数学图论中有哪些典型模型 数学模型有哪些
\u5e38\u89c1\u7684\u6570\u5b66\u6a21\u578b\u6709\u54ea\u4e9b1\u3001\u751f\u7269\u5b66\u6570\u5b66\u6a21\u578b
2\u3001\u533b\u5b66\u6570\u5b66\u6a21\u578b
3\u3001\u5730\u8d28\u5b66\u6570\u5b66\u6a21\u578b
4\u3001\u6c14\u8c61\u5b66\u6570\u5b66\u6a21\u578b
5\u3001\u7ecf\u6d4e\u5b66\u6570\u5b66\u6a21\u578b
6\u3001\u793e\u4f1a\u5b66\u6570\u5b66\u6a21\u578b
7\u3001\u7269\u7406\u5b66\u6570\u5b66\u6a21\u578b
8\u3001\u5316\u5b66\u6570\u5b66\u6a21\u578b
9\u3001\u5929\u6587\u5b66\u6570\u5b66\u6a21\u578b
10\u3001\u5de5\u7a0b\u5b66\u6570\u5b66\u6a21\u578b
11\u3001\u7ba1\u7406\u5b66\u6570\u5b66\u6a21\u578b
\u6269\u5c55\u8d44\u6599
\u6570\u5b66\u6a21\u578b\u7684\u5386\u53f2\u53ef\u4ee5\u8ffd\u6eaf\u5230\u4eba\u7c7b\u5f00\u59cb\u4f7f\u7528\u6570\u5b57\u7684\u65f6\u4ee3\u3002\u968f\u7740\u4eba\u7c7b\u4f7f\u7528\u6570\u5b57\uff0c\u5c31\u4e0d\u65ad\u5730\u5efa\u7acb\u5404\u79cd\u6570\u5b66\u6a21\u578b\uff0c\u4ee5\u89e3\u51b3\u5404\u79cd\u5404\u6837\u7684\u5b9e\u9645\u95ee\u9898\u3002
\u6570\u5b66\u6a21\u578b\u8fd9\u79cd\u6570\u5b66\u7ed3\u6784\u662f\u501f\u52a9\u4e8e\u6570\u5b66\u7b26\u53f7\u523b\u5212\u51fa\u6765\u7684\u67d0\u79cd\u7cfb\u7edf\u7684\u7eaf\u5173\u7cfb\u7ed3\u6784\u3002\u4ece\u5e7f\u4e49\u7406\u89e3\uff0c\u6570\u5b66\u6a21\u578b\u5305\u62ec\u6570\u5b66\u4e2d\u7684\u5404\u79cd\u6982\u5ff5\uff0c\u5404\u79cd\u516c\u5f0f\u548c\u5404\u79cd\u7406\u8bba\u3002
\u56e0\u4e3a\u5b83\u4eec\u90fd\u662f\u7531\u73b0\u5b9e\u4e16\u754c\u7684\u539f\u578b\u62bd\u8c61\u51fa\u6765\u7684\uff0c\u4ece\u8fd9\u610f\u4e49\u4e0a\u8bb2\uff0c\u6574\u4e2a\u6570\u5b66\u4e5f\u53ef\u4ee5\u8bf4\u662f\u4e00\u95e8\u5173\u4e8e\u6570\u5b66\u6a21\u578b\u7684\u79d1\u5b66\u3002\u4ece\u72ed\u4e49\u7406\u89e3\uff0c\u6570\u5b66\u6a21\u578b\u53ea\u6307\u90a3\u4e9b\u53cd\u6620\u4e86\u7279\u5b9a\u95ee\u9898\u6216\u7279\u5b9a\u7684\u5177\u4f53\u4e8b\u7269\u7cfb\u7edf\u7684\u6570\u5b66\u5173\u7cfb\u7ed3\u6784\uff0c\u8fd9\u4e2a\u610f\u4e49\u4e0a\u4e5f\u53ef\u7406\u89e3\u4e3a\u8054\u7cfb\u4e00\u4e2a\u7cfb\u7edf\u4e2d\u5404\u53d8\u91cf\u95f4\u5185\u7684\u5173\u7cfb\u7684\u6570\u5b66\u8868\u8fbe\u3002
