罗尔中值定理 什么是罗尔中值定理？

\u7f57\u5c14\u4e2d\u503c\u5b9a\u7406

\u7f57\u5c14\u4e2d\u503c\u5b9a\u7406\u662f\u5fae\u5206\u5b66\u4e2d\u4e00\u6761\u91cd\u8981\u7684\u5b9a\u7406\uff0c\u662f\u4e09\u5927\u5fae\u5206\u4e2d\u503c\u5b9a\u7406\u4e4b\u4e00\uff0c\u5176\u4ed6\u4e24\u4e2a\u5206\u522b\u4e3a\uff1a\u62c9\u683c\u6717\u65e5\uff08Lagrange\uff09\u4e2d\u503c\u5b9a\u7406\u3001\u67ef\u897f\uff08Cauchy\uff09\u4e2d\u503c\u5b9a\u7406\u3002\u7f57\u5c14\u5b9a\u7406\u5c31\u662f\u53ef\u5bfc\u51fd\u6570\u6570\u503c\u76f8\u7b49\u7684\u4e24\u4e2a\u70b9\u4e4b\u95f4\u81f3\u5c11\u5b58\u5728\u4e00\u6761\u6c34\u5e73\u5207\u7ebf\u3002
\u62c9\u683c\u6717\u65e5\u4e2d\u503c\u5b9a\u7406\u7684\u610f\u601d\u5c31\u662f\uff1a\u8fde\u63a5\u56fe\u50cf\u4e0a\u4e24\u4e2a\u70b9 A, B \u753b\u4e00\u6761\u7ebf\uff0c\u8981\u6c42\u753b\u51fa\u7684\u7ebf\u6bcf\u4e2a\u70b9\u90fd\u8fde\u7eed\u53ef\u5bfc\uff0c\u90a3\u4e48\u753b\u51fa\u7684\u8fd9\u6761\u7ebf\u4e2d\u81f3\u5c11\u4f1a\u6709\u4e00\u4e2a\u70b9\u5904\u7684\u5207\u7ebf\u662f\u4e0e\u8fde\u63a5 A, B \u7684\u76f4\u7ebf\u5e73\u884c\u7684\u3002
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\u6269\u5c55\u8d44\u6599
\u4e2d\u503c\u5b9a\u7406\u7684\u5e94\u7528\u4e3b\u8981\u662f\u4ee5\u4e2d\u503c\u5b9a\u7406\u4e3a\u57fa\u7840\uff0c\u5e94\u7528\u5bfc\u6570\u5224\u65ad\u51fd\u6570\u4e0a\u5347\uff0c\u4e0b\u964d\uff0c\u53d6\u6781\u503c\uff0c\u51f9\u5f62\uff0c\u51f8\u5f62\u548c\u62d0\u70b9\u7b49\u9879\u7684\u91cd\u8981\u6027\u6001\u3002\u4ece\u800c\u80fd\u628a\u63e1\u4f4f\u51fd\u6570\u56fe\u8c61\u7684\u5404\u79cd\u51e0\u4f55\u7279\u5f81\u3002\u5728\u6781\u503c\u95ee\u9898\u4e0a\u4e5f\u6709\u91cd\u8981\u7684\u5b9e\u9645\u5e94\u7528\u3002
\u51e0\u4f55\u610f\u4e49\uff1a\u82e5\u8fde\u7eed\u66f2\u7ebfy=f(x)\u5728A(a,f(a)),B(b,f(b))\u4e24\u70b9\u95f4\u7684\u6bcf\u4e00\u70b9\u5904\u90fd\u6709\u4e0d\u5782\u76f4\u4e8ex\u8f74\u7684\u5207\u7ebf,\u5219\u66f2\u7ebf\u5728A,B\u95f4\u81f3\u5c11\u5b58\u57281\u70b9P(c,f(c)),\u4f7f\u5f97\u8be5\u66f2\u7ebf\u5728P\u70b9\u7684\u5207\u7ebf\u4e0e\u5272\u7ebfAB\u5e73\u884c\u3002
\u7269\u7406\u610f\u4e49\uff1a\u5bf9\u4e8e\u76f4\u7ebf\u8fd0\u52a8\uff0c\u5728\u4efb\u610f\u4e00\u4e2a\u8fd0\u52a8\u8fc7\u7a0b\u4e2d\u81f3\u5c11\u5b58\u5728\u4e00\u4e2a\u4f4d\u7f6e\uff08\u6216\u4e00\u4e2a\u65f6\u523b\uff09\u7684\u77ac\u65f6\u901f\u5ea6\u7b49\u4e8e\u8fd9\u4e2a\u8fc7\u7a0b\u4e2d\u7684\u5e73\u5747\u901f\u5ea6\u3002

