鍖哄煙锛氶鍏堬紝纭畾瑕佺Н鍒嗙殑鍖哄煙锛屽苟灏嗗叾鐢ㄦ瀬鍧愭爣琛ㄧず銆傚湪鏋佸潗鏍囦笅锛岀偣鐨勪綅缃敱鏋佸緞锛坮锛夊拰鏋佽锛埼革級鍐冲畾銆傜‘瀹氭瀬鍧愭爣杞崲锛氬皢绗涘崱灏斿潗鏍囩郴涓嬬殑绉垎琛ㄨ揪寮忚浆鎹负鏋佸潗鏍囧舰寮忋傝繖闇瑕佸皢绉垎鍖哄煙鐨勮竟鐣屾洸绾跨敤鏋佸潗鏍囧弬鏁板寲銆傞氬父锛岄渶瑕佺‘瀹氭瀬鍧愭爣涓嬬殑鏋侀檺鍊硷紝鍗...
绛旓細鍒╃敤绉垎鍖哄煙鍏充簬y=x瀵圭О銆佽浆鍖栨垚鏋佸潗鏍囨眰瑙銆傝x=蟻cos胃锛寉=蟻sin胃銆傗埓0鈮の糕墹蟺/4锛0鈮は佲墹asec胃銆傗埓鍘熷紡=2鈭(0,蟺/4)d胃鈭(0,asec胃)蟻²d蟻銆傝岋紝鈭(0,asec胃)蟻²d蟻=蟻³/3涓(蟻=0,asec胃)=(asec胃)³/3銆傗埓鍘熷紡=(2a³/3)鈭(0,...
绛旓細浜岄噸绉垎鏋佸潗鏍囪绠鏂规硶濡備笅锛氭牴鎹彉閲忎箣闂寸殑鍏崇郴锛屼簩閲嶇Н鍒嗕腑琚Н鍑芥暟鐨勮浆鍖 浜庢槸锛屼簩閲嶇Н鍒嗕粠鐩磋鍧愭爣绯昏浆鍖栦负鏋佸潗鏍囦负 鏋佸潗鏍囩郴涓嬩簩閲嶇Н鍒嗗寲涓虹疮娆＄Н鍒嗙殑涓夌鎯呭舰锛氫竴銆佸尯鍩熺壒寰佸涓嬪浘锛氭瀬鐐筄鍦ㄧН鍒嗗尯鍩烡澶 鍏朵腑 1.胃 鐨勭Н鍒嗛檺纭畾鏂规硶锛氱Н鍒嗗尯鍩烡鐨勮竟鐣屼笌鏋佺偣杩炵嚎锛岃繛绾夸笌鏋佽酱姝ｅ悜鐨勫す瑙掓渶灏忓嘉变负...