\u53c2\u8003\u8d44\u6599\u6765\u6e90\uff1a\u767e\u5ea6\u767e\u79d1-\u6570\u5b66\u6a21\u578b
\u6570\u5b66\u5efa\u6a21\u5e38\u7528\u6a21\u578b\u4e3b\u8981\u6709\uff1a
1\u3001\u8499\u7279\u5361\u7f57\u7b97\u6cd5\uff08\u8be5\u7b97\u6cd5\u53c8\u79f0\u968f\u673a\u6027\u6a21\u62df\u7b97\u6cd5,\u662f\u901a\u8fc7\u8ba1\u7b97\u673a\u4eff\u771f\u6765\u89e3\u51b3\u95ee\u9898\u7684\u7b97
\u6cd5,\u540c\u65f6\u53ef\u4ee5\u901a\u8fc7\u6a21\u62df\u53ef\u4ee5\u6765\u68c0\u9a8c\u81ea\u5df1\u6a21\u578b\u7684\u6b63\u786e\u6027,\u662f\u6bd4\u8d5b\u65f6\u5fc5\u7528\u7684\u65b9\u6cd5\uff09
2\u3001\u6570\u636e\u62df\u5408\u3001\u53c2\u6570\u4f30\u8ba1\u3001\u63d2\u503c\u7b49\u6570\u636e\u5904\u7406\u7b97\u6cd5\uff08\u6bd4\u8d5b\u4e2d\u901a\u5e38\u4f1a\u9047\u5230\u5927\u91cf\u7684\u6570\u636e\u9700\u8981
\u5904\u7406,\u800c\u5904\u7406\u6570\u636e\u7684\u5173\u952e\u5c31\u5728\u4e8e\u8fd9\u4e9b\u7b97\u6cd5,\u901a\u5e38\u4f7f\u7528Matlab\u4f5c\u4e3a\u5de5\u5177\uff09
3\u3001\u7ebf\u6027\u89c4\u5212\u3001\u6574\u6570\u89c4\u5212\u3001\u591a\u5143\u89c4\u5212\u3001\u4e8c\u6b21\u89c4\u5212\u7b49\u89c4\u5212\u7c7b\u95ee\u9898\uff08\u5efa\u6a21\u7ade\u8d5b\u5927\u591a\u6570\u95ee\u9898
\u5c5e\u4e8e\u6700\u4f18\u5316\u95ee\u9898,\u5f88\u591a\u65f6\u5019\u8fd9\u4e9b\u95ee\u9898\u53ef\u4ee5\u7528\u6570\u5b66\u89c4\u5212\u7b97\u6cd5\u6765\u63cf\u8ff0,\u901a\u5e38\u4f7f\u7528Lindo\u3001
Lingo\u8f6f\u4ef6\u5b9e\u73b0\uff09
4\u3001\u56fe\u8bba\u7b97\u6cd5\uff08\u8fd9\u7c7b\u7b97\u6cd5\u53ef\u4ee5\u5206\u4e3a\u5f88\u591a\u79cd,\u5305\u62ec\u6700\u77ed\u8def\u3001\u7f51\u7edc\u6d41\u3001\u4e8c\u5206\u56fe\u7b49\u7b97\u6cd5,\u6d89
\u53ca\u5230\u56fe\u8bba\u7684\u95ee\u9898\u53ef\u4ee5\u7528\u8fd9\u4e9b\u65b9\u6cd5\u89e3\u51b3,\u9700\u8981\u8ba4\u771f\u51c6\u5907\uff09
