2020-11-08
本文是《奥数小丛书》系列笔记，作用有以下两点：
本文对于基本概念的表达并不完善，对于习题的表述也很缺失。
因此如果有兴趣学习，应当自行购买一本教材。
应当指出，学习不应该急功近利。至少在很长的一段时间里，只有踏踏实实完成学习，加深理解、灵活运用才能有所收获、取得成绩。
对于数学科目，尤其应当在充分理解公式和性质的前提下总结解题方法。踏踏实实指的绝不是对基本概念倒背如流，而是对学科框架有总体认识，对学科知识有相互联系，对解题思路有充分整理，在学习中注重辩证法的运用。
把一个整式写成几个整式的乘积，称为 因式分解 ，每一个乘式称为积的 因式 。
在因式分解中，通常要求各个乘式都是 既约多项式 ，这样的因式称为 质因式 。
因式分解的方法，我们将逐一介绍。
在 为正整数时
在 为正奇数时
提公因式
如
代入公式
如
分组不恰当时，应当回到分组前的状况，考虑新的分组。
在分组分解时，常常将项数平均分配，当项数不足时，可以考虑拆开中项。
拆项的目的无非是在适当分组之后使得每一组都可以“提”或者“代” ，因此有时也不一定是拆开中项，可以考虑拆常数项。
特别地，当系数和为
添 观察十字相乘
此时有 的 ，有理根均为整数根
将非齐次轮换式表示为齐次轮换式之和或差。
复数 ?
虚数 ?
共轭复数 ? 和
因此,实系数多项式的虚根两两共轭
多项式 的根称为 n 次单位根
利用三次虚单位 处理
应当注意，艾氏判别法可能不能直接运用，此时可以通过换元等变换操作后进行运用。
推论：
对代数式进行 以 2 为模的算术
在这种算术中，有一次多项式
例如， 可以归为第一种， 可以归为第二种，而 并非一次多项式
在这种算术中，有二次多项式
其中 ，都不是既约多项式，只有 为既约多项式。
运用 以 2 为模的算术 进行既约证明的两种思路如下
本原单位根
分圆多项式
在代数中有一条一般定理：
该定理的证明详见此处： 分圆多项式
二元二次多项式
在 时，绝对不可约。在解析几何中可知，这也是二次曲面不退化为两条直线的必要条件。
在 时，在复数集内可约。
在 时，在实数集内可约。
在 均为有理数的平方时，在有理数集内可约。不可约
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