圆面积公式的推导有不同 的方法。有一位同学是这样做的：把圆 平均分成4份、9份、16份、25份……， 得到若 圆面积公式的推导有不同 的方法。有一位同学是这样做的：把圆 ...
\u5706\u9762\u79ef\u516c\u5f0f\u7684\u63a8\u5bfc\u6709\u4e0d\u540c \u7684\u65b9\u6cd5\u3002\u6709\u4e00\u4f4d\u540c\u5b66\u662f\u8fd9\u6837\u505a\u7684\uff1a\u628a\u5706 \u5e73\u5747\u5206\u62104\u4efd\u30019\u4efd\u300116\u4efd\u300125\u4efd\u2026\u2026\uff0c \u5f97\u5230\u82e516\u4efd
\u5e95\uff1a4\u500d\u5f26\u957f=2rsin(\u03c0/16)\u00d74=8rsin(\u03c0/16) //\u5f26\u957f=2rsin(a/2) a\u4e3a\u5706\u5fc3\u89d2,r\u4e3a\u534a\u5f84
\u9ad8\uff1a4\u500d\u5f26\u5fc3\u8ddd=4rcos(\u03c0/16) //\u5f26\u5fc3\u8ddd=rcos(a/2) a\u4e3a\u5706\u5fc3\u89d2,r\u4e3a\u534a\u5f84
\u4e09\u89d2\u9762\u79ef\uff1a8rsin(\u03c0/16)\u00b74rcos(\u03c0/16)\u00b71/2=16r²sin(\u03c0/16)cos(\u03c0/16)=8r²sin(\u03c0/8)\u22483.0615r²
//\u4e8c\u500d\u89d2\u516c\u5f0fsin2A=2sinA\u00b7cosA
\u7531\u6b64\u5f97\u5230\u5706\u7684\u9762\u79ef\u22483.0615r²
\u5706\u9762\u79ef\u516c\u5f0f\u7684\u63a8\u5bfc\u6709\u4e0d\u540c \u7684\u65b9\u6cd5\u3002\u6709\u4e00\u4f4d\u540c\u5b66\u662f\u8fd9\u6837\u505a\u7684\uff1a\u628a\u5706 \u5e73\u5747\u5206\u62104\u4efd\u30019\u4efd\u300116\u4efd\u300125\u4efd\u2026\u2026\uff0c \u5f97\u5230\u82e5\u5e72\u4e2a\u5927\u5c0f\u76f8\u7b49\u7684\u5c0f\u6247\u5f62\uff0c\u518d\u628a\u8fd9\u4e9b\u5c0f\u6247\u5f62\u62fc\u6210\u4e00\u4e2a\u8fd1\u4f3c\u7684\u4e09\u89d2\u5f62\uff08\u5206\u7684\u4efd\u6570\u8d8a\u591a,\u62fc\u6210\u7684\u56fe\u5f62\u5c31\u8d8a\u8fd1\u4f3c\u4e8e\u4e09\u89d2\u5f62\uff09\u3002\u53f3\u56fe\u662f\u4ed6\u628a\u5706\u7b49\u5206( 16 )\u4efd\u540e\u62fc\u6210\u7684\u56fe\u5f62\uff0c\u5982\u679c\u5706\u7684\u534a\u5f84\u7528r\u8868\u793a\uff0c\u90a3\u4e48\u4e09\u89d2\u5f62\u7684\u5e95\u53ef\u4ee5\u8868\u793a\u6210(8rsin(\u03c0/16) ),\u9ad8\u53ef\u4ee5\u8868\u793a\u6210\uff084rcos(\u03c0/16)\uff09\uff0c\u5219\u4e09\u89d2\u5f62\u7684\u9762\u79ef\u662f\uff088r²sin(\u03c0/8)\uff09\uff0c\u7531\u6b64\u5f97\u5230\u5706\u7684\u9762\u79ef\u662f\uff088r²sin(\u03c0/8)\uff09\u3002