5\u3001\u52a8\u6001\u89c4\u5212\u3001\u56de\u6eaf\u641c\u7d22\u3001\u5206\u6cbb\u7b97\u6cd5\u3001\u5206\u652f\u5b9a\u754c\u7b49\u8ba1\u7b97\u673a\u7b97\u6cd5\uff08\u8fd9\u4e9b\u7b97\u6cd5\u662f\u7b97\u6cd5\u8bbe\u8ba1
\u4e2d\u6bd4\u8f83\u5e38\u7528\u7684\u65b9\u6cd5,\u5f88\u591a\u573a\u5408\u53ef\u4ee5\u7528\u5230\u7ade\u8d5b\u4e2d\uff09
6\u3001\u6700\u4f18\u5316\u7406\u8bba\u7684\u4e09\u5927\u975e\u7ecf\u5178\u7b97\u6cd5\uff1a\u6a21\u62df\u9000\u706b\u6cd5\u3001\u795e\u7ecf\u7f51\u7edc\u3001\u9057\u4f20\u7b97\u6cd5\uff08\u8fd9\u4e9b\u95ee\u9898\u662f
\u7528\u6765\u89e3\u51b3\u4e00\u4e9b\u8f83\u56f0\u96be\u7684\u6700\u4f18\u5316\u95ee\u9898\u7684\u7b97\u6cd5,\u5bf9\u4e8e\u6709\u4e9b\u95ee\u9898\u975e\u5e38\u6709\u5e2e\u52a9,\u4f46\u662f\u7b97\u6cd5\u7684\u5b9e
\u73b0\u6bd4\u8f83\u56f0\u96be,\u9700\u614e\u91cd\u4f7f\u7528\uff09
7\u3001\u7f51\u683c\u7b97\u6cd5\u548c\u7a77\u4e3e\u6cd5\uff08\u7f51\u683c\u7b97\u6cd5\u548c\u7a77\u4e3e\u6cd5\u90fd\u662f\u66b4\u529b\u641c\u7d22\u6700\u4f18\u70b9\u7684\u7b97\u6cd5,\u5728\u5f88\u591a\u7ade\u8d5b
\u9898\u4e2d\u6709\u5e94\u7528,\u5f53\u91cd\u70b9\u8ba8\u8bba\u6a21\u578b\u672c\u8eab\u800c\u8f7b\u89c6\u7b97\u6cd5\u7684\u65f6\u5019,\u53ef\u4ee5\u4f7f\u7528\u8fd9\u79cd\u66b4\u529b\u65b9\u6848,\u6700\u597d
\u4f7f\u7528\u4e00\u4e9b\u9ad8\u7ea7\u8bed\u8a00\u4f5c\u4e3a\u7f16\u7a0b\u5de5\u5177\uff09
8\u3001\u4e00\u4e9b\u8fde\u7eed\u79bb\u6563\u5316\u65b9\u6cd5\uff08\u5f88\u591a\u95ee\u9898\u90fd\u662f\u5b9e\u9645\u6765\u7684,\u6570\u636e\u53ef\u4ee5\u662f\u8fde\u7eed\u7684,\u800c\u8ba1\u7b97\u673a\u53ea
\u8ba4\u7684\u662f\u79bb\u6563\u7684\u6570\u636e,\u56e0\u6b64\u5c06\u5176\u79bb\u6563\u5316\u540e\u8fdb\u884c\u5dee\u5206\u4ee3\u66ff\u5fae\u5206\u3001\u6c42\u548c\u4ee3\u66ff\u79ef\u5206\u7b49\u601d\u60f3\u662f\u975e
\u5e38\u91cd\u8981\u7684\uff09
9\u3001\u6570\u503c\u5206\u6790\u7b97\u6cd5\uff08\u5982\u679c\u5728\u6bd4\u8d5b\u4e2d\u91c7\u7528\u9ad8\u7ea7\u8bed\u8a00\u8fdb\u884c\u7f16\u7a0b\u7684\u8bdd,\u90a3\u4e00\u4e9b\u6570\u503c\u5206\u6790\u4e2d\u5e38