\u7f57\u5c14\uff08Rolle\uff09\u4e2d\u503c\u5b9a\u7406\u662f\u5fae\u5206\u5b66\u4e2d\u4e00\u6761\u91cd\u8981\u7684\u5b9a\u7406\uff0c\u662f\u4e09\u5927\u5fae\u5206\u4e2d\u503c\u5b9a\u7406\u4e4b\u4e00\uff0c\u5176\u4ed6\u4e24\u4e2a\u5206\u522b\u4e3a\uff1a\u62c9\u683c\u6717\u65e5\uff08Lagrange\uff09\u4e2d\u503c\u5b9a\u7406\u3001\u67ef\u897f\uff08Cauchy\uff09\u4e2d\u503c\u5b9a\u7406\u3002
\u7f57\u5c14\u5b9a\u7406\u63cf\u8ff0\u5982\u4e0b\uff1a
\u5982\u679c R \u4e0a\u7684\u51fd\u6570 f(x) \u6ee1\u8db3\u4ee5\u4e0b\u6761\u4ef6\uff1a
\uff081\uff09\u5728\u95ed\u533a\u95f4 [a,b] \u4e0a\u8fde\u7eed
\uff082\uff09\u5728\u5f00\u533a\u95f4 (a,b) \u5185\u53ef\u5bfc
\uff083\uff09f(a)=f(b)\uff0c\u5219\u81f3\u5c11\u5b58\u5728\u4e00\u4e2a \u03be\u2208(a,b)\uff0c\u4f7f\u5f97 f'(\u03be)=0\u3002
\u6269\u5c55\u8d44\u6599
\u8bc1\u660e\uff1a\u56e0\u4e3a\u51fd\u6570 f(x) \u5728\u95ed\u533a\u95f4[a,b] \u4e0a\u8fde\u7eed\uff0c\u6240\u4ee5\u5b58\u5728\u6700\u5927\u503c\u4e0e\u6700\u5c0f\u503c\uff0c\u5206\u522b\u7528 M \u548c m \u8868\u793a\uff0c\u5206\u4e24\u79cd\u60c5\u51b5\u8ba8\u8bba\uff1a
1. \u82e5 M=m\uff0c\u5219\u51fd\u6570 f(x) \u5728\u95ed\u533a\u95f4 [a,b] \u4e0a\u5fc5\u4e3a\u5e38\u51fd\u6570\uff0c\u7ed3\u8bba\u663e\u7136\u6210\u7acb\u3002
2. \u82e5 M>m\uff0c\u5219\u56e0\u4e3a f(a)=f(b) \u4f7f\u5f97\u6700\u5927\u503c M \u4e0e\u6700\u5c0f\u503c m \u81f3\u5c11\u6709\u4e00\u4e2a\u5728 (a,b) \u5185\u67d0\u70b9\u03be\u5904\u53d6\u5f97\uff0c\u4ece\u800c\u03be\u662ff(x)\u7684\u6781\u503c\u70b9\uff0c\u53c8\u6761\u4ef6 f(x) \u5728\u5f00\u533a\u95f4 (a,b) \u5185\u53ef\u5bfc\u5f97\uff0cf(x) \u5728 \u03be \u5904\u53d6\u5f97\u6781\u503c\uff0c\u7531\u8d39\u9a6c\u5f15\u7406\uff0c\u53ef\u5bfc\u7684\u6781\u503c\u70b9\u4e00\u5b9a\u662f\u9a7b\u70b9\uff0c\u63a8\u77e5\uff1af'(\u03be)=0\u3002
\u53e6\u8bc1\uff1a\u82e5 M>m \uff0c\u4e0d\u59a8\u8bbef(\u03be)=M\uff0c\u03be\u2208(a,b)\uff0c\u7531\u53ef\u5bfc\u6761\u4ef6\u77e5\uff0cf'(\u03be+)=0\uff0c\u53c8\u7531\u6781\u9650\u5b58\u5728\u5b9a\u7406\u77e5\u5de6\u53f3\u6781\u9650\u5747\u4e3a 0\uff0c\u5f97\u8bc1\u3002