\u4f60\u8fd9\u4e2a\u56fe\u5f62\u6ca1\u53d1\u4e0a\u6765\u3002\u3002\u3002\u4e09\u89d2\u5f62\u7684\u5e95\u5c31\u662f\u4e09\u89d2\u5f62\u7684\u5468\u957f\u9664\u4ee5\u5206\u6210\u7684\u4efd\u6570\uff0c\u9ad8\u53ef\u4ee5\u8fd1\u4f3c\u4e3a\u534a\u5f84r\uff0c\u4e09\u89d2\u5f62\u7684\u9762\u79ef\u5c31\u662f\u4e09\u89d2\u5f62\u7684\u5e95\u4e58\u4ee5\u9ad8\uff0c\u5706\u7684\u9762\u79ef\u5c31\u662f\u4e09\u89d2\u5f62\u7684\u9762\u79ef\u4e58\u4ee5\u5206\u6210\u7684\u4efd\u6570\u3002
假设他分成n个三角形那么三角形的底可以表示成(2πr/n ),高可以表示成（r ）
三角形的面积是πr^2/n
由此得到圆的面积是(πr^2 /n )*n=πr^2
16份
底：4倍弦长=2rsin(π/16)×4=8rsin(π/16) //弦长=2rsin(a/2) a为圆心角,r为半径
高：4倍弦心距=4rcos(π/16) //弦心距=rcos(a/2) a为圆心角,r为半径
三角面积：8rsin(π/16)·4rcos(π/16)·1/2=16r²sin(π/16)cos(π/16)=8r²sin(π/8)≈3.0615r²
由此得到圆的面积≈3.0615r²
16份
πr/2
4r
πr^2
16
4*2r*sin(180/32)
4r*cos(180/32)
s=0.5*4*2r*sin(180/32)*4r*cos(180/32)=16r^2sin(180/32)cos(180/32)=8r^2sin(180/16)
圆面积s=7(d/3)²
人们都清楚的认识到：正6边形1次倍边成的是正12边形、2次倍边成的是正24边形、3次倍边成的是正48边形、……n次倍边成的就给它叫正6×2ⁿ边形(简称正n边形)。“正n边形的周长与过中心点的对角线之比(是3.1415926……比1)叫做正n边率”。(n是一个不可丢失或忽略的0、1、2、3…无限无穷大的无极限的自然数)。
由于n是表示无限无穷大的无极限的自然数，所以正n边率(3.1415926……所谓π值)也是一个无限无穷大无极限的数。
当圆的直径与正n边形过中心点的对角线重叠时，虽然直径和对角线的长短相等。但是二者的周长并没有重叠，只是近似、接近、趋近或相当于就是不等于。原因是任一条线上的点都是无限的，内接正n边形周长上的点也就永久都不会与圆上的点完全重叠，
若内接正n边形与圆分开，那么求正n边率还依然是正n边率、求圆周率也依然是圆周率。
正n边率不等于圆周率；圆周率也不等于正n边率。
因为圆周率是指：“圆周长与直径的比”，它们的比是6+2√3比3；而正n边率是指：“正n边形的周长与过中心点的对角线的比”，它们的比是3.1415926……比1。
为此，正n边形的周长公式2πR只是代替圆周长公式，并非等于圆周长；正n边形的面积公式πR²只是代替圆面积公式，并非等于圆面积。