\u7528\u7684\u7b97\u6cd5\u6bd4\u5982\u65b9\u7a0b\u7ec4\u6c42\u89e3\u3001\u77e9\u9635\u8fd0\u7b97\u3001\u51fd\u6570\u79ef\u5206\u7b49\u7b97\u6cd5\u5c31\u9700\u8981\u989d\u5916\u7f16\u5199\u5e93\u51fd\u6570\u8fdb\u884c\u8c03
\u7528\uff09
10\u3001\u56fe\u8c61\u5904\u7406\u7b97\u6cd5\uff08\u8d5b\u9898\u4e2d\u6709\u4e00\u7c7b\u95ee\u9898\u4e0e\u56fe\u5f62\u6709\u5173,\u5373\u4f7f\u4e0e\u56fe\u5f62\u65e0\u5173,\u8bba\u6587\u4e2d\u4e5f\u5e94\u8be5
\u8981\u4e0d\u4e4f\u56fe\u7247\u7684,\u8fd9\u4e9b\u56fe\u5f62\u5982\u4f55\u5c55\u793a\u4ee5\u53ca\u5982\u4f55\u5904\u7406\u5c31\u662f\u9700\u8981\u89e3\u51b3\u7684\u95ee\u9898,\u901a\u5e38\u4f7f\u7528Matlab
\u8fdb\u884c\u5904\u7406\uff09
凡涉及两类事物间的联系（即只考虑两类事物间的联系，而不考虑同类事物间的联系），均可抽象成偶图模型。作图时，将两类事物分成两行或者两列。这类模型通常被包含在后续的模型中，但因许多现实问题可抽象成该模型，所以单列出来讨论。
(1) 仓库与销售间
M：点代表仓库或销售点，连线代表仓库与销售店间的关联
(2) 上课安排问题
Q：学校有6位教师将开设6门课程。六位教师的代号是Xi（i=1,2,3,4,5,6)，六门课程代号是Yi （i=1,2,3,4,5,6)。已知，教师X1能够胜任课程Y2和Y3；教师X2能够胜任课程Y4和Y5；教师X3能够胜任课程Y2；教师X4能够胜任课程Y6和Y3；教师Y5能够胜任课程Y1和Y6；教师X6能够胜任课程Y5和Y6。
M：点表示教师或者课程，连线表示当且仅当该教师能胜任该课程
2.2 最短路模型
凡涉及到最小状态转换问题，均可转化为最短路模型。点表示允许的状态，连线表示状态的转换（可逆与不可逆分别对应于无向图、有向图）。
(1) 最短航线
M：点表示城市，连线表示当且仅当两城市有直达航线，并在该线上注明两城市的距离，即权值
A：问题转化为求两点间的最短路径
(2) 状态转换
Q：某两人有一只8升的酒壶装满了酒，还有两只空壶，分别为5升和3升。求最少的操作次数能均分酒。
M：设x1,x2,x3分别表示8,5,3升酒壶中的酒量，则
点表示组合(x1,x2,x3) ,连线表示当且仅当可通过倒酒的方式相互变换
A：问题转化为在该图中求点(8,0,0)到点(4,4,0)的一条最短路
(3) 狼羊菜渡河
Q：在一河岸有狼，羊和卷心菜。摆渡人要将它们渡过河去，由于船太小，每次只能载一样东西。由于狼羊，羊卷心菜不能单独相处。问摆渡人至少要多少次才能将其渡过河？
M：但是以下组合不能允许出现：狼羊菜，羊菜，狼羊，人，人狼，人菜，共6种。岸上只能允许出现10种组合：人狼羊菜，人狼羊，人狼菜，人羊，空，菜，羊，狼，狼菜，人羊菜。
点表示可允许的组合，连线当且仅当两种情况可用载人(或加一物)的渡船相互转变。
A：问题转化为求由顶点“人狼羊菜”到顶点“空”的一条最短路。
2.3 最小生成树模型
道路铺设
Q：道路铺设，使得任意两个地方均可达，并且费用最小
M：点表示工厂(假设是工厂)，任意两点连线，并标出铺设需要的费用
A：问题转化为求该图的最小生成树
2.4 欧拉图模型
通俗地讲，G是欧拉图当且仅当G存在经过每条边恰好一次，并且回到起始点的迹。
(1) 哥尼斯堡七桥问题
Q：能否从一点出发，走遍7座桥，且通过每座桥恰好一次，最后仍回到起始地点
M：点表示陆地，连线表示桥
A：问题转化为G是否存在E图
(2) 中国邮递员问题
Q：邮递员必须走过他投递范围内的每一条街道至少一次，选择一条尽可能短的路线
M：点表示路口，连线表示当且仅当两路口有直达街道
A：若G是E图，通过Fleury算法构造Euler环游，即为所求。否则，按一定规则添加重复边，再用Fleury算法构造Euler环游。
2.5 哈密尔顿圈模型
(1) 旅行售货员问题——TSP