罗尔（Rolle）中值定理是微分学中一条重要的定理，是三大微分中值定理之一，其他两个分别为：拉格朗日（Lagrange）中值定理、柯西（Cauchy）中值定理。

罗尔定理描述如下：

如果 R 上的函数 f(x) 满足以下条件：

（1）在闭区间 [a,b] 上连续。

（2）在开区间 (a,b) 内可导。

（3）f(a)=f(b)，则至少存在一个 ξ∈(a,b)，使得 f'(ξ)=0。

扩展资料：

证明过程

证明：因为函数 f(x) 在闭区间[a,b] 上连续，所以存在最大值与最小值，分别用 M 和 m 表示，分两种情况讨论：

1. 若 M=m，则函数 f(x) 在闭区间 [a,b] 上必为常函数，结论显然成立。

2. 若 M>m，则因为 f(a)=f(b) 使得最大值 M 与最小值 m 至少有一个在 (a,b) 内某点ξ处取得，从而ξ是f(x)的极值点，又条件 f(x) 在开区间 (a,b) 内可导得，f(x) 在 ξ 处取得极值，由费马引理推知：f'(ξ)=0。

另证：若 M>m ，不妨设f(ξ)=M，ξ∈(a,b)，由可导条件知，f'(ξ+)<=0，f'(ξ-)>=0，又由极限存在定理知左右极限均为 0，得证。

罗尔中值定理是微分学中一条重要的定理，是三大微分中值定理之一，其他两个分别为：拉格朗日（Lagrange）中值定理、柯西（Cauchy）中值定理。罗尔定理就是可导函数数值相等的两个点之间至少存在一条水平切线。

拉格朗日中值定理的意思就是：连接图像上两个点 A, B 画一条线，要求画出的线每个点都连续可导，那么画出的这条线中至少会有一个点处的切线是与连接 A, B 的直线平行的。

比如有一辆汽车加速行驶，用8秒时间将距离从0推进到200米，很容易算出这8秒钟内汽车的平均速度为25米/秒，那么在这8秒内一定有某一时刻汽车的速度正好是25米/秒。

扩展资料

中值定理的应用主要是以中值定理为基础，应用导数判断函数上升，下降，取极值，凹形，凸形和拐点等项的重要性态。从而能把握住函数图象的各种几何特征。在极值问题上也有重要的实际应用。

几何意义：若连续曲线y=f(x)在A(a,f(a)),B(b,f(b))两点间的每一点处都有不垂直于x轴的切线,则曲线在A,B间至少存在1点P(c,f(c)),使得该曲线在P点的切线与割线AB平行。

物理意义：对于直线运动，在任意一个运动过程中至少存在一个位置（或一个时刻）的瞬时速度等于这个过程中的平均速度。

罗尔（Rolle）中值定理 如果函数f(x)满足：①在[a,b]上连续,②在(a,b)内可导,③f(a)=f(b),则至少存在一个ξ∈(a,b),使得 f'(ξ)=0.
解题过程如下

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