从客观上讲：圆是圆，正n边形是正n边形。当正n边形套上外接圆时，用圆内接正n边形的周长公式2πR来计算周长、周长必然小于圆周长；当圆套上外切正n边形时，用圆外切正n边形的面积公式πR²来计算面积、面积必然大于圆面积(注意：其实πR²是圆的外切正n边形面积与长方形面积的相互等积转化，并非圆面积与长方形面积的相互等积转化)。
为此π取正n边率的同一个值时，会给公式2πR和πR²存在着：π要想满足公式2πR,就会背离公式πR²；π要想满足公式πR²,就会背离公式2πR的自相矛盾的问题。
根据爱因斯坦的“相对论”原理推出：“物质与物质聚集结合成一个(固、液、汽)整体叫物体；一个被空间包围着的物体的大小所含单位立方的多少叫做体积。非物质与非物质聚集结合成一个完整的真空叫空间；一个被物体包围着的空间的大小所含单位立方的多少叫做容积。”
由于物体与空间的区别是物质与非物质的区别，所以宇宙是由物质和非物质构建的、是物体和空间共同占据了大自然。
因此, 世上所有物体和所有空间都是与生俱有相对共存的。二者静止状态下，根本就不存在“物体占据空间或空间占据物体”的问题。只有物体与空间以等量的一个物体体积与一个空间容积对换位置、产生物体与空间互动，才会出现“物体占据空间的同时、空间又占据了物体”。因为物体体积和空间容积是相对的，所以体积与容积也是相对的。二者缺一不可，否则物体就无法运动或搬运。
由于体积与容积相对的最小极限是零(也就是几何点是指：零体积或零容积、零面积或零空积、零长度或零距离的零点)；而物体的体积与空间的容积都大小无限不为零，(也就是：体积或容积、面积或空积、长度或距离都大于零)不存在最大或最小，大小无极限。
所以无限等份几何中的体、面、线的每个无穷小依然是一个无限无穷小，无极限。无限无穷小就是无限无穷小，无限无穷小不等于最小的极限零点。
以上是“相对论”当中《正负几何论》与“极限”的冰山一角。
因此，过去人们等份圆面、来等积转化拼成长方形面的起点就是一个误解。也就是圆面积s不等于长方形面积πR²，确切的讲：“圆面积s=7(d/3)² ”(d表示直径)。π取3.1415926……也不是圆的周长与直径的比，准确的说：“它是正n边形的周长与过中心点的对角线的比”。
那么，为什么说：“圆面积等于直径三分之一平方的七倍”呢?
这得要从软化等积变形说起。
例如：一块长7米、宽1米、高1米的长方体橡皮泥，它的上面或下面的长方形面积分别都是7平方米。当7立方米的长方体橡皮泥等积变成高1米的一个圆柱体时，它的上底或下底圆面积会依然是7平方米。也就是一个7平方米的长方形面积软化等积变成了一个7平方米的圆面积。如果把1个单位长用a表示，那么一个7平方米的圆面积就是7a² 。为此任一个圆面积S都可以看做为7a²。
下面由棋盘上的每个方格为一个a²来分析：七个a² 软化等积变成一个(图-1)圆面积是7a²；圆面积7a²再软化等积变成一个(图-2)H形面积也是7a²；在(图-2)H形上，另外增加两个a²就拼成了一个(图-3)大正方形面积9a²；把这三个图形称为(上三图)。它们各自面积的大小都是一同随着a的大小变化着的。
一个棋子为一个圆点,七个棋子就是七个圆点,圆点的直径Q叫点径。中间一个圆点,外围六个圆点，围绕一周排列相切构成一个(图-4)圆形轮廓,轮廓的外切圆面积是s、直径是3Q；再由七个圆点排列相切构成一个(图-5）H形轮廓,轮廓的外切H形面积是7Q²；最后用九个圆点排列相切构成一个(图-6)正方形轮廓,轮廓的外切正方形面积是9Q²。把这三个图形称为(下三图),它们各自外切形面积的大小都是一同随着点径Q的大小变化着的。
以上六个图形不难看出：
(图-1)圆面积7a²和(图-2)H形面积7a²分别都是(图-3)大正方形面积9a²的九分之七，(图-4)外切圆是(图-6)外切正方形的内切圆。
从六个图形的上下对着看：由于，第一组、（图-1）圆与(图-4）外切圆相似；第二组、(图-2)H形与(图-5)外切H形相似；第三组、(图-3)大正方形与（图-6）外切正方形相似。所以它们每一组相似形的面积和面积是否相等,都与a和Q有关；或a和Q是否相等,都与每一组相似形的面积和面积有关。
当a=Q时，很明显：第二组和第三组的相似形都是：a和Q相等，相似形的面积与面积就相等(7a²=7Q²、9a²=9Q²)；或相似形的面积与面积相等(7a²=7Q²、9a²=9Q²)，a和Q就相等。