一售货员要到若干城市去售货，每座城市只经历一次，问如何安排行走路线，使其行走的总路程最短。
例子：
Q：一电脑代理商要从她所在城市出发，乘飞机去六个城市，然后回到出发点，如果要求每个城市只经历一次，能否办到？给出行走方案。
M：点表示城市，连线表示两城市有直达航线
A：该图是否存在H圈
(2) 圆桌会议座位安排
Q：若干人围圆周开会，每个人会不同的语言，如何安排座位，使得每个人能够和他身边的交流
M：点表示人，连线表示当且仅当两个人能交流，即至少会同一种语言。(可能你一下子想到的偶图模型，的确该问题可以抽象成偶图模型，但很难转化为图论问题)
A：给出该图的一个H圈
2.6 匹配模型
(1) 旅游座位安排
Q：有一个旅行团要组织一批人去旅游，其中一些人是朋友他们要乘坐公共汽车去，而车上的位子是成对的。因此为了让大家旅途更愉快，旅行团负责人需要将成对的朋友安排在一起。给出一种安排方案。
M：点表示旅行团的人，连线表示当且仅当两人是朋友
A：求该图的最大匹配
(2) 研究生找工作
Q：学生能找到理想工作吗？
M：点表示研究生或者工作，连线表示当且仅当学生申请了该工作
A：问题转化为求饱和每个顶点的一个匹配，即完美匹配
(3) 最优分派问题
M：点表示工作或者人员，构造完全偶图，边的权值表示该工人做此份工作的效率
A：问题转化为求该图的最优匹配
2.7 平面图模型
平面模型可以这样理解，交通网络，使得不交叉，且无需修高架桥、隧道（这里的隧道显然跟山洞不同）
(1) 电路板设计问题
Q: 连接电路元件间的导线间不能交叉。否则，当绝缘层破损时，会出现短路故障。
M；点表示电路元器件，连线表示元器件间的连接
A；该图是否可平面
(2) 景区空调管道的设计
M：点表示景区，连线表示当且仅当两景点间要铺设空调管道
A：能否把上图画在平面上，使得边不会相互交叉？
(3) 3间房子和3种设施问题
Q：要求把3种公用设施(煤气，水和电)分别用煤气管道、水管和电线连接到3间房子里，要求任何一根线或管道不与另外的线或管道相交，能否办到？
M：点表示公用设施或者房子，连线表示该类公用设施连接到该房子
A：抽象出来的图是否可平面嵌入
2.8 着色模型
点着色问题对应于顶点集合的一种划分方式，对应于分类问题。边着色对应于边集合的一种划分方式，也对应于分类问题。区分点着色模型和边着色模型，主要在于抽象出来的模型，是相邻的顶点还是相邻的边不能着同一种颜色。
(1) 点着色模型
① 考试时间安排
Q：使得学生们不会有相互冲突的考试，最小安排数
M：点表示待考的课程，连线表示至少有一个学生同时选择这两门课
A：问题转化为求该图的点色数(把互不冲突的课程、考试安排在同一个时间段完成)
② 课程安排问题
Q: 学生选择课程中，使得学生选课不会发生冲突，如何制订一张课时数尽可能小少的课表
M：点表示课程，连线表示当且仅当有某个学生同时选了这两门课程
A：问题转化为求该图的点色数
③ 交通灯的相位设置问题
Q：为了(最终)让所有的车辆都能够安全通过路口，对于交通灯来说，所需要的相位的最小数是多少
M：点表示车道，连线当且仅当两个车道上的车不能同时安全地进入路口
A：问题转化为求该图的点色数
(2)边着色模型
① 排课表问题
Q：设有m位教师，n个班级，其中教师xi要给班级yj上pij节课。求如何在最少节次排完所有课。
M：令X=｛x1,x2,…,xm｝, Y=｛y1,y2,…,yn｝,xi与yj间连pij条边，得偶图G=(X, Y)。
A：问题转化为求该图的边着色数
(2) 比赛安排问题
Q：最少天完成比赛
M：点表示参赛人，连线当且仅当两人有比赛
A:问题转化为求一种最优边着色，即用最少色数进行正常边着色
2.9 覆盖模型
覆盖模型，对应于控制问题，通俗地讲点覆盖对应于用最少的点来控制所有边(即任一边至少有一个顶点在点独立集中)，边覆盖对应于用最少的边控制所有的点。均对应于控制问题。
(1) 哨站设计
Q：城市设置哨岗，使得哨兵能监管所有街道的最少哨岗数
M：点表示交叉口，连线表示存在直达街道
A：问题转化为求该图的点覆盖
2.10 强连通性定向图模型
(1) 城市交通网设计问题
Q：一座城市为某种需要，要把所有街道改为单行道，使得人们在任意两个位置都可以相互到达。如何设计单行道方向
M：顶点表示街道交叉口，连线当且仅当存在直达街道
A：问题等价于在模型图中给出其强连通定向
(2) 竞赛图
M：循环比赛的结果可以用所谓的“竞赛图”来表示。u队战胜了v队，则由点u向v画一条有向边。显然，“竞赛图”是完全图的一种定向图。
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