但第一组相似形是否a和Q相等、面积与面积就相等呢？
这得需要通过数据来推理证实：
已知：(图-4)外切圆面积s是63平方厘米、a和Q又相等。此时(图-4)这个63平方厘米的圆面积，它既锁定了(下三图)各自对应的面积也锁定了(上三图)各自对应的面积。
因为a等于Q，所以(图-4) 63平方厘米的一个圆既是（图-6）正方形的内切圆也是(图-3)大正方形的内切圆。为此（图-6）和(图-3)的内切圆面积也分别都是63平方厘米。
由于(图-3)大正方形能做为63平方厘米的圆的外切正方形，是根据大正方形的边长3a等于内切圆的直径3Q(内切圆的直径3Q又是根据63平方厘米的圆面积产生的)。
所以(图-3)内切圆面积的任意大小，都会改变(图-3)大正方形的边长3a的大小，使边长3a不等于63平方厘米的圆的直径3Q，(图-3)大正方形也就不能做为63平方厘米的圆的外切正方形。
如果(图-3)内切圆面积大于63平方厘米，那么(图-2) 7a²的H形和(图-3)9a²的大正方形就会同时对应变大(7a²>7Q²、9a²>9Q²)。显示出9a²的大正方形向外扩展，脱离了已知63平方厘米的内切圆)，产生边长3a大于直径3Q，违背了a等于Q。
如果(图-3)内切圆面积小于63平方厘米，那么(图-2) 7a²的H形和(图-3)9a²的大正方形就会同时对应变小(7a²<7Q²、9a²<9Q²)。显示出9a²的大正方形向内收缩，也会脱离了已知63平方厘米的内切圆，产生边长3a小于直径3Q，也违背了a等于Q。
因此，只有(图-3)内切圆面积等于(图-4)外切圆面积63平方厘米，才能7a²=7Q²、9a²=9Q²，使9a²的大正方形作为63平方厘米的圆的外切正方形。同时大正方形的边长3a也等于内切圆的直径3Q，保持a与Q相等。所以(图-3)大正方形的大小是根据已知63平方厘米的内切圆确定的。
由此可见：对任一个圆面积的大小都是如此。当(图-1)圆与(图-3) 63平方厘米的内切圆重叠时。
如果(图-1)圆面积7a²大于63平方厘米，那么(图-2) 7a²的H形和(图-3)9a²的大正方形就会同时对应变大(7a²>7Q²、9a²>9Q²)。显示出9a²的大正方形向外扩展，脱离了已知63平方厘米的内切圆，产生边长3a大于直径3Q，出现a也大于Q。
如果(图-1)圆面积7a²小于63平方厘米，那么(图-2) 7a²的H形和(图-3)9a²的大正方形就会同时对应变小(7a²<7Q²、9a²<9Q²)。显示出9a²的大正方形向内收缩,也会脱离了已知63平方厘米的内切圆,产生边长3a小于直径3Q，出现a也小于Q。
因此，只有(图-1)圆面积7a²等于(图-3)内切圆面积63平方厘米，才能7a²=7Q²、9a²=9Q²，使9a²的大正方形作为63平方厘米的圆的外切正方形。同时正方形的边长3a也与63平方厘米的圆的直径3Q相等，保持a等于Q。所以(图-1)圆面积7a²的大小是根据(图-3)内切圆面积确定的。
证实了：(图-1)圆面积7a²等于(图-4)外切圆面积s。也说明了：“圆面积是它外切正方形面积的9分之7”。
因为圆面积S=7a²，所以a=√s/7. 也就是说：如果(图-3)正方形的内切圆面积是7平方厘米，那么a=√7/7=1厘米。如果(图-3)正方形的内切圆面积是28平方厘米，那么a=√28/7=2厘米。如果(图-3)正方形的内切圆面积是63平方厘米，那么a=√63/7=3厘米。
上述证明了：第一组相似形同样是：a和Q相等、相似形的面积与面积就相等。
为此，推出它们三组相似形：每一组相似形的面积和面积相等,a和Q就相等；或a和Q相等,每一组相似形的面积和面积就相等。
同时也发现了这样一部公理：“如果圆面积是7a²，那么它的外切正方形面积就是9a²”。
根据公理推出定理：“圆面积等于直径三分之一平方的七倍”。
圆的面积公式：∵s=7a². d=3a.
∴s=7(d/3)². 向国庆“70”周年献礼！
HPFYKG 一位不识字的数学发现 dongjingui二〇一四年六月二十七日